四川泸县五中2020届高三数学(文)上学期期中试题(Word版带答案)
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资料简介
2019-2020 学年度秋四川省泸县五中高三期中考试 文科数学试题 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.) 1.已知集合 ,则 A. B. C. 1, D. 1, 2.复数 的共轭复数为 A. B. C. D. 3.若命题 , ,则 是 A. , B. , C. , D. , 4.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 ,高为 的矩形,俯视图是一个 圆,那么这个几何体的表面积为 A. B. C. D. 5.函数 的最大值是 A. B. C. D. 6.已知实数 满足不等式组 ,则 的最大值为 ( )42 3 0y x xx = − − > 2 2 3− 2 4 3− 2 2 3+ 2 4 3+ { } { }1,0,1,2 , | 2xA B y y= − = = A B = { }1,0,1− { }1,2 {0, 2} { 1,− 2} 1 i i− 1 2 2π 5π 2 4π 5π ,x y 2 3 2 4 y x x y x y ≤  + ≤  − ≤ 2z x y= −A.5 B.3 C.1 D.-4 7.已知函数 的最小正周期是 ,那么正数 A. B. C. D. 8.若 ,则 等于 A. B. C. D. 9.函数 的部分图像大致为 A. B. C. D. 10.已知 则 的大小关系是 A. B. C. D. 11.若函数 ,则曲线 在点 处的切线的倾斜角 是 A. B. C. D. 12.若函数 与 的图象有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四 个函数中,与 互为同轴函数的是 A. B. C. D. 1tan 4 3 πα − = −   cos2α 3 5 1 2 1 3 3− 1sin 1 x x ey x e += ⋅ − ln 2 ln3 ln 6, , ,2 3 6a b c= = = , ,a b c c b a> > b a c> > a b c> > c a b> > ( ) 33=- ln3f x x x x− + − ( )y f x= ( )( )-1, -1f 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ( )f x ( )g x ( ) 21 2f x x x= − ( ) ( )cos 2 1g x x= − ( ) sing x xπ= ( ) tang x x= ( ) cosg x xπ=第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知函数 ,则 的值为__________. 14.已知函数 的图像上一个最高点的坐标为 ,由这 个最高点到其相邻的最低点间图像与 轴交于点 ,则此函数的解析式为__________. 15.己知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 时, , 的值是____. 16. 是同一球面上的四个点, , ⊥平面 , , ,则该球的表面积为______________. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17 ~ 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.) 17.(本大题满分 12 分) 已知 α∈ ,sin α= . (I)求 sin 的值; (Ⅱ)求 cos 的值. 18.(本大题满分 12 分) 如图所示,EB 垂直于菱形 ABCD 所在平面,且 EB=BC=2,∠BAD=60°,点 G、H 分别为边 CD、DA 的中点,点 M 是线段 BE 上的动点. (I)求证:GH⊥DM; (II)当三棱锥 D-MGH 的体积最大时,求点 A 到面 MGH 的距离. ( ) ( )2 2 1f x x xf ′= + ( )1f sin( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + > > (2, 2) x (6,0) ( )f x 0 1x< < ( ) 4xf x = 5( ) (2019)2f f− + , , ,A B C D ,2ABC BAC AB AC π∆ ∠ = =中, AD ABC 6AD = 2 3AB = ( , )2 π π 5 5 ( )4 π α+ 26 π α −  19.(本大题满分 12 分) 在 中, 分 别 为 角 的 对 边 ,且 . (I)求角 ; (Ⅱ)若 ,求 的最大值. 20.(本大题满分 12 分) 已知 为定义在 上的奇函数,当 时,函数解析式 . (I)写出 在 上的解析式; (Ⅱ)求 在 上的最大值. 21.(本大题满分 12 分) 已知函数 ,其中 , 为自然对数的底数. (Ⅰ)设 是函数 的导函数,求函数 在区间 上的最小值; (Ⅱ)若 ,函数 在区间 内有零点,求 的取值范围 ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( )sin sin sinB C A C− = − A 3a = 2b c+ ( )f x [ ]1,1− [ ]1,0x∈ − 1( ) ( )4 2x x af x a R= − ∈ ( )f x [ ]0,1 ( )f x [ ]0,1(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分. 22. [选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (I)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 与曲线 相交于 两点,设点 ,已知 ,求实 数 的值. 23.已知函数 . (I)解不等式 ; (Ⅱ)若关于 的不等式 的解集不是空集,求 的取值范围. xOy l 1 2 31 2 x t y t  =  = − + t O x C 2 cos ( 0)a aρ θ= > l C l C ,A B (0, 1)M − 2| | | | | |MA MB AB• = a ( ) | 4 1| | 2 |f x x x= − − + ( ) 8f x < x 2( ) 5| 2 | 8f x x a a+ + < − a2019-2020 学年度秋四川省泸县五中高三期中考试 文科数学试题参考答案 1-5:BCDBB 6-10:ABABB 11-12:BD 13.-3 14. 15. 16. 17.:(1) 因为 α∈ ,sin α= , 所以 cos α=- =- . 故 sin =sin cos α+cos sin α= × + × =- . (2) 由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2× × =- , cos 2α=1-2sin2α=1-2× = , 所以 cos = × + × = . 18.(Ⅰ)证明:连接 AC、BD 相交于点 O. ∵BE⊥平面 ABCD.而 AC⊂平面 ABCD,∴BE⊥AC. 又∵四边形 ABCD 为菱形,∴BD⊥AC. ∵BD∩BE=B,∴AC⊥平面 BDE. ∵G、H 分别为 DC、AD 的中点,∴GH∥AC,则 GH⊥平面 BDE. 而 DM⊂平面 BDE,∴GH⊥DM; (II)菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,得,∠ADC=120°. ∵DG=DH=1, ∴S△DGH= = , ∵BE⊥平面 ABCD,即 BM⊥平面 ABCD, ∴ = . 显然,当点 M 与点 E 重合时,BM 取得最大值 2,此时(VD-MGH)max= . 2sin 8 4y x π π = +   2− 60π 26 π α −   3 2 3 3 4 10 − 01 DG DHsin1202 ⋅ 1 3 31 12 2 4 × × × = D MGH M DGH DGH 1V V S BM3− −= = ⋅  3 BM12 3 3212 6 × =且 MG=MH= ,GH= ,则 , ∵H 是 AD 中点,所以 A 到平面 MGH 的距离 d1 等于到平面 MGH 的距离 d2, 又 VD-MGH=VM-DGH,∴ ,得 d2= . ∴A 到平面 MGH 的距离为 . 19.(1)因为 ,所以 , 所以 , 因为 ,所以 . (2)由(1)得 , 由正弦定理 ,所以 , 所以 , 所以 ,其中 , 由 ,存在 使得 ,所以 的最大值为 1, 所以 的最大值为 . 7 3 MGH 1 5 5 3S 32 2 4 = × × =  2 3 1 5 3 d6 3 4 = × 2 5 2 5 ( )sin sin sinB C A C− = − ( ) ( )sin sin sinA C C A C+ − = − 1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A+ − = − ⇒ = 0 A π< < 3A π= 2 3C B π= − 2sin sin sin a b c RA B C = = = 3 2sinsin sin( )3 3 b c B B π π= = − 22 3sin , 2 3sin( )3b B c B π= = − 22 2 3sin 4 3sin( ) 2 3(2sin 3cos )3b c B B B B π+ = + − = + 2 21sin( )B ϕ= + 3tan , (0, )2 2 πϕ ϕ= ∈ 2(0, )3B π∈ B 2B πϕ+ = sin( )B ϕ+ 2b c+ 2 2120:(1)∵ 为定义在 上的奇函数,且 在 处有意义,∴ , 即 .∴ . 设 ,则 ,∴ ; 又∵ ,∴ ;所以 . (2)当 时, ,∴设 ,则 . ∵ ,∴ .当 时,取最大值,最大值为 . 考点:1、函数表达式的求法;2、函数的奇偶性;3、函数的最值. 21:(Ⅰ) ①当 时, ,所以 . ②当 时,由 得 . 若 ,则 ;若 ,则 . 所以当 时, 在 上单调递增,所以 . 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 . 当 时, 在 上单调递减,所以 . (Ⅱ)设 为 在区间 内的一个零点,则由 可知, 在区间 上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 在区间 内存在零点 . 同理 在区间 内存在零点 . ( )f x [ ]1,1− ( )f x 0x = (0) 0f = 0 0 1(0) 1 04 2 af a= − = − = 1a = [ ]0,1x∈ [ ]1,0x− ∈ − 1 1( ) 4 24 2 x x x xf x − −− = − = − ( )( )f x f x− = − ( ) 4 2x xf x− = − ( ) 2 4x xf x = − [ ]0,1x∈ 2( ) 2 4 2 (2 )x x x xf x = − = − 2 ( 0)xt t= > 2( )f t t t= − [ ]0,1x∈ [ ]1,2t ∈ 1t = 1 1 0− =所以 在区间 内至少有两个零点. 由(Ⅰ)知,当 时, 在 上单调递增,故 在 内至多有一个零点. 当 时, 在 上单调递减,故 在 内至多有一个零点. 所以 . 此时, 在 上单调递减,在 上单调递增, 因此 ,必有 . 由 得: ,有 . 解得 . 当 时, 在区间 内有最小值 . 若 ,则 , 从而 在区间 上单调递增,这与 矛盾,所以 . 又 , 故此时 在 和 内各只有一个零点 和 . 由此可知 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增. 所以 , , 故 在 内有零点. 综上可知, 的取值范围是 .22.解:(1)因为直线 的参数方程为 消去 t 化简得直线 的普通方程: 由 得 , 因为 , 所以 , 所以曲线 的直角坐标方程为 (2)将 代入 得 即 , 则 , , ∴ , ∴ ∴ ∵ ,∴ ,满足 ∴ 23.(1)由题意可得 , 当 时, ,得 ,无解; l 1 2 31 2 x t y t  =  = − + l 3 1 0x y− − = 2acosρ θ= 2 2a cosρ ρ θ= 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2 2 2x y ax+ = C 2 2 2 0x y ax+ − = 1 2 31 2 x t y t  =  = − + 2 2 2 0x y ax+ − = 2 21 31 04 2t t at  + − + − =    ( )2 3 1 0t a t− + + = ( )2 3 4 0a∆ = + − > 1 2 3t t a+ = + 1 2 1t t = 1 2• 1MA MB t t= = 2| | 1AB = ( ) ( ) ( )22 22 1 2 1 2 1 2| | 4 3 4 1AB t t t t t t a= − = + − = + − = 0a > 5 3a = − ( )2 3 4 0a∆ = + − > 5 3a = − ( ) 3 3, 2 15 1, 2 4 13 3, 4 x x f x x x x x   − + ≤ − = − − − < −当 时, ,得 ,即 ; 当 时, ,得 ,即 . 所以不等式的解集为 . (2) , 则由题可得 ,解得 或 . 12 4x− < < 5 1 8x− − < 9 5x > − 9 1 5 4x− < < 1 4x ≥ 3 3 8x − < 11 3x < 1 11 4 3x≤ < 9 11{ | }5 3x x− < < ( ) 5 2 4 1 4 8 9f x x x x+ + = − + + ≥ 2 8 9a a− > 1a < − 9a >

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