2019-2020 学年度秋四川省泸县五中高三期中考试
文科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知集合 ，则
A． B． C． 1， D． 1，
2．复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
3．若命题 ， ，则 是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 ，高为 的矩形，俯视图是一个
圆，那么这个几何体的表面积为
A. B. C. D.
5．函数 的最大值是
A. B. C. D.
6．已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为
( )42 3 0y x xx
= − − >
2 2 3− 2 4 3− 2 2 3+ 2 4 3+
{ } { }1,0,1,2 , | 2xA B y y= − = = A B =
{ }1,0,1− { }1,2 {0, 2} { 1,− 2}
1
i
i−
1 2
2π 5π
2 4π 5π
,x y 2 3
2 4
y x
x y
x y
≤
+ ≤
− ≤
2z x y= −A.5 B.3 C.1 D.-4
7．已知函数 的最小正周期是 ，那么正数
A． B． C． D．
8．若 ，则 等于
A. B. C. D.
9．函数 的部分图像大致为
A． B．
C． D．
10．已知 则 的大小关系是
A. B. C. D.
11．若函数 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角
是
A． B． C． D．
12．若函数 与 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四
个函数中，与 互为同轴函数的是
A. B. C. D.
1tan 4 3
πα − = − cos2α
3
5
1
2
1
3 3−
1sin 1
x
x
ey x e
+= ⋅ −
ln 2 ln3 ln 6, , ,2 3 6a b c= = = , ,a b c
c b a> > b a c> > a b c> > c a b> >
( ) 33=- ln3f x x x x− + − ( )y f x= ( )( )-1, -1f
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
( )f x ( )g x
( ) 21
2f x x x= −
( ) ( )cos 2 1g x x= − ( ) sing x xπ= ( ) tang x x= ( ) cosg x xπ=第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知函数 ，则 的值为__________．
14．已知函数 的图像上一个最高点的坐标为 ，由这
个最高点到其相邻的最低点间图像与 轴交于点 ，则此函数的解析式为__________．
15．己知函数 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数， 时， ，
的值是____.
16． 是同一球面上的四个点， , ⊥平面
， ， ,则该球的表面积为______________.
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分 12 分）
已知 α∈ ，sin α＝ .
（I）求 sin 的值；
（Ⅱ）求 cos 的值．
18．（本大题满分 12 分）
如图所示，EB 垂直于菱形 ABCD 所在平面，且 EB=BC=2，∠BAD=60°，点 G、H 分别为边
CD、DA 的中点，点 M 是线段 BE 上的动点．
（I）求证：GH⊥DM；
（II）当三棱锥 D-MGH 的体积最大时，求点 A 到面 MGH 的距离．
( ) ( )2 2 1f x x xf ′= + ( )1f
sin( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + > > (2, 2)
x (6,0)
( )f x 0 1x< < ( ) 4xf x =
5( ) (2019)2f f− +
, , ,A B C D ,2ABC BAC AB AC
π∆ ∠ = =中， AD
ABC 6AD = 2 3AB =
( , )2
π π 5
5
( )4
π α+
26
π α − 19．（本大题满分 12 分）
在 中， 分 别 为 角 的 对 边 ，且 .
（I）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值.
20．（本大题满分 12 分）
已知 为定义在 上的奇函数，当 时，函数解析式 ．
（I）写出 在 上的解析式；
（Ⅱ）求 在 上的最大值．
21．（本大题满分 12 分）
已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( )sin sin sinB C A C− = −
A
3a = 2b c+
( )f x [ ]1,1− [ ]1,0x∈ − 1( ) ( )4 2x x
af x a R= − ∈
( )f x [ ]0,1
( )f x [ ]0,1（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（I）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 两点，设点 ，已知 ，求实
数 的值.
23．已知函数 ．
（I）解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的不等式 的解集不是空集，求 的取值范围．
xOy l
1
2
31 2
x t
y t
=
= − +
t O
x C 2 cos ( 0)a aρ θ= >
l C
l C ,A B (0, 1)M − 2| | | | | |MA MB AB• =
a
( ) | 4 1| | 2 |f x x x= − − +
( ) 8f x <
x 2( ) 5| 2 | 8f x x a a+ + < − a2019-2020 学年度秋四川省泸县五中高三期中考试
文科数学试题参考答案
1-5:BCDBB 6-10:ABABB 11-12:BD
13．-3 14． 15． 16．
17．：(1) 因为 α∈ ，sin α＝ ，
所以 cos α＝－ ＝－ .
故 sin ＝sin cos α＋cos sin α＝ × ＋ × ＝－ .
(2) 由(1)知 sin 2α＝2sin αcos α＝2× × ＝－ ，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× ＝ ，
所以 cos ＝ × ＋ × ＝ .
18．（Ⅰ）证明：连接 AC、BD 相交于点 O．
∵BE⊥平面 ABCD．而 AC⊂平面 ABCD，∴BE⊥AC．
又∵四边形 ABCD 为菱形，∴BD⊥AC．
∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面 BDE．
∵G、H 分别为 DC、AD 的中点，∴GH∥AC，则 GH⊥平面 BDE．
而 DM⊂平面 BDE，∴GH⊥DM；
（II）菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．
∵DG=DH=1，
∴S△DGH= = ，
∵BE⊥平面 ABCD，即 BM⊥平面 ABCD，
∴ = ．
显然，当点 M 与点 E 重合时，BM 取得最大值 2，此时（VD-MGH）max= ．
2sin 8 4y x
π π = + 2− 60π
26
π α −
3
2
3 3 4
10
−
01 DG DHsin1202
⋅ 1 3 31 12 2 4
× × × =
D MGH M DGH DGH
1V V S BM3− −= = ⋅
3 BM12
3 3212 6
× =且 MG=MH= ，GH= ，则 ，
∵H 是 AD 中点，所以 A 到平面 MGH 的距离 d1 等于到平面 MGH 的距离 d2，
又 VD-MGH=VM-DGH，∴ ，得 d2= ．
∴A 到平面 MGH 的距离为 ．
19．（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
由正弦定理 ，所以 ，
所以 ，
所以
，其中 ，
由 ，存在 使得 ，所以 的最大值为 1，
所以 的最大值为 .
7 3 MGH
1 5 5 3S 32 2 4
= × × =
2
3 1 5 3 d6 3 4
= × 2
5
2
5
( )sin sin sinB C A C− = − ( ) ( )sin sin sinA C C A C+ − = −
1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A+ − = − ⇒ =
0 A π< <
3A
π=
2
3C B
π= −
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
3
2sinsin sin( )3 3
b c
B B
π π= =
−
22 3sin , 2 3sin( )3b B c B
π= = −
22 2 3sin 4 3sin( ) 2 3(2sin 3cos )3b c B B B B
π+ = + − = +
2 21sin( )B ϕ= + 3tan , (0, )2 2
πϕ ϕ= ∈
2(0, )3B
π∈ B 2B
πϕ+ = sin( )B ϕ+
2b c+ 2 2120：（1）∵ 为定义在 上的奇函数，且 在 处有意义，∴ ，
即 ．∴ ．
设 ，则 ，∴ ；
又∵ ，∴ ；所以 ．
（2）当 时， ，∴设 ，则 ．
∵ ，∴ ．当 时，取最大值，最大值为 ．
考点：1、函数表达式的求法；2、函数的奇偶性；3、函数的最值.
21：（Ⅰ）
①当 时， ，所以 .
②当 时，由 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以当 时， 在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
.
当 时， 在 上单调递减，所以 .
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故 在区间 内存在零点 .
同理 在区间 内存在零点 .
( )f x [ ]1,1− ( )f x 0x = (0) 0f =
0 0
1(0) 1 04 2
af a= − = − = 1a =
[ ]0,1x∈ [ ]1,0x− ∈ − 1 1( ) 4 24 2
x x
x xf x − −− = − = −
( )( )f x f x− = − ( ) 4 2x xf x− = − ( ) 2 4x xf x = −
[ ]0,1x∈ 2( ) 2 4 2 (2 )x x x xf x = − = − 2 ( 0)xt t= > 2( )f t t t= −
[ ]0,1x∈ [ ]1,2t ∈ 1t = 1 1 0− =所以 在区间 内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点.
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点.
所以 .
此时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，必有
.
由 得： ，有
.
解得 .
当 时， 在区间 内有最小值 .
若 ，则 ，
从而 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 .
又 ，
故此时 在 和 内各只有一个零点 和 .
由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，
故 在 内有零点.
综上可知， 的取值范围是 .22．解：（1）因为直线 的参数方程为
消去 t 化简得直线 的普通方程：
由 得 ，
因为 ，
所以 ，
所以曲线 的直角坐标方程为
（2）将 代入 得
即 ，
则 ， ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，∴ ，满足
∴
23．（1）由题意可得 ，
当 时， ，得 ，无解；
l
1
2
31 2
x t
y t
=
= − +
l 3 1 0x y− − =
2acosρ θ= 2 2a cosρ ρ θ=
2 2 2x yρ = + cos xρ θ =
2 2 2x y ax+ =
C 2 2 2 0x y ax+ − =
1
2
31 2
x t
y t
=
= − +
2 2 2 0x y ax+ − =
2
21 31 04 2t t at
+ − + − =
( )2 3 1 0t a t− + + = ( )2
3 4 0a∆ = + − >
1 2 3t t a+ = + 1 2 1t t =
1 2• 1MA MB t t= =
2| | 1AB =
( ) ( ) ( )22 22
1 2 1 2 1 2| | 4 3 4 1AB t t t t t t a= − = + − = + − =
0a > 5 3a = − ( )2
3 4 0a∆ = + − >
5 3a = −
( )
3 3, 2
15 1, 2 4
13 3, 4
x x
f x x x
x x
− + ≤ −
= − − − < −当 时， ，得 ，即 ；
当 时， ，得 ，即 .
所以不等式的解集为 .
（2） ，
则由题可得 ，解得 或 .
12 4x− < < 5 1 8x− − < 9
5x > − 9 1
5 4x− < <
1
4x ≥ 3 3 8x − < 11
3x < 1 11
4 3x≤ <
9 11{ | }5 3x x− < <
( ) 5 2 4 1 4 8 9f x x x x+ + = − + + ≥
2 8 9a a− > 1a < − 9a >
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