广东省佛山市第一中学2019-2020高二上学期期中考试数学（Word版带答案）.doc

2019-2020 学年上学期高二级期中考试题 数学 一、单选题(本题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。) 1．若直线 的倾斜角为 30°，则实数 m 的值为(　　) A. B. C. D. 2．在等差数列 中， 表示数列 的前 项和，则 (　　) A．66 B．99 C．198 D．297 3．已知 ，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．满足 的 的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．两条平行直线 与 之间的距离为(　　) A． B． C． D． 6．已知点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，则点 关于 的对称点 的坐 标为(　　) A． B． C． D． 7．如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的体积为(　　) A. B. C. D. 1 0x my+ − = 3− 3 3 3 − 3 3 { }na 3 9 618 , na a a S+ = − { }na n 11S = 0, 0a b< > 0b a− < a b> 2a ab< 1 1 a b < , 2 3, 43A BC AC π= = = ABC∆ 3 4 12 0x y+ − = 8 11 0ax y+ + = 23 5 23 10 7 7 2 A )4,4(− l 02 =−+ yx A l 'A )4,3 2(− )6,2(− )4,2( )6,1( π 2π 4π 8π8．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的 角等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 9．若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上有且仅有 4 个点到直线 l：x－y－2＝0 的距离为 1，则实数 r 的取值 范围是(　　) A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1) C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1) 10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 (　　) A．81π 4 B．16π C．9π D．27π 4 二、多选题(本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，至少有两 一项是符合题目要求的。) 11．已知 表示两条不同的直线， 、 、 表示三个不同的平面．下列命题中，正确的 命题是(　　) A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则 12．已知圆 M： ，直线 l： ．下列命题中，正确的命题是 (　　) A．对任意实数 k 和 θ，直线 l 和圆 M 有公共点 B．对任意实数 θ，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切 C．对任意实数 k，必存在实数 θ，使得直线 l 与圆 M 相切 D．存在实数 k 与 θ，使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。) 13．已知直线 ax＋a2y＋1＝0 与直线(a－2)x＋y－2＝0 垂直，则 a 的值为________． 14．已知 a，b 均为正数，且 a＋b＝1，则1 a＋1 b的最小值为________． 15．在平面直角坐标系内，到点 A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点 的坐标是________． nm, α β γ α⊥m α//n nm ⊥ γα ⊥ γβ ⊥ βα // α//m α//n nm // βα // γβ // α⊥m γ⊥m ( ) ( )2 2cos sin 1x yθ θ+ + − = y kx=x y O C A B 16．已知直线 l： 与圆 交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C, D 两点，若 ，则 m＝________，|CD|＝________． 四、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17．（10 分）已知等差数列 的首项为 1，公差 ，且 是 与 的等比中项. （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 ． 18．（12 分）已知△ABC 的内角分别为 A, B, C，其对应边分别是 a, b, c，且满足 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 a＋2c 的最大值. 19．（12 分）如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 是等边三角形，BC＝CC1＝4，D 是 A1C1 中点． （1）求证：A1B∥平面 B1CD； （2）当 AA1⊥平面 ABC 时，求点 B 到平面 B1CD 的距离． 20．（12 分）如图,等腰直角△ 的直角顶点 ,斜边 所在的直线方程为 ． （1）求△ABC 的面积； （2）求斜边 AB 中点 D 的坐标． 3 3 0mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = 2 3AB = { }na 0d ≠ 8a 5a 13a { }na ( ) 1 1 n n n b n Na a ∗ + = ∈⋅ { }nb n nT cos cos 2 cosb C c B a B+ = B 3b = ABC ( )0, 1C − AB 2 8 0x y+ − =21．（12 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，BC=2，现将△ACD 沿 AC 折起，使 D 折到 P 的位置且 P 在面 ABC 的射影 E 恰好在线段 AB 上. （1）证明：AP⊥PB； （2）求二面角 B-PC-E 的余弦值． 22．（12 分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置， 我们说球 A 是指该球的球心点 A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目 标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都 简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建 立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图，设母球 A 的位置为(0，0)，目标球 B 的位置为(4，0)，要使目标球 B 向 C(8，－4)处 运动，求母球 A 球心运动的直线方程； (2)如图，若母球 A 的位置为(0，－2)，目标球 B 的位置为(4，0)，能否让母球 A 击打目标 B 球 后，使目标 B 球向(8，－4)处运动? (3)若 A 的位置为(0，a)时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4 2，0)运动方向可以碰到 目标球 C(7 2，－5 2)，求 a 的最小值（只需要写出结果即可） 2019-2020 学年上学期高二级期中考数学试题参考答案 1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；A A D B D B D C A B11.AD 12.AC 13.1 14.4 15. 16. ; . 17. (1)设等差数列 的公差为 ， 是 与 的等比中项. 即 ……………………………………2 分 或 ； …………………………………………………………………………………………4 分 …………………………………………………………………………………5 分 (2)因为 ，………………………8 分 所以数列 的前 项和 .………………………………10 分 18. (1) ， 由正弦定理得： ……………………1 分 即 ，……………………………………………………2 分 又 ，………………………………………3 分 故 ， 又因为 ，所以 ，………………………………………………4 分 因此， ，…………………………………………………………………5 分 又因为 ，所以 .…………………………………………………6 分 (2)由正弦定理得： ， ，……………………………………………………………8 分 (2,4) 3 3−=m 4|| =CD { }na d  8a 5a 13a 2 8 5 13=a a a∴ ( ) ( )( )2 1 1 17 4 12a d a d a d+ = + + 0d∴ = 2d = 0d ≠ 2d∴ = 2 1na n∴ = − )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 11 1 +−−=+−== + nnnnaab nn n { }nb n )12 1 12 1 5 1 3 1 3 11(2 1 +−−+…+−+−= nnTn 12)12 11(2 1 +=+−= n n n BaBcCb cos2coscos =+ ∴ BABCCB cossin2cossincossin =+ sin( ) 2sin cosB C A B+ = sin sin[ ( )] sin( )A B C B Cπ= − + = + sin 2sin cosA A B= 0 A π< < sin 0A > 2 1cos =B 0 B π< < 3 π=B 2 2 3 3 sinsinsin ==== B b C c A a CcAa sin2,sin2 ==∴ ，…………………………………10 分 （其中 ，） 当 时， 的最大值为 .……………………………………12 分 19.(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 . 在三棱柱 中，四边形 为平行四边形， ，又 点 是 中点， ，…………………………2 分 而 平面 ，且 平面 ，…………………………………4 分 平面 .……………………………………………………6 分 (2)由（1）知： ， 到平面 的距离与 到平面 的距离相等。…………………………7 分 平面 ， 平面 ， ， 是等边三角形， 是等边三角形 点 是 中点， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ……………………………………………………9 分 由计算得： ， ，……………………………10 分 设 到平面 的距离为 ，由 得： )3 2sin(4sin2sin4sin22 AACAca −+=+=+ π )sin(72)cos3sin2(2 ϕ+=+= AAA )2,0(,2 3tan π∈= ϕϕ ∴ ϕ−= 2 πA ca 2+ 72 1BC CB1 O DO 111 CBAABC − CCBB 11 1OCBO =∴  D 11CA BADO 1//∴ ⊂DO CDB1 ⊄BA1 CDB1 //1BA∴ CDB1 1OCBO = B∴ CDB1 1C CDB1 ⊥1AA 111 CBA ⊂DB1 111 CBA DBAA 11 ⊥∴ ABC∆ 111 CBA∆∴  D 11CA DBCA 111 ⊥∴ 1111 CCACC =∩ ⊂1CC CCAA 11 ⊂11CA CCAA 11 ⊥∴ DB1 CCAA 11 CDDB ⊥∴ 1 52,321 == CDDB 1521 =∴ ∆ CDBS 1C CDB1 'h CDBCDCBC VV 1111 −− = 点 到平面 的距离是 .……………………………………………………12 分 20. (1)顶点 到斜边 的距离为 , …………………3 分 所以斜边 , …………………………4 分 故 的面积为 ． ………6 分 (2)由题意知, ,又 ,所以 ,…………………………………7 分 所以直线 的方程为: ,即 , ………………………9 分 由 ,解得 ,………11 分 所以点 的坐标为 ．……12 分 21.（1）由题知 平面 ，又 平面 ， ，………………1 分 又 且 ， 平面 ，……………………………………………………………………3 分 又 平面 ， ，…………………………………………………4 分 又 且 ， 平面 ，………………………………………………………………5 分 又 平面 ， 。………………………………………………6 分 （2）如图，过点 作 BO⊥EC，垂足为 O；过点 作 BH⊥PC，垂足为 H． 联接 OH． 平面 ，又 平面 ， ， 又 BO⊥EC， ， 平面 ，……………………………………………………………………7 分 又 平面 ， 5 54 3 143 32 '' 1 =⇒××=× ∆ hhS CDB ∴ B CDB1 5 54 C AB ( ) 2 2 0 2 1 8 10 2 5 51 2 d + × − −= = = + 2 4 5AB d= = ABC∆ 1 1 2 5 4 5 202 2S AB d= × × = × × = CD AB⊥ 1 2ABk = − 2CDk = CD 2 1y x= − 2 1 0x y− − = 2 8 0 2 1 0 x y x y + − =  − − = 2 3 x y =  = D ( )2,3 ⊥PE ABC ⊂BC ABC BCPE ⊥∴ BCAB ⊥ EPEAB =∩ ⊥∴BC PAB ⊂AP PAB APBC ⊥∴ CPAP ⊥ CCPBC =∩ ⊥∴ AP PBC ⊂PB PBC PBAP ⊥∴ B B H O PE ⊥ ABC BO ⊂ ABC PE BO∴ ⊥ EC PE E∩ = BO∴ ⊥ PEC PC ⊂ PEC BC PC∴ ⊥平面 ，……………………………………………………………………8 分 又 平面 ， ，…………………………………………………9 分 因此， 为面 与面 的二面角，…………………………………………10 分 因为 ， ， 是以 为直角的直角三角形， ． 同理， ． 由△OHC∽△PEC，可得 ． 因此， ．…………………………………………12 分 22.（1）过点 B（4，0）与点 C（8，－4）的直线方程为：x＋y－4＝0，……………1 分 依题意，知 A，B 两球碰撞时，球 A 的球心在直线 x＋y－4＝0 上，且在第一象限，此时｜ AB｜＝2。设 A，B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为 ，则有： ， 解得： ， ， 即：A，B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为 （ ， ），…………………………2 分 , , ,PC BH PC BO BH BO B⊥ ⊥ ∩ = PC∴ ⊥ BHO OH ⊂ BHO OH PC∴ ⊥ BHO∠ BPC PCE 2BC = 4PC = PBC∆ PBC∠ 3PC BCPBBH =×=∴ 3PE = 39 13 PE HCOH EC ×∴ = = 13 13 313 39 BH OHBHOcos ===∠ ( ),a b ( )2 2 4 0 4 2 0, 0 a b a b a b + − =  − + =  > > 4 2a = − 2b = 'A 4 2− 2所以，母球 A 运动的直线方程为： 。…………………………3 分 所以而 （2）因为 =(4- 2+ )， =(- )， =(4- 2+ ) (- )= 4- >0 故∠AA’B 为锐角。………………………………………………………………………………5 分 所以，点 B 到线段 AA’的距离小于 ，…………………………………………………6 分 故球 的球心未到直线 BC 之前就会与球 碰撞。……………………………………………7 分 故不可能让母球 击打目标 球后，使目标 球向 处运动。………………………8 分 (3) 的最小值为 .要使得 最小，临界条件为球 A 从球 B 的左上方 A’处撞击球 B 后， B 球从球 C 的右上方 B’处撞击球 C.如下图所示，……………………………………………9 分 2 2 2 1 74 2 y x x += = − ( )4,0 2 A B A B B ( )8, 4− a 2 2− a设 B’是球 B 的所有路径中最远离 BC 的那条路径上离球 C 最近的点，则有 ，联 立 ， 解得 ，所有直线 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，易得 .过 作倾斜角为 的直线，交 轴于点 ，易得 ， 就是一个符合题意的初始位置.若 ，则球 会在达到 之前就与球 碰撞，不合题 意.因此 的最小值为 .……………………………………………………………12 分 2 BB B C B C ′ ′ ′ ⊥  = ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2 7 2 5 2 0 7 2 5 2 4 x x y y x y  − − + + =  − + + = ( )8 2, 4 2B′ − 'CB 45 'A B 145 ( )3 2, 2A′ ( )3 2, 2A′ 45 y A ( )2 2,0A − 2 2a < − A 'A B a 2 2−