鹤岗一中高三第二次月考数学（理科）试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 等于（）
2．已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为（ ）
A．0 B． C．-6 D．6
3．设 , 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
4．若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5．已知： ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，
斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤,长 5 尺,头部 1 尺,重 4 斤,尾部 1 尺,重 2 斤”，若
该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6 斤 B．7 斤 C．9 斤 D．15 斤
7．若点 P 在直线 l1：x＋y＋3＝0 上，过点 P 的直线 l2 与曲线 C：(x－5)2＋y2＝16 相切于
点 M，则|PM|的最小值为( )
A. 2 B．2 C．2 2 D．4
8．函数 的部分图象大致是（ ）
{ }A. 2 3x x− ≤ < { }B. -2x x ≤ { }C. 3x x < { }D. -2x x <
m n α β
/ /m α / /n α //m n / /α β m α⊂ n β⊂ //m n
mα β = n ⊂ α n m⊥ n β⊥ m α⊥ //m n n β⊂ α β⊥
2y x= − α sin 2α
4
5
− 4
5
4
5
± 3
5-
6log 5a = 0.3b π= 1ln 2c =
c a b< < b a c< < c b a< < a b c< <
2
2sin | | 1( ) xf x x
−=A. B. C. D.
9．一个圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为 ，圆锥内有一个内接正方体，则这
个正方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．以下判断正确的是（ ）
A．函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件.
B．命题“存在 ”的否定是“任意 ”.
C．“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件.
D．命题“在 中，若 ”的逆命题为假命题．
11.如图， 是以 直径的圆 上的动点，已知 ，
则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
12．已知椭圆 的左、右焦点为 ，若椭圆 C 上存在点 （异
于长轴的端点），且使得 ，则椭圆 C 离心率 e 的取值范围是
（ ）
4
π
2( 2 1)− 38(2 2)− 38( 2 1)− 38( 2 1)+
1
2 5 3− 2
2 3 1−
1: 2
2
2
2
=+
b
y
a
xC PA. B. C. D.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分。
13. 求经过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距 2 倍的直线方程为________.
14. 的周长为 20,顶点 和 ,则顶点 的轨迹方程为 ．
15. 两圆 和 恰有三条公切线，若
, ，且 ，则 的最小值为______.
16. 已 知 函 数 ，（ 为 实 数 ），若 存 在 实 数 ， 使 得
对任意 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
三、解答题：共计 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤。
第 17～21 题为必考题，第 22、23 题为选考题。
（一）必考题：共计 60 分
17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式 和前 项和 ；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，若不等式 对
于任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
18. 如 图 ， 是 平 行 四 边 形 ， 平 面 ， ，
， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. 已 知 A ， B ， C 是 的 内 角 ， a ， b ， c 分 别 是 其 对 边 长 ， 向 量
， ，且 .
(1)求角 的大小； (2)若 ， ，求 的面积。
1 3,2 4
32 1, 4
−
( )2 1,1− 1 , 3 12
−
( )4 3− ， x y
ABC∆ ( )B 0,-4 ( )C 0 4， A
042 222 =−+++ aaxyx 0414 222 =+−−+ bbyyx
Ra ∈ Rb ∈ 0≠ab 22
11
ba
+
1( ) ( )x xf x e ta g x ae x+= − = −， t a， a
( ) ( )f x g x≤ x R∈ t
nT tTn <
ABCD AP ⊥ ABCD //BE AP
2AB AP= = 1BE BC= = 60CBA∠ =
//EC PAD
EC CDP
ABC∆
(sin sin ,sin )m B A C= + (sin sin ,sin sin )n B A C B= − − m n⊥
A 2a = 4b c+ = ABC∆20. 设椭圆中心在原点，焦点在 轴上， 分别为椭圆长轴的左、右两个端点， 为椭圆
的右焦点。已知椭圆的离心率为 ，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 是椭圆上位于 轴上方的一个动点，直线 分别与直线 相交于点
，求 的最小值。
21. 已知函数 ．
（1）求证：当 时， ；
（2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共计 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分。
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ）， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值．
23. 【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ， ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若对任意的 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
x A B、 F
2
2
AF BF =2⋅
M x AM BM， 3x =
D E， DE
2
( ) cos 12
xf x x= + −
0x ≥ ( ) 0f x ≥
sin cos 2axe x x≥ − + 0x ≥ a
cos 2 sin 4 0ρ θ ρ θ− − =高三数学（理）参考答案
13. 14.
15. 1 16.
17. 试题解析：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则由 ，
得 ，
解得
所以 ，
即 ，
即
（2）由 得
，
因为 对于任意的 恒成立，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A D D D A D A B C C A C
3x+4 0 2 2 0y x y= + − =或
2 2
1( 0)36 20
y x x+ = ≠
1 ,e
− +∞
2
1
1
112
1
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