高三学年第二次月考数学（文科）试题
一、单选题（共 12 小题）
1．设全集 ，集合 ， ，则 等于（）
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为（ ）
A．0 B． C．-6 D．6
3．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
4．设 , 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
5．已知： ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，
斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2
斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6 斤 B．7 斤 C．9 斤 D．15 斤
7．若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
m n α β
/ /m α / /n α //m n
/ /α β m α⊂ n β⊂ //m n
mα β = n ⊂ α n m⊥ n β⊥
m α⊥ //m n n β⊂ α β⊥
6log 5a = 0.3b π= 1ln 2c =
c a b< < b a c< < c b a< < a b c< <
2y x= − α sin 2αA. B. C. D.
8．函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9．一个圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为 ，圆锥内有一个内接正方体，则这
个正方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．以下判断正确的是（ ）
A．函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件.
B．命题“存在 ”的否定是“任意 ”.
C．“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件.
D．命题“在 中，若 ”的逆命题为假命题．
11． 如图所示，两个不共线向量 , 的夹角为 ， 分别为 与 的中点，点
在 直 线 上 ， 且 ， 则 的 最 小 值 为 （ ）
4
5
− 4
5
4
5
± 3
5-
2
2sin | | 1( ) xf x x
−=
4
π
2( 2 1)− 38(2 2)− 38( 2 1)− 38( 2 1)+A． B． C． D．
12．已知 是函数 的导函数，且 ， ，若
有两个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共 4 小题）
13. 求经过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距 2 倍的直线方程为________.
14.规定 ，如： ，则函数 的值域为
．
15.已知点 满足线性约束条件 点 ，O 为坐标原点,则 的最
大值为__________．
16.已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积
为 ， ， ，则此球的表面积等于_______________．
三、解答题
17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式 和前 项和 ；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，若不等式 对于任意的 恒成
立，求实数 的取值范围．
( )f x′ ( )f x 1(1)f e
= 3 23 5 1( ) ( ) x
x x xf x f x e
′ − + −+ =
2( )xe f x m x− = m
( ,0]−∞ ( ,0)−∞ [0, )+∞ (0, )+∞
( )4 3− ， x y
nT tTn
( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ = a
( ) ( ) 2lng x f x x= −
( )f x m n 2ln 2 3m n+ < −高三数学（文
）参考答案
13. 14. 15. 11 16.
12.试题解析：若 有两个不同的零点，则 ，
设 ，则 与 有两个交点，
由题， ，
令 ，则 ，
故 在 递减，在 递增， ，故选 D
17. 试题解析：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则由 ，得 ，解得
所以 ，即
，即
（2）由 得
，
因为 对于任意的 恒成立，所以
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A D B D A D A B C C B D
3 2 2 04y x x y= − + − =或
2( )xe f x m x− = ( ) 2xm e f x x= −
( ) ( ) 2xg x e f x x= − y m= ( )y g x=
( ) ( ) ( ) 2x xg x e f x e f x x′ ′∴ = + −
3 23 5 1( ) ( ) x
x x xf x f x e
′ − + −+ = ( ) ( ) 3 23 5 1x xe f x e f x x x x′∴ + = − + −
( ) ( )33 23 3 1 1g x x x x x′∴ = − + − = − ( ) 0g x¢ = 1x =
( )g x ( ),1−∞ ( )1,+¥ ( ) ( )11 1 1 0m g e f∴ > = − =
2
1
1
112
1
(0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
1x 2x ( ) 0f x′ = 1 2
1
2x x a
+ = 1 2
1
2x x a
=由题意得 ，解得 ，
又因为函数 的极大值和极小值分别为 ， ，
则 ，
令 ，则 ，当 时， ，所以 是
增函数，
则 ，即 .
22.试题解析：（1）由 消去参数 得，曲线 的普通方程得
由 得，曲线 的直角坐标方程为
（ 2 ） 设 ， 则 点 到 曲 线 的 距 离 为
当 时， 有最小值 0，所以 的最小值为 0．
23.试题解析：（1）由 得 ， ，解得 ．
所以原不等式的解集为
（2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立
所以 ，
有 ，
，所以 从而 或
2
4 1( ) 4
ag a a
′ −= − 10 8a< < ( ) 0g a′ > ( )g a
1( ) 2ln 2 38g a g < = − 2ln 2 3m n+ < −
1 2
1 2
1 8 0
0
0
a
x x
x x
∆ = − >
+ >
>
10 8a< <
( )f x m n
( ) ( )1 2m n f x f x+ = + 2 2
1 1 1 2 2 2ln lnax x x ax x x= − + + +−
( )2
1 2 1 2 1 2 1 2
1ln 2 ln 2 1 4x x a x x x x x x a a
= + + − − − = − − −
( ) 1ln 2 1 4g a a a
= − − −
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