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2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
第1课时 众数、中位数、平均数
课时目标
理解中位数、众数、平均数的意义，了解样本平均数和总体平均数的关系，掌握平均数的计算公式，会用样本平均数估计总体平均数．
识记强化
1．众数、中位数、平均数，其定义分别是
(1)在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(2)将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)(n∈N*)．
2．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
(1)众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标．
(2)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”．等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
课时作业
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一、选择题
1．给出下列数据：3,9,8,3,4,3,5，则众数与极差分别是( )
A．3,9 B．3,6
C．5,1 D．9,9
答案：B
解析：根据众数与极差的定义，容易得出选B.
2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
答案：A
解析：数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有数据求和除以数据的个数，数据从小到大排列后中位数为＝91.5，
平均数为
＝91.5.
3.是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝a＋b D.＝
答案：A
4．设矩形的长为a，宽为b，其比满足ba＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
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B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定
答案：A
解析：甲批次的样本平均数为
＝0.617；
乙批次的样本平均数为
＝0.613.
所以可估计：甲批次的总体平均数与标准值更接近，选A.
5．某班十名同学的数学成绩：82,91,73,84,98,110,99，101,98,118，则该组数据的众数、中位数分别是( )
A．98、98 B．118、98
C．74、85 D．98、110
答案：A
解析：出现最多的数为98，故98为众数，把这十个数从小到大排列后，中间两数为98,98，故中位数为×(98＋98)＝98.
6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A．3.5 B．－3
C．3 D．－0.5
答案：B
解析：少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.
二、填空题
7．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________、________.
答案：45 46
解析：甲位于中间的数是45，把乙的数据排序后，位于中间的数是46.
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8．对共有10人的一个数学小组做一次数学测验，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得5分，答错或不答得0分，批阅后的统计得分情况如下：
得分
50分
≥45分
≥40分
≥35分
人数
2
4
8
10
则这次测试的平均成绩为________．
答案：42
解析：由题意分析知，得50分的有2人，得45分的有2人，得40分的有4人，得35分的有2人，则平均成绩为
＝42分．
9．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．
答案：24 23
解析：甲＝(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，
乙＝(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.
三、解答题
10．某中学生在30天中日记忆英语单词量为有2天日记忆量为51个，3天是52个，6天是53个，8天是54个，7天是55个，3天是56个，1天是57个，计算这个中学生30天中的平均日记忆量．
解：题中出现的数据中，51出现2次，52出现3次，53出现6次，54出现8次，55出现7次，56出现3次，57出现1次，由于这组数据都比50稍大一些，将数据51,52,53,54,55,56,57同时减去50，得到1,2,3,4,5,6,7，它们出现的次数依次是2,3,6,8,7,3,1，那么这组新数据的平均数是
＝＝≈4.
故＝＋50≈4＋50＝54(个)
答：这个中学生30天中的平均日记忆量为54个．
11．某教师出了一份共3道题的测试卷，每题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%.
(1)若全班共10人，则平均分是多少？
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(2)若全班共20人，则平均分是多少？
(3)若该班人数未知，能求出该班的平均分吗？
解：(1)由题意得：
平均分＝3×30%＋2×50%＋1×10%＋0×10%＝2(分)，
故全班的平均分为2分．
(2)当全班共20人时，由题意可得：
3分学生有6人，2分学生有10人，1分学生有2人，0分学生2人，
平均分＝＝2(分)．
(3)设全班共有n人，由题意可得：
平均分
＝＝
2(分)．
能力提升
12．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( )
A．me＝m0＝ B．me＝m0<
C．mem0，故选D.
13．某年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0m(精确到0.1m
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)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由．
解：(1)由题易知，第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14，
∴此次测试的总人数为＝50.
∴这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28×1＋0.30×1＋0.14×1)×50＝36.
(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．
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