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2．3 变量间的相关关系
课时目标
1.理解变量之间的相关关系的概念和线性回归的概念．
2．了解线性回归的基本思想和方法．
3．能根据两个相关关系的变量的数据作出散点图．
4．了解运用最小二乘法的思想求回归直线方程的方法．
识记强化
1．相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
3．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
4．回归直线方程＝x＋，其中
.
b是回归方程的斜率，a是截距．
5．通过求Q＝(yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
课时作业
一、选择题
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1．下列关系中，属于负相关的是( )
A．父母的身高与子女身高的关系
B．农作物产量与施肥量的关系
C．吸烟与健康的关系
D．数学成绩与物理成绩的关系
答案：C
解析：吸烟有害健康，因此，吸烟与健康之间的关系属于负相关．
2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．回归直线方程最能代表观测值x、y之间的关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
答案：D
解析：只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．
3．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
答案：C
解析：由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．
4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)呈负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
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答案：A
解析：∵销售量y(件)与销售价格x(元/件)呈负相关，
∴x的系数为负．
又∵y不能为负值，
∴常数项必须是正值．故选A.
5．线性回归方程＝bx＋a必过( )
A．(，) B．(，0)
C．(0，) D．(0,0)
答案：A
解析：回归直线一定过样本中心(，)．
6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A.＝x－1 B.＝x＋1
C.＝0.5x＋88 D.＝176
答案：A
解析：分别将数据代入选项中，经验证A正确．
二、填空题
7．对于回归方程＝4.75x＋257，当x＝28时，y的估计值是________．
答案：390
解析：＝4.75×28＋257＝390.
8．某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：由资料显示y与x呈线性相关关系.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表提供的数据得到回归方程＝bx＋a中的b＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．
答案：15
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解析：＝(30＋40＋60＋50＋70)＝50，
由＝6.5知，＝－·＝50－6.5×5＝17.5，
∴＝17.5＋6.5x，当＝115时，解得x＝15.
9．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且回归直线方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
答案：87.5%
解析：设该地区人均工资收入为＝0.7＋2.1，
当＝10.5时，＝＝12.
∴×100%＝87.5%.
三、解答题
10．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表中的数据制成散点图，你能从散点图中发现广告费支出与销售额之间的近似关系吗？
解：散点图如图：
从散点图中，可以看出广告费支出与销售额之间的总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的．
11．下面是两个变量的一组数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
1
4
9
16
25
36
49
64
请用最小二乘法求出这两个变量之间的回归直线方程．
解：根据表中的数据，可以计算出：＝4.5，＝25.5，其他数据如下表：
xi
yi
x
xiyi
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1
1
1
1
2
4
4
8
3
9
9
27
4
16
16
64
5
25
25
125
6
36
36
216
7
49
49
343
8
64
64
512
合计
36
204
204
1296
进而，可以求得
＝＝9，＝－15.
于是，线性回归方程是＝－15＋9x.
能力提升
12．工人月工资y(元)与劳动生产率x(千元)变化的回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
①劳动生产率为1千元时，工资为130元
②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元
③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元
④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元
A．①② B．①②④
C．②④ D．①②③④
答案：B
解析：对于＝50＋80x，当劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，而不是130元，故③错．
13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/件
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝y－x；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
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解：(1)＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
又＝－20，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
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