浙江高考仿真卷(三)
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1．已知集合 A＝{x∈Z|x≤0}，B＝{x|－1 ≤ x ≤ 6}，则 A∩B 等于( )
A．{x|－1≤x≤0} B．{x|x≤6}
C．{0,1,2,3,4,5,6} D．{0，－1}
答案 D
解析 A＝{x∈Z|x≤0}，B＝{x|－1≤x≤6}，则 A∩B＝{0，－1}．
2．若双曲线x2
a2－y2＝1(a>0)的实轴长为 2，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝± 2x
C．y＝±1
2x D．y＝±2x
答案 A
解析 双曲线的实轴长为 2，得 a＝1，又 b＝1，所以双曲线的渐近线方程为 y＝±x.
3．设 α 是空间中的一个平面，l，m，n 是三条不同的直线．
①若 m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则 l⊥α；
②若 l∥m，m∥n，l⊥α，则 n⊥α；
③若 l∥m，m⊥α，n⊥α，则 n∥l；
④若 m⊂α，n⊥α，l⊥n，则 l∥m.
则上述命题中正确的是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
答案 D
解析 对于①，当 m，n 相交时，才能得到 l⊥α，①错误；对于②，由 l∥m，m∥n 得 l∥n，
又因为 l⊥α，所以 n⊥α，②正确；对于③，因为 m⊥α，n⊥α，所以 m∥n，又因为 l∥m，
所以 n∥l，③正确；对于④，直线 l 与 m 可能相交、平行或互为异面直线，④错误．综上所
述，正确命题的序号为②③.
4．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的最小正周期是 π，若将该函数的图象向右平移π
6个
单位长度后得到的函数图象关于直线 x＝π
2对称，则函数 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin(2x＋π
3) B．f(x)＝sin(2x－π
3)
C．f(x)＝sin(2x＋π
6) D．f(x)＝sin(2x－π
6)答案 D
解析 因为函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是 π，
所以2π
ω＝π，解得 ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)，
将该函数的图象向右平移π
6个单位长度后，
得到图象所对应的函数解析式为
y＝sin[2(x－π
6 )＋φ]＝sin(2x＋φ－π
3)，
由此函数图象关于直线 x＝π
2对称，得
2×π
2＋φ－π
3＝kπ＋π
2，k∈Z，即 φ＝kπ－π
6，k∈Z，
取 k＝0，得 φ＝－π
6，满足|φ|0”是“S3>S2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C解析 设等比数列{an}的公比为 q，S3>S2⇔a3>0⇔a1q2>0⇔a1>0，故选 C.
7．一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 n(n∈N*)个黑球．现从中有放回的摸取 4 次，
每次都是随机摸取一个球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)＝1，则 E(X)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 设摸取一次摸得白球的概率为 p，则易得 X～B(4，p)，D(X)＝4p(1－p)＝1，解得 p＝
1
2，则 E(X)＝4×1
2＝2.
8．将颜色分别为红色、黄色、蓝色的 3 个球，放入编号为 1,2，…，7 的七个盒子中，每一
个盒子至多放 2 个球，则不同的放法有( )
A．98 种 B．196 种 C．252 种 D．336 种
答案 D
解析 3 个球放入编号为 1,2，…，7 的七个盒子中，每个盒子至多放 2 个球，应采用排除法，
每个球放入盒子的放法各有 7 种，共 73 种，排除 3 个球放在同一个盒中的 7 种放法，则共有
73－7＝336(种)放法．
9．已知向量 a，b 满足|a|＝|a＋b|＝2，则|2a＋b|＋|b|的最大值为( )
A．4 B．4 2 C．4＋2 2 D．8
答案 B
解析 记 a＋b＝m，则|a|＝|m|＝2，|2a＋b|＋|b|＝|a＋m|＋|m－a|≤ 2(|a＋m|2＋|m－a|2)＝2
m2＋a2＝4 2，当且仅当|a＋m|＝|m－a|，即 a·(a＋b)＝0，a·b＝－4 时，取等号，则所求
的最大值为 4 2.
10．已知偶函数 f(x)满足 f(1－x)＝f(1＋x)，当 x∈[0,1]时，f(x)＝ax2－bx＋c，a，b，c∈N*.若
函数 f(x)在[－100，100]上有 400 个零点，则 a＋b＋c 的最小值为( )
A．5 B．8 C．11 D．12
答案 C
解析 由 f(1－x)＝f(1＋x)，得 f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，则函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，
函数 f(x)在[－100,100]上有 400 个零点等价于函数 f(x)在[0,1]上有两个不同的零点，又因为 a，
b，c∈N*，
所以Error!即Error!
所以要使 a＋b＋c 取得最小值，不妨取 c＝1，则不等式组化为Error!以 a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不
含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5)，此时 a＝b＝5，所以 a＋b＋
c 的最小值为 11.
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)
11．复数 z＝(3＋4i)2 的虚部为________，z 的共轭复数z＝________.
答案 24 －7－24i
解析 ∵z＝(3＋4i)2＝32＋2×3×4i＋(4i)2＝－7＋24i，∴虚部为 24，共轭复数z＝－7－24i.
12．若变量 x，y 满足Error!则 2x＋y 的最大值为________，y＋1
x－2的取值范围为________．
答案 8 [－3，－1
2]
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令 z＝x＋y，则 y＝－x＋z 表
示的是斜率为－1，在 y 轴上的截距为 z 的直线，当直线在 y 轴上的截距最大时，z 最大，即
直线过点 C 时，z 最大，由Error!得Error!
zmax＝3,2x＋y 的最大值为 23＝8.y＋1
x－2表示的是可行域内的点(x，y)与点(2，－1)连线的斜率，设
D(2，－1)，kAD＝－1
2，kCD＝ 3
－1＝－3，因此y＋1
x－2的取值范围[－3，－1
2].
13．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为________；其外接球的体积为
________．
答案 4 32
3 π
解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥 O－ABCD，
且 AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AO＝ 3，四边形 ABCD 是矩形，OA⊥平面 ABCD，所以该多面体最长的棱长为 OC＝ OA2＋AD2＋CD2＝ 3＋4＋9＝4，该几何体外接球的半
径为 2，其体积 V＝4
3π×23＝32
3 π.
14．已知 (3x2－1
x)n 的展开式中所有二项式系数和为 64，则 n＝________；二项展开式中含 x3
的系数为________．
答案 6 －540
解析 (3x2－1
x)n 展开式中所有二项式系数和为 64，
∴2n＝64，解得 n＝6；
∴(3x2－1
x)6 展开式的通项公式为
Tk＋1＝Ck6·(3x2)6－k·(－1
x )k
＝(－1)k·36－k·C k6·x12－3k，
令 12－3k ＝3，解得 k＝3，
∴二项式展开式中含 x3 项的系数为(－1)3×33×C36＝－540.
15．已知实数 a≥1
2，b≥1
2，且 a2－a＝b－b2，则 M＝b2
a ＋a2
b 的最大值是________．
答案 3 2
2 ＋1
解析 由 a2－a＝b－b2 化简得，(a－1
2 )2＋(b－1
2 )2＝1
2，又实数 a≥1
2，b≥1
2，图形为1
4圆，如
图：
由 a2－a＝b－b2，可得 a2＝a＋b－b2，b2＝a＋b－a2，
则 M＝b2
a ＋a2
b ＝a＋b－a2
a ＋a＋b－b2
b ＝1＋b
a－a＋1＋a
b－b＝b
a＋a
b－a－b＋2，
由几何意义得，b
a∈[ 2－1,1＋ 2]，则a
b∈[ 2－1，1＋ 2]，则当过点 A 或点 B 时，a＋b
取最小值，可得 Mmax＝ 2－1＋1＋ 2－(1
2＋1
2＋ 2
2 )＋2＝3 2
2 ＋1，
所以 M＝b2
a ＋a2
b 的最大值是3 2
2 ＋1.16.如图，椭圆 M：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的两个顶点 A(a,0)，B(0，b)，过 A，B 分别作 AB 的垂线
交椭圆 M 于 D，C(不同于顶点)，若|BC|＝3|AD|，则椭圆 M 的离心率 e＝________.
答案 6
3
解析 直线 AB 的斜率为－b
a，故直线 BC，AD 的斜率都为a
b，所以直线 BC 的方程为 y＝a
bx＋
b，直线 AD 的方程为 y＝ a
b(x－a ).将直线 BC 的方程代入椭圆方程，求得 C 点的坐标为
(－2a3b2
a4＋b4 ，b5－a4b
a4＋b4 )，将直线 AD 的方程代入椭圆方程，求得 D 点的坐标为(a5－ab4
a4＋b4 ，－2a2b3
a4＋b4 )，
由于|BC|＝3|AD|，即BC
→
＝3AD
→
，也即(－2a3b2
a4＋b4 ，－2a4b
a4＋b4)＝3(－2ab4
a4＋b4，－2a2b3
a4＋b4 )，即
－2a3b2
a4＋b4 ＝
－6ab4
a4＋b4，化简得b2
a2＝1
3.故离心率为 e＝ 1－(b
a )2＝ 6
3 .
17．已知 f(x)＝2x2＋2x＋b 是定义在[－1,0]上的函数， 若 f(f(x))≤0 在定义域上恒成立，而且
存在实数 x0 满足：f(f(x0))＝x0 且 f(x0)≠x0，则实数 b 的取值范围是________．
答案 [－1
2，－3
8)
解析 因为 f(x)min＝f (－1
2 )＝b－1
2，
f(x)max＝f(0)＝f(－1)＝b，
所以Error!得 b∈[－1
2，0]时满足
f(f(x))≤0；
设 f(x0)＝y0，则 f(y0)＝x0 且 y0≠x0，
所以函数 f(x)＝2x2＋2x＋b 图象上存在两点关于直线 y＝x 对称，
令 l：y＝－x＋m，
由Error!得 2x2＋3x＋b－m＝0，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)为直线与抛物线的交点，线段 MN 的中点为 E(xE，yE)，
所以Error!
所以 E(－3
4，3
4＋m)，而 E 在 y＝x 上，所以 m＝－3
2，
从而 2x2＋3x＋b＋3
2＝0 在[－1,0]上有两个不相等的实数根，
令 h(x)＝2x2＋3x＋b＋3
2，
所以Error!
得 b∈[－1
2，－3
8).
三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分．)
18．(14 分)已知函数 f(x)＝cos x( 3sin x－cos x)＋1
2.
(1)求 f (π
3 )的值；
(2)当 x∈[0，π
2 ]时，不等式 c
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