高三期中考试
文科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知全集 ， ， ，则集合
A. B. C. D.
2．设 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为
A．1 B．-1 C．-2 D．2
3．已知命题 ： ， ，则 为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4．
A． B． C． D．
5．若 ， ，则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
6．设 满足约束条件 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7．若方程 的解为 ，则 所在区间为
A． B． C． D．
8．曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为
U = R { | 0}A x x= ≤ { | 1}B x x= ≥ ( )UC A B =
{ | 0}x x ≥ { | 1}x x ≤ { | 0 1}x x≤ ≤ { | 0 1}x x< <
i z ( )1 3z i z− = + z
p x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + > p¬
x R∃ ∉ 2 1 0x x+ + ≤ x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + ≤
x R∃ ∉ 2 1 0x x+ + > x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + >
sin40 sin10 cos40 sin80+ =
1
2
3
2
− cos50 3
2
0 1x y< < < 0 1a< <
log log
2 3
a ax y< cos cosax ay<
x ya a< a ax y<
,x y
2 2 0
2 6 0
2 0
x y
x y
y
− − ≤
+ − ≥
− ≤
xz y
=
1 ,14
2 ,17
[ ]1,4 71, 2
3( ) 2f x x x= + − P 4 1 0x y+ + = PA． B． 或 C． D． 或
9．已知函数 满足对任意 ， ,都有
成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
10．设函数 的一条对称轴为直线 ，将曲线
向右平移 个单位后得到曲线 ，则在下列区间中，函数 为增函数的是
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 ，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知向量 ，若向量 与 垂直，则 ______．
14．函数 的一段图象如图所示 则 的解析
式为______．
15．已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，则 a－b＝________．
16．若点 P 是曲线 上的任意一点，则点 P 到直线 的最小距离是
________.
(1,0) (1,0) ( 1, 4)− − (2,8) (2,8) ( 1, 4)− −
( ) ( )
0
3 4 0
xa xf x a x a x
< . ( )f x
2 lny x x= − 2y x= −三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）若 ，求函数 的最大值以及取得最大值时 的值.
18．（本大题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小值；
(Ⅱ)求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
19．（本大题满分 12 分）
在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
（Ⅰ）求证： 成等差数列；
(Ⅱ)若 ， 的面积为 ，求 .
20．（14 分）正方形 所在平面与三角形 所在平面相交于 ， 平面 ，
且 ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
2 2( ) 2 3sin cos cos sinf x x x x x= + −
( )f x
(0, )2x
π∈ ( )f x x
2( ) 2 2, [ 5,5]f x x ax x= + + ∈ −
( )f x
a ( )y f x= [ 5,5]−
ABC∆ , ,A B C , ,a b c (1 cos ) (2 cos )b C c B+ = −
, ,a c b
3C
π= ABC∆ 4 3 c(Ⅱ)求凸多面体 的体积．
21．（本大题满分 12 分）
已知函数 ，
（Ⅰ）讨论函数 的零点个数；
（Ⅱ） ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以平面直角坐标
系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程，并指明曲线 C 的形状；
(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且｜OA｜ = − ( ) 0f x′ = lnx a=
( ) 0,f x′ > ( )f x ( ),lna−∞
( ) 0,f x′ < ( )f x ( )ln ,a +∞
( )f x∴ ( ) ( )ln ln ln 1f a a a a a a= − = −
( )ln 1 0a a − < 0 a e< < ( )f x
a e> ( )0 1 0,f = − < ( ),x f x→ +∞ → −∞ ( )f x∴
[ ) ( ) ( )1, , xx f x g x e∀ ∈ +∞ ≥ −
lnxax x
≥ 2
lnxa x
≥
( ) 2
lnxh x x
= 2
max
lnxa x
≥
( ) 3
1 2lnxh x x
−′ = ( ) 0,h x x e=′ =则
) ( )/1, , 0,x e h x∈ > ( )h x
( ) ( )/, 0x e h x，∈ +∞ < ( )h x
∴ x e= ( )h x 1
2e
1
2a e
≥
5
5
2 5
5
x t
y t
=
=
2 π2 2 sin 14
ρ ρ θ = + −
2 2 cos 2 1 0sinρ ρ θ ρ θ− − + = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + =可得直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程，曲线 C 的形状；
(Ⅱ) 联立直线 l 与曲线 C 的方程，得 ，消去 ，得
，设 A、B 对应的极径分别为 ，则 ， ，
所以 即可得解.
试题解析：
(Ⅰ)由 消去参数 t，得 y =2x，
由 ，得 ，
所以曲线 C 的直角坐标方程为 ，
即 .
即曲线 C 是圆心为(1，1)，半径 r=1 的圆.
(Ⅱ)联立直线 l 与曲线 C 的方程，得 ，消去 ，得
，
设 A、B 对应的极径分别为 ，则 ， ，
所以 .
23．（1） ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
2 2 2 1 0
2
sin sin
tan
ρ ρ θ ρ θ
θ
− − + =
=
θ
2 6 5 1 05
ρ ρ− + = 1 2
ρ ρ， 1 2
6 5
5
ρ ρ+ = 1 2 1ρ ρ⋅ =
( )2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
41 1
OA OB
ρ ρ ρ ρρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+ −−− = =
5
5
2 5
5
x t
y t
=
=
2 π2 2 sin 14
ρ ρ θ = + −
2 2 cos 2 1 0sinρ ρ θ ρ θ− − + =
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + =
( ) ( )2 21 1 1x y− + − =
2 2 2 1 0
2
sin sin
tan
ρ ρ θ ρ θ
θ
− − + =
=
θ
2 6 5 1 05
ρ ρ− + =
1 2
ρ ρ， 1 2
6 5
5
ρ ρ+ = 1 2 1ρ ρ⋅ =
( )2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
41 1 4 5
5OA OB
ρ ρ ρ ρρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+ −−− = = =
2 , 1
( ) 1 1 { 2 , 1
2, 1 1
x x
f x x x x x
x
>
= + + − = − < −
− ≤ ≤
1x > 2 4x < 1 2x< <
1x < − 2 4x− < 2 1x− < < −当 时， 恒成立；
综合以上：
（2）证明 ，
只需 ，
只需
∵
又∵ ，
∴ 因此结果成立.
1 1x− ≤ ≤ 2 4<
{ }| 2 2x x− < <
2 4a b ab+ < +
2 2 2 24( 2 ) 16 8a ab b ab a b+ + < + +
2 2 2 24 4 16a b a b+ < +
2 2 2 2 2 24 4 16 ( 4)( 4)a b a b a b− − + = − −
2 2(0,4), (0,4)a b∈ ∈
2 2 2 24 4 16 0a b a b− − + >
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