2019-2020 学年度第一学期期中考试
高三年级文科数学试卷
总分：150 分 考试时间：120 分钟
第 I 卷 选择题
一、选择题（本大题共有 12 小题，四个选项中只有一个正确，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 ， 则 =（ ）
A. B. C. D.
2． （ ）
A.-1 B. C.1 D.
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
4． 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
[
5．已知非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6.将函数 图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数
的图像，则 =（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若
，则 的值是（ ）
1tan 2
α = 3, 2
πα π ∈ cos 2
πα − =
5
5
− 5
5
2 5
5
2 5
5
−
{ }2| 2 3 0A x x x= + − = { 3, 1,1,3}B = − − A B
{1, 3}− { 1, 3}− − { 1,3}− {1,3}
1
1
i
i
+ =−
i− i
0 1x< < 2log ( 1) 1x + <
,a b 7a b a+ = ( ) 0a b a− =
,a b
30 45 60 90
( ) cos 3 6f x x
π = + 6
π ( )y g x=
3g
π
2
π 3- 2
1
2
1- 2
{ }na { }nb
2 6 10 1 6 113 3, 7a a a b b b π⋅ ⋅ = + + = 2 10
3 9
tan1
b b
a a
+
− ⋅
临川二中
临川二中实验学校A． 1 B． C． D．
8．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至
于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，
比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值 x，这可以通过方
程 确定出来 ，类比上述结论可得 的正值为
（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女
生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．函数 的大致图象是( )
A． B．
C． D．
9．在 中， ， ，点 在双曲线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
12． 已知函数 有两个零点 ， ，则下列判断：① ；② ；③
；④有极小值点 ，且 .则正确判断的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
( ) xf x e ax= − 1x 2x a e< 1 2 2x x+ <
1 2 1x x⋅ > 0x 1 2 02x x x+ <
2
2
2- 2 - 3
2 2 2+ + +
2x x+ = 2x = 2 2 2log 2 log (2 log ( )[ ]2 )+ + +
2
1
10
1
5
3
10
2
5
cosy x x= +
ABC△ ( )5,0A − ( )5,0B C
2 2
116 9
x y− = sin sin
sin
A B
C
− =
3
5
3
5
± 4
5
4
5
±第 II 卷 非选择题
二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 ，若 ,则向量 的模为__________．
14．已知 均为锐角且 ， 则 __________．
15．设 D 为 所在平面内一点， ,若 ，则
______．
16．已知函数 ， ，若 与 的图像上存
在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17—21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，若
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分 12 分）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， .
（1）证明： ；
（2）若面 面 ， ， ，
，求 到平面 的距离.
( ) ( ), 2 , 3,4a x x b= − = / /a b a
α β， tan 7α = 4tan 3
β = + =α β
ABC∆ 1 4
3 3AD AB AC= − + ( )BC DC Rλ λ= ∈ λ =
( ) 212lnf x x x ee
= ≤ ≤
( ) 1g x mx= + ( )f x ( )g x
1y = m
{ }na n nS 2 54, 25S S= =
{ }na
1 2
1
n
n n
b a a+ +
= { }nb n nT
ABC∆ A B C a b c
2 cos2a c b C− =
B∠
4a = 7 2cos 10C = ABC∆
S ABCD− ABCD SB SD=
BD SA⊥
SBD ⊥ ABCD SB SD⊥ °60BAD∠ =
1AB = B SAD20．（本小题满分 12 分）已知函数 ， ．
（1）若 ，求 的最大值；
（2）当 时，求证： ．
21．（本小题满分 12 分）已知抛物线 的方程为 ，其焦点为 ， 为过焦点
的抛物线 的弦，过 分别作抛物线的切线 ，设 相交于点 .
（1） 求 的值；
（2）如果圆 的方程为 ，且点 在圆 内部，设直线 与 相交于 两
点，求 的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第
一个题目计分。
22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，已知两点 ， ．
（1）求以 为直径的圆 的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；
（2）以极点 为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为
（ 为参数）．若直线 与圆 相交于 ， 两点，圆 的圆心为 ，求
的面积．
23．（本小题满分 10 分）[选修 4-5；不等式选讲]
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
(0,0)O (2 2, )4B
π
OB C
O x l
1 2
x t
y t
=
= + t l C M N C C MNC△
( ) sin 1f x ax x= − − [0,π]x∈
1
2a = ( )f x
2
πa ≤ ( ) cos 0f x x+ ≤
1C 2 2x y= F AB F
1C ,A B 1 2,l l 1 2,l l P
PA PB⋅
2C 2 2 8x y+ = P 2C AB 2C ,C D
| | | |AB CD⋅
( ) | 1| | 2 | ( )f x x m x m= + − − ∈R
3m = 1f x >（ ）
[ 1,2]x∈ − 2 1f x x< +（ ） m文科数学试题参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D A A C D D C C A D A
二、填空题
13．10 14. 15. -3 16.
三、解答题
17.（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 .
由 得 ，由 得
所以 …………….3 分
所以 的通项公式为 …………6 分
（2）由（1）知， ……….8 分
……12 分
18.（1）【解法一】由正弦定理得 ，…………1 分
3
4
π
3
22 ,3e e
− −
{ }na 1a d
2 4S = 12 4a d+ = 5 25S = 15 10 25a d+ =
1 1, d 2a = =
{ }na 2 1na n= −
1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3nb n n n n
= = − + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3n nT b b b b n n
∴ = + + +…+ = − + − +…+ − + +
1 1 1
2 3 2 3 6 9
n
n n
= − = + +
2sin sin sin cos2A C B C− =，
；…………2 分
，…………3 分
，…………4 分
，…………5 分
…………6 分
（1）【解法二】由余弦定理得 …………1 分
化简得 ，…………2 分
…………4 分
，…………5 分
…………6 分
（2）由 ， ，得 ，…………7 分
在 中 ，
，……9 分
由正弦定理 ，得 ，…………11 分
…………12 分
19.解：（1）连接 交 于 ，连接 . …………1 分
( ) 2sin sin sin cos2B C C B C+ − =
2sin cos sin2C B C∴ =
sin 0C ≠
2cos 2B∴ =
( )0,B π∈
4B
π∴ =
2 2 22
2 2
a b ca c b ab
+ −− = ⋅
2 2 2 2b a c ac= + −
2 2 2 2cos 2 2
c a bB ac
+ −∴ = =
( )0,B π∈
4B
π∴ =
7 2cos 10C = ( )0,C π∈ 2 2sin 1 cos 10C C= − =
ABC∆
( ) 2 7 2 2 2 4sin sin sin cos cos sin 2 10 2 10 5A B C B C B C= + = + = × + × =
sin sin
b a
B A
= 4 2 5 2sin 4sin 2 2
5
ab BA
= ⋅ = × =
1 1 5 2 2sin 4 12 2 2 10ABCS ab C∆ = = × × × =
AC BD O SO在菱形 中， ， 是 的中点，又因为 ，所以所以 ，
又 ，
所以 …………4 分
又 ，所以 . …………5 分
（ 2 ） 因 为 面 面 ， 面 面 ，
， ，所以 ，即 是三棱
锥 的高 …………7 分
依题意可得， 是等边三角形，所以 ， ，
在等腰 ， ， …………9 分
经计算得 ， ，
等腰三角形 的面积为 …………10 分
设 到平面 的距离为 ，则由 可得
，解得
所以 到平面 的距离为 …………12 分
20.解（1）当 时， ，………..1 分
由 ，得 ，所以 时， ； 时， ，
因此 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，……..4 分
∴ 的最大值为 ．………..5 分
ABCD BD AC⊥ O BD SB SD= BD SO⊥
AC SO O=
BD SAC⊥ 面
SA SAC⊂ 面 BD SA⊥
SBD ⊥ ABCD SBD ABCD =BD
SO BD⊥ SO SBD⊂ 面 SO ABCD⊥ 面 SO
S ABD−
ABD∆ 1BD AD= = 3
2AO =
Rt SBD∆ 1 1
2 2SO BD= = 1 1 3 1 313 2 2 2 24S ABDV −
= × × × × =
2
2SD = 1SA =
ASD
2
1 2 2 712 2 4 8ASDS∆
= × × − =
B SAD h =B SAD S ABDV V− −
1 3
3 24ASDS h∆× × = 21= 7h
B SAD 21
7
1
2a = 1( ) cos2f x x′ = −
( ) 0f x′ = π
3x = π0, 3x ∈ ( ) 0f x′ < π ,π3x ∈ ( ) 0f x′ >
( )f x π0, 3
π ,π3
( )f x { } π πmax (0), (π) max 1, 1 12 2f f = − − = −
O
C
A B
D
S（2）证明：先证 ，……………6 分
令 ，
则 ，
由 ， 与 的图象易知，
存在 ，使得 ，
故 时， ； 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，……….9 分
所以 的最大值为 ，而 ， ，
又由 ， ，所以 ，
当且仅当 ， 或 ，取“ ”成立，即 ．……..12 分
21.解：（Ⅰ）设 ，因为 ，所以设 AB 的方程为 ，代入抛
物线方程得 ，所以 为方程的解，从而 ，…3 分
又 因 为 ， ， 因 此 ， 即
，所以 ．…6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，联立 C1 在点 A，B 处的切线方程分别为 ，
，得到交点 ．…8 分
由 点 P 在 圆 内 得 ， 又 因 为 ，
，其中 d 为 O 到直线 AB 的距离．
2 sin cos 1 0π x x x− + − ≤
2( ) sin cos 1πg x x x x= − + −
2 2 π( ) cos sin 2 sin( )π π 4g x x x x′ = − − = − +
π2 sin( )4y x= + [0,π]x∈ 2
πy =
0 [0,π]x ∈ 0( ) 0g x′ =
0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < 0( ,π)x x∈ ( ) 0g x′ >
( )g x 0(0, )x 0( ,π)x
( )g x max{ (0), (π)}g g (0) 0g = (π) 0g =
2
πa ≤ 0x ≥ 2sin 1 cos sin 1 cos 0πax x x x x x− − + ≤ − − + ≤
2
πa = 0x = π = ( ) cos 0f x x+ ≤
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 10, 2F
1
2y kx= +
2 2 1 0x kx− − = 1 2,x x 1 2 1x x = −
1
2
1
1
2PA
x x
k x x
=
′ = =
2
2
2
1
2PB
x x
k x x
=
′ = = 1 2 1PA PBk k x x⋅ = = −
PA PB⊥ 0PA PB⋅ =
1 2 1x x = − 2
1 1
1
2y x x x= −
2
2 2
1
2y x x x= − 1 2 1( , )2 2
x xP
+ −
2
1 2( ) 31x x+ < 2 2
1 2 1 2
11 1 ( 2)2AB y y x x= + + + = + +
22 8CD d= −所以 . 又 的方程为 ，所
以 ， 令 ， 由 得 ． 又 由
，所以 ，从而 ．
所以，当 m=2 时， ．…12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第
一个题目计分。
22. 解（1）设 为圆上任意一点，则 ， ，
在 中， ，即 ．…..3 分
∴ ，
∴圆 的直角坐标方程为 ．…….5 分
（2）作 于 ， 到直线 的距离 ，
在 中， ，
∴ 的面积为 ．……10 分
23.解：（1）当 时， ，因为 ，所以，不等式等价于：
或 或
解得： 或 ， 不等式的解集为 ………5 分
（2）当 时，
恒成立，即 ，整理得：（ ，
( , )P ρ θ OP ρ=
4POB
πθ∠ = −
POBRt△ cos( )4 2 2
π ρθ − = 2 2 cos( )4
πρ θ= −
2 2 22 2 cos 2 2 sin2 2
ρ ρ θ ρ θ= × + ×
C 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − =
CD MN⊥ D C l 2 5
5d =
CDMRt△ 2 2 302 2 5MN d= − =
MNC△ 1 2 30 2 5 2 6
2 5 5 5
× × =
2 2 2
1 2
1 ( 2) 2 82AB CD x x d⋅ = + + ⋅ − AB 1 2
1 1: ( ) 02 2AB x x y+ − + =
2 2
2 1 2
1 2
1
12
1 2( ) 14
d
x xx x
= =
+ ++ +
2 2
1 2m x x= + 2
1 2( ) 31x x+ < 33m <
2
1 2
1
1 2m x x
= + ≥ [2,33)m∈ ( 2)(8 15)AB CD m m⋅ = + +
min( ) 2 31AB CD⋅ =
3m = ( ) | 1| 3| 2 |f x x x= + − − 1f x >（ ）
1
2 7 1
x
x
< −
− >
1 2
4 5 1
x
x
− ≤ ≤
− >
2
2 7 1
x
x
>
− + >
3 22 x< ≤ 2 3x< < ∴ 3 ,32
[ 1,2]x∈ − ( ) 1 (2 )f x x m x= + − −
2 1f x x< +（ ） 1 2 2 1x m x x+ − − < +（ ） 1 2 0m x m− + >）令 ，则 在 恒成立，即
解得： ，所以， 的取值范围是：（ ……10 分
1 2g x m x m= − +（ ）（ ） 0g x >（ ） [ 1,2]x∈ −
( 1) 0
(2) 0
g
g
− >
>
1
3m > m 1 ,3
+∞
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