数学试卷
本试卷共 4 页，23 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将
条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共 10 小题．每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为 ，集合 ，集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．若点 在角 的终边上，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若先将函数 的图象向左平移 个单位，再保持图象上所有点的纵坐标
不变横坐标伸长为原来的 倍，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
6．函数 的部分图象大致为（ ）
R 2{ R| 2 0}A x x x= ∈ − > { | ln 1 0}B x x= − ≤
R( )C A B =
[0,2] (0,2] [0, ]e (0, ]e
4 4(sin ,cos )3 3M
π π α cos2α =
2
1−
2
1
2
3−
2
3
(2,1)AB = ( 3 ,3)AC t= − //AB AC | |BC =
2 5 20 5 2
14( ) , 3( ) 3
( 1), 3
x xf x
f x x
≥=
+ > lg lga b> 0ab > 1a b+ = 1 1 4a b
+ ≥
1 1 1 1ABCD A B C D− 1ACD
1A B 1BB 1 1A DC 1 1A BC
( ) 1xf x e= − ( )g x ax= a
2 1 0 1−
IL dB 1210lg( )10I
IL −= I
2W/m
610− 2W/m dB
21W/m 12 210 W/m−
dB
{ }na 2 3 5 5a a a+ = = *Nn∈ {sin( )}2
na π 2019
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3S =
2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B+ = + c
P ABC− , ,PA PB PC 2PA PB PC= = =A
B
( )C H
( )D G
E
F
图1
B
C
D
E
F
H
G
A
图 2
C
A
D
E
P
B
则三棱锥 的外接球与内切球的半径比为 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分 12 分）
在 中， 分别为线段 上的点， ， ， ，
， ．
（1）求 ；
（2）求 的长度．
19．（本题满分 14 分）
如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ，
，面 面 ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，
使得 面 ？
若存在，请证明你的结论；
若不存在，请说明理由．
20．（本题满分 14 分）
已知数列 满足： ， ， ， ， ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）证明：数列 为等差数列；
（3）若数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前
项和为 ，证明： ．
21．（本题满分 14 分）
图 是由菱形 ，平行四边形 和矩形 组成的一个平面图形，其中
， ， ， ，将其沿 折起使得 与
重合，如图 ．
（1）证明：图 2 中的平面 平面 ；
（2）求图 2 中点 到平面 的距离；
（3）求图 2 中二面角 的余弦值．
P ABC−
ABC∆ ,E F ,BC AC //EF AB 3AB = 2EF =
2 3AE =
3BAC
π∠ =
EAC∠
BC
P ABCD− ABCD //AB CD AB BC⊥ 2AB =
1PA PD CD BC= = = = PAD ⊥ ABCD E AD
PA BD⊥
AB G
//BC PEG
{ }na 1 10a = 2
1n na a+ = lgn nb a= 2logn nc b= *Nn∈
{ }nb
{ }nc
1{ }2 nb n nS { }nc n nT 1{ }
nT n+ n
nW n nW S>
1 ABCD ABEF EFGH
2AB = 1BE EH= =
3ABC
π∠ =
4ABE
π∠ = ,AB EF CD
HG 2
⊥BCE ABEF
F BCE
CABE −−22．（本题满分 14 分）
已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若 ，求 的值．
23．（本题满分 14 分）
已知自变量为 的函数 的极大值点为 ，
， 为自然对数的底数．
（1）证明：函数 有且仅有 个零点；
（2）若 为任意正实数，证明： ．
( ) ln 1( R)f x a x x a= − + ∈
( )f x
( ) 0f x ≤ a
x 1
1( ) (ln ln ) 12
x
n n n
ef x n x n e −= − − + + nx P=
*Nn∈ 2.718e =
1( )f x 2
1 2 3, , , , nx x x x
1
[ ( ) ] 4
n
i i i
i
f x P
=
+ − ≥ > − =+ +
BEC∆ 2 2 2BC EC BE= +
BECE ⊥
EFGH EFCE ⊥
EBEEF =
⊥CE ABEF
⊂CE BCE
⊥BEC ABEF
⊥CE ABEF CE AE⊥
ABCD 3ABC
π∠ = ABC∆ 2AC AB= =
Rt AEC∆ 2 2 2| | =| | | | 1, 1AE AC CE AE− = =所以在 中， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
又因为平面 平面 ，且平面 平面
所以 平面 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
又因为 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
（3）以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
由（1）知平面 的法向量为 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
设平面 的法向量 ，因为 ，
由 ，得 ，取 得， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
所以 ，即二面角 的余弦值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
22．（本小题满分 14 分）
解：（1）由题知： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
①当 时， ， 在 上单调递减，所以 无极值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
②当 时，由 得 ，所以
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 在 时取得极大值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
综上：当 时， 无极值；当 时， 的极大值为 ，无极小值
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（2）①当 时，由（1）知 在 上单调递减
因为 ，所以，当 时，
所以 时，不存在符合题意的 值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
②当 时，由（1）知：
因为 恒成立，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
令 ，则 ，由 得
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分
所以 ，所以 ，因此 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
23. （本小题满分 14 分）
解：（1）由题知： ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
令 ， ，所以 在 单调递减 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又 ，所以，当 时， ；当 时，
故 在 上单调递增；在 上单调递减；所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
又因为 ，
AEB∆ 2 2 2| | =| | | | ,AB AE BE AE BE+ ⊥
⊥BCE ABEF BCE BEABEF =
AE ⊥ BCE
//AF BCE F BCE | | 1AE =
E EAECEB 、、 zyx 、、 E xyz−
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0( ACBE
ABE (0,1,0)m EC= =
ABC ( , , )n x y z= ( 1,0,1)BA = − ( 1,1,0)BC = −
0
0
n BA
n BC
⋅ = ⋅ =
=+−
=+−
0
0
yx
zx 1x = (1,1,1)n =
| | 3cos 3| || |
m n
m n
θ ⋅= =
CABE −− 3
3
( ) 1= ( 0)a a xf x xx x
−′ = − >
0a ≤ 0)( 0)( =′ xf ax =
(0, )x a∈ 0)( >′ xf ( )f x (0, )a
( , )x a∈ +∞ 0)( ( )f x ln 1a a a− +
0a ≤ ( )f x (0, )+∞
0)1( =f (0,1)x∈ ( ) 0f x >
0a ≤ a
0a > max( ) ( ) ln 1f x f a a a a= = − +
( ) 0f x ≤ ln 1 0a a a− + ≤
1ln)( +−= aaaag aag ln)( =′ 0)( =′ ag 1=a
)1,0(∈a 0)( ′ ag )(ag ),1( +∞
( ) (1) 0g a g≥ = ln 1 0a a a− + = 1=a
1
1( ) ln 2xf x x e −= − + 1
1
1( ) xf x ex
−′ = −
11( ) xg x ex
−= − 1
2
1( ) 0xg x ex
−′ = − − < ( )f x′ (0, )+∞
1(1) 0f ′ = (0,1)x∈ 1( ) 0f x′ > (1, )x∈ +∞ 1( ) 0f x′ <
)(1 xf )1,0( ),1( +∞ 1)1()( 11 =≤ fxf
0)( 12
1
2
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