2019-2020 学年第一学期永泰一中期中考
高中 三 年 数学（理） 科试卷
完卷时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求.）
1. 复数 满足 ，则复数 ＝( )
A． B． C． D．
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知命题 ；命题 是 的充要条件，则下列为真命
题的是（ ）
A． B. C． D．
4. 已知数列 为等差数列，且满足 ，则数列 的前 11 项和为
（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
5. 已知函数 是偶函数，函数 在 上单调递增，
， ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，若函数 的图象关于 轴对称，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
7. 若 是函数 的极值点，则 的极大值为（ ）
A. B. C. D. 1
z ( )1 3 2z i i− = + z
1 3
2 2 i+ 1 3
2 2 i− 1 5
2 2 i− 1 5
2 2 i+
{ | 5 }A x y x= = − { | 3 1, }B x x n n N+= = − ∈ A B =
{2} { }2,5 { }2,5,8 { }1,2,5,8−
2: , 1 0p x R x x∀ ∈ − + > :q a b> 1 1
a b
>
p q∧ p q¬ ∨ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬
{ }na 2 5 11 15a a a+ + = { }na
( 1)f x + ( )f x ( ]1−∞，
0.5
1
2
(4 ), (log 4)a f b f= = (3)c f=
b c a< < a c b< < c a b< < a b c< <
2( ) cos(2 ) cos23f x x x
π= − + ( 0)ϕ ϕ >
( )g x ( )g x y ϕ
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
1x = 2 1( ) ( 1) xf x x ax e −= + − ( )f x
1− 32e−− 35e−
高三
数学
（理
科）试
卷 第
1 页
共 4
页
高三
数学
（理
科）试
卷 第
2 页
共 4
页8. 函数 的图像大致为（ ）
A B C D
9. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ．若向量 满足 ，
则 = ( )
A. B. C. D.
10. 已知函数 数列 满足 ，且
是单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数 对任意 都有
，若 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
12. 对于任意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分共 20 分，把答案填在答题卡相应位置上。
13.已知向量 与 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为__________。
2
2
sin 2 2( ) ( ,0 0, )1 3 3
x xf x xx
π π = ∈ − ∪ +
a b 135 1a = 2b = m 4a m b m⋅ = ⋅ =
m
2 2 2 5 4 2 4 5
( )
2018 , 2020,
4 1 2022, 2020,2019
xm x
f x m x x
− ≥
= + − > 1 2,x x R∈
( ) ( )1 2 4 3f x f x+ ≤ ( )f x [0, ]π [3,2 3] ω
1 2,3 3
1 1,6 3
1 ,6
+∞
1 ,12
[ ]1,x e∈ [ ]1,4y∈ −
2 1 ln 0yy xe ax x− − − = a
3
160, e
2
3
16 3,ee e
−
2
3
16 1,ee e
− 3
16 3,e e
a b | | 1a = 4b = (2 )a b a− ⊥ a b
( )1,+∞ [ )3,+∞14.已知实数 满足 ，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可
适当排序后成等比数列，则 的值等于________。
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方
法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实
一 为 从 隅 ， 开 平 方 得 积 ” 如 果 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 就 是
，其中 a、b、c 是 的内角 A，B，C 的对边。若
， 且 ， 2 ， 成 等 差 数 列 ， 则 面 积 S 的 最 大 值 为
________。
16.已知定义在 上的连续函数 对任意实数 满足 ，
,则下列命题正确的有 。
①若 ，则函数 有两个零点；
②函数 为偶函数；
③ ；
④若 且 ,则 。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分 10 分）
已知数列 为等比数列，且 。
（1） 求 的通项公式；
（2） 设 ，求 的前 项和为 .
18.(本小题满分 12 分）
在锐角 中，角 的对边分别为 ， 且 。
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围．
19.(本小题满分 12 分）
在平面四边形 中，
,a b 0, 0a b ab+ > > , , 4a b −
a b+
R ( )y f x= x (4 ) ( )f x f x− =
( )2 ( ) 0x f x′− >
(2) (6) 0f f < ( )y f x=
( 2)y f x= +
( 2) (sin12 cos12 )f f> +
1 2x x< 1 2 4x x+ > 1 2( ) ( )f x f x<
{ }na 1 3 2 ( )n
n na a n N ∗
++ = ⋅ ∈
{ }na
21 logn nb a= +
1
1
n nb b +
n nS
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2a = 2 24 bc b c+ = +
A
2c
b
ABCD
2 2 2
2 2 21[ ( ) ]4 2
a c bS a c
+ −= −
ABC△
sin 2sin cosC A B= 2b 2c ABC△
高三
数学
（理
科）
试卷
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（理
科）
试卷
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页．
（1）若 的面积为 ，求 ；
（2）若 ， ，求 ．
20.(本小题满分 12 分）
已知数列 的前 项和为 ， ， ， （ ）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
21.(本小题满分 12 分）
已知函数 （ 为大于 1 的整数），
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时,若关于 的方程 在区间 上有两个实数解，求实
数 的取值范围.
22. (本小题满分 12 分）
已知函数 .
（1）当 时，求证： ；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围。
参考答案
一、 选择题。（每小题 5 分，共 60 分）
, , 23 2ABC ADC BC
π π∠ = ∠ = =
ABC△ 3 3
2 AC
3AD =
4ACB ACD
π∠ = ∠ + ACD∠
{ }na n nS 1 1a = 0na ≠ 1 4 1n n na a S+⋅ = − n N ∗∈
{ }na
2
n
n n
ab = { }nb n nT
( ) ln 2f x a x x= − + a
2a = ( )f x 1x =
1a =
( ) ( )2
1 2( ) , ( ) 2 cos
2
xf x g x x x
x
+= = +
+
[ ]1,1x∈ − 11 ( ) 3f x− ≤ ≤
sin ( )x a g x≤ ⋅ 0x ≥ a
x 2( ) 2 4 2 1f x x x m+ − = + 1 ,2 e
m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B C D A A C A D D B D
二、 填空题。（每小题 5 分，共 20 分）
13. 14. 10 15. 16. ①②④
三、解答题。
17.（本题共 10 分）
（1）由题意，得 ……………2 分
解得 =2， …………………4 分
所以 的通项公式为 ………5 分
（2）由（1）知 ， ………6 分
……………………7 分
………………9 分
的前 项和为 …………………………………10 分
18.（本题共 12 分）
解： （1）
……………2 分
由余弦定理得 ……………..3 分
又
……………..5 分
（2）由（1）知
由正弦定理得
……………..6 分
60° 2 5
5
1 2
1 2
6
12
a a
a q a q
+ =
+ =
q 1 2a =
{ }na 2n
na =
2n
na = 21 log 2 1n
nb n∴ = + = +
1
1 1 1 1
( 1)( 2) 1 2n nb b n n n n+
= = −+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1...2 3 3 4 1 2 2 2 2 4n
nS n n n n
∴ = − + − + − = − =+ + + +
∴
1
1
n nb b +
n 2 4n
nS n
= +
2a =
2 2 24 bc a bc b c∴ + = + = +
2 2 2b c a bc∴ + − =
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
+ −= = =
0 A π< <
3A
π∴ =
3A
π=
2 4
sin sin sin 3 3
2
a b c
A B C
= = = =
4 4sin , sin
3 3
b B c C∴ = =……………..8 分
由 得 ……………..9 分
……………...10 分
从而 ……………...11 分
的取值范围是（1,4）……………..12 分
19. （本题共 12 分）
解 ： （ 1 ） 在 中 ， 因 为 ， ，
，………..2 分
所以 ，解得： .…………….4 分
在 中，由余弦定理得： …………….5
分
所以 …………….6 分
（2）设 ，则
如图，在 中，因为 ，所以 …………….7 分
在 中， ，
由正弦定理，得 ，…………….8 分
即
所以 …………….10 分
又 所以 …………….11 分
ABC∆ 2BC =
3ABC
π∠ =
1 3 3· ·sin2 2ABCS AB BC ABC∆ = ∠ =
3 3 3
2 2AB = 3AB =
ABC∆
7AC =
ACD α∠ =
Rt ACD∆ 2 3AD =
ABC∆
sin sin
BC AC
BAC ABC
=∠ ∠
8 2sin 2sin( )2 3 cos sin 33 3 14 sin sin tansin
3
C Bc B B
b B B BB
π − +∴ = = = = +
0 2
20 3 2
B
B
π
π π
< ( )g x
1 12 x< < ' ( ) 0g x < ( )g x
∴ 1x = ( )g x 3−
21 ln 2 2, ( ) 1 2 52g g e e e = − − = + −
( ) 2 1g x m= − 1 ,2 e
( ) 11 2 1 2g m g < − ≤
3 2 1 ln 2 2,m− < − ≤ − −
m 11 ln 2 .2
1
2m− < ≤ − −
1x = −
1x = 1
3
∴ 11 ( ) 3f x− ≤ ≤
2
1 2 11 (2 cos ) 3
cosx
x
+− ≤ ≤+
sin0 , ( )2 3
xx x ax
π ϕ< < < −
' ( )h x又
存在 ，使得 时，
在 上单调递减，
时 不满足条件……………..11 分
综上得， 的取值范围 。……………..12 分
0(0, )x x∈ ( ) 0h x′ ≤
∴ ( )h x 0(0, )x ∴ ( ) (0) 0h x h< =
∴ 0(0, )x x∈ ( ) 0h x < ∴
a 1
3a ≥
' '1(0) 0, ( ) 0 03 2h a h a
π= − < = − >
0 0, 2x
π ∈
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