福建省永泰县第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）（Word版含答案）.doc

2019-2020 学年度第一学期永泰一中期中联考 高中三年文科数学试卷 完卷时间：120 分钟 满 分：150 分 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：每小题各 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题意要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 若复数 满足 ，则 的共轭复数 =（　　） A． B． C． D． 3.已知函数 是奇函数，则实数 （　　） A． B． C． D． 4.已知 ， ， ， 则(　　) A． B． C． D． 5.若向量 ， 是非零向量，则“ ”是“ ， 夹角为 ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.函数 在 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 7. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 ， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 8.在 中， ，则 的最大值为( ) A． B． C. D． 9.已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且 ，则向量 ＝（ ） a b a b a b+ = −   a b 2 π { }0652 ≤+−= xxxA { }51 bca >> bac >> abc >> xx xy −+= 22 2 3 [ ]6,6− )(xfy = )()2( xfxf −=+ 2)1( =f )2019()2018( ff + 2− 0 2 4 ABC∆ 2, 6AB C π= = 3AC BC+ 7 3 7 4 7 2 7 AEEC 2= EMA． B． C． D． 10.函数 （ ， ）的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象（ ） A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称 C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称 11.若 ， ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 12.已知函数 的定义域为 ，其图象关于点 中心对称，其导函数 ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：每小题各 5 分, 共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置上． 13.函数 的单调递增区间是 ． 14.等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 . 15.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__________． 16.已知函数 ，若函数 恰有两个不同的零点， 则实数 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共 6 题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 为等差数列 的前 项和，已知 ， ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0ω > 2 πϕ < π 3 π ( )f x 012 π    ， 12x π= 06 π    ， 6x π= ( )f x R ( )1,0− ( )f x′ 1x < − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0x f x x f x′ + + + ( )1,+∞ ( ), 1−∞ − ( )1,1− ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ ABAC 3 1 2 1 + ABAC 6 1 2 1 + ABAC 2 1 6 1 + ABAC 2 3 6 1 + 0>a 0>b 1++= baab ba 2+ 323 + 323 − 133+ 7 xxxxf += ln)( { }na n nS 121272 =++ aaa =13S x y 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x + − ≥  − + ≥  − ≤ z x y= + 2 2 4 2( 0)( ) ( 0)x x x xf x x e x − + + ≥= − − 2 max( ) (2) e 1f x f= = − 1 1a = 1 2 1n na S+ = + 1n = 2 12 1 3a a= + = 2n ≥ 12 1n na S −= + 1 2n n na a a+ − = 1 3n na a+ = 2 13a a= { }na 13n na −= 12)1(21 −=−+= nna b n n 13)12( −⋅−= n n nb nn n n n nnT nT 3)12(3)32...(3533313 3)12(...3735331 132 132 ⋅−+⋅−+⋅+⋅+⋅= ⋅−++⋅+⋅+⋅+= − − n nn n n nT 3)22(2 3)12()3...333(212 132 ⋅−+−= −−+++++=− − ∴ ∴…………………………………………12 分 21、解：（1）设 ，则 ， ， ，………………………………2 分 由题意 ， 则 ，………………………………4 分 所以 . ………………………………5 分 （2）由正弦定理， 中， ，即 ① ………………………………7 分 中， ，即 ② ……………………………9 分 ①÷②得： ，化简得 ，……………11 分 所以 .………………………………12 分 22、解：（Ⅰ） 依题意 ，定义域为（0, +∞）， ∴ , …………3 分 ①当 a+1＞0，即 a＞ 时，令 ，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a, 此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增， 令 ，得 x＞1+ a． 此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减． …………………………4 分②当 a+1≤0，即 a≤ 时， 恒成立， h（x）在区间（0,+∞）上单调递减． ………5 分 综上，当 a＞ 时，h（x）在 x＝1+a 处取得极大值 h（1+a）＝ ，无极小 值； 当 a≤ 时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值． …………………6 分 （Ⅱ）依题意知，在[1, e]上存在一点 x0，使得 成立,即在[1, e]上存在一点 x0，使 得 h（x0）≥0， 故函数 在[1, e]上，有 h（x）max≥0． ………………8 分 由（Ⅰ）可知，①当 a+1≥e, 即 a≥ 时，h（x）在[1, e]上单调递增， n n nT 3)1(1 ⋅−+=∴ AC a= 3AB a= sinAD a θ= cosCD a θ= 4ABC ACDS S∆ ∆= 1 13 4 cos sin2 2a a a aθ θ⋅ = ⋅ ⋅ 3sin 2 2 θ = 36)2,0( πθπθπθ ==∴∈ 或 ABD∆ sin sin BD AB BAD ADB =∠ ∠ ( ) 3 sin sin 6 BD a ππ θ =− BCD∆ sin sin BD BC BCD CDB =∠ ∠ 2 sinsin 33 BD a ππ θ = +   2sin 3sin3 π θ θ + =   3 cos 2sinθ θ= 3tan 2 θ = 1( ) ln ah x a x x x += − − 2 2 2 2 1 (1 ) ( 1)[ (1 )]( ) 1a a x ax a x x ah x x x x x + − − + + − +′ = − + = − = − 1− ( ) 0h x′ > ( ) 0h x′ < 1− ( ) 0h x′ < 1− ln(1 ) 2a a a+ − − 1− 0 0( ) ( )g x f x≥ 1( ) ln ah x a x x x += − − 1e −∴ , ∴ , ∵ ，∴ ． ……………………9 分 ②当 0＜a+1≤1，或 a≤ ，即 a≤0 时，h（x）在[1, e]上单调递减， ∴ ，∴a ≤ ． ……………………………10 分 ③当 1＜a+1＜e，即 0＜a＜ 时， 由（Ⅱ）可知，h（x）在 x＝1+a 处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值， 即 h（x）max＝h（1+a）＝ ， ∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0 在[1, e]上恒成立， 此时不存在 x0 使 h（x0）≥0 成立．…………………………………………11 分 综上可得，所求 a 的取值范围是 或 a≤ ． ……………………12 分 max 1( ) (e) e 0e ah x h a += = − − ≥ 2e 1 e 1a +≥ − 2e 1 e 1e 1 + > −− 2e 1 e 1a +≥ − 1− max( ) (1) 1 1 0h x h a= = − − − ≥ 2− 1e − ln(1 ) 2 [ln(1 ) 1] 2a a a a a+ − − = + − − 2e 1 e 1a +≥ − 2−