江苏省扬州中学2019-2020高二上学期期中考试数学（pdf版含答案）.pdf

1 江苏省扬州中学 2019——2020 学年度第一学期期中考试 高 二 数 学 （试题满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分．每小题所给的 A.B.C.D.四个结论 中，只有一个是正确的。) 1.命题“∃x∈Z，使 x2+2x+m≤0”的否定是（ ） A．∀x∈Z，都有 x2+2x+m≤0 B．∃x∈Z，使 x2+2x+m＞0 C．∀x∈Z，都有 x2+2x+m＞0 D．不存在 x∈Z，使 x2+2x+m＞0 2. 21+ 与 21− 的等比中项是（ ） A. 2 B.1 C.-1 D. 1 3. “ 01m”是“方程 22 12 xy mm+=− 表示椭圆”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.双曲线 22 14 12 xy−=的焦点到渐近线的距离为（ ） A．23 B．2 C． 3 D．1 5.已知等差数列 na 的公差为 2，若 1 3 4,,a a a 成等比数列， nS 是 的前n 项和，则 9S 等于（ ） A． 8− B． 6− C．10 D．0 6.双曲线 x2 m－ y2 n＝1(mn≠0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则 mn 的值为( ) A．3 8 B． 3 16 C．16 3 D．8 3 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，则“{an}是等差数列”是“{}nS n 是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.已知数列 na ， nb 都是等差数列，Sn，Tn 分别是它们的前 n 项和，并且 73 3 n n S n Tn += + ，2 则 2 23 8 17b +b aa+ =( ) A.17 6 B. 13 4 C. 19 3 D. 13 6 9.过 1 04 （ ，）的直线与抛物线 2yx= 交于 A ，B 两点，若| | 4AB = ，则弦 AB 的中点到直线 1 02x +=的距离等于（ ） A. 7 4 B. 9 4 C. 4 D. 2 10.已知数列 na ，如果 1a ， 21aa− ， 32aa− ，……， 1nnaa−− ，……，是首项为 1， 公比为 1 3 的等比数列，则 na =（ ） A. 31123n（ ）− B. 1 31123n−−（ ） C. 21133n−（ ） D. 1 21133n−−（ ） 11.已知点 (1,0)M ， ,AB是椭圆 2 2 14 x y+=上的动点，且 0MA MB=，则MA BA 的取 值范围是（ ） A. [1,9] B. 2[ ,9]3 C. 2[ ,1]3 D. 6[ ,3]3 12.已知椭圆 22 221( 0)xy abab+ =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， P 为椭圆上不与左右 顶点重合的任意一点， I ，G 分别为 12PF F 的内心和重心，当 IG x⊥ 轴时，椭圆的离 心率为（ ） A． B． 1 2 C． 3 2 D． 6 3 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分．只要求写出最后结果．) 13.若“ 3x  ”是“ xm ”的必要不充分条件，则 m 的取值范围是________． 14.已知数列{}na 满足： 1 1a = ， * 1 3 2( )nna a n N+ = +  ，则 na = . 3 15.过原点作一条倾斜角为 的直线与椭圆 22 221( 0)xy abab+ =   交于 AB、 两点， 12,FF 为椭圆的左,右焦点，若 122F AF =,且该椭圆的离心率 26[ , ]23e ，则 的取值范围 为 ． 16.过抛物线 2 4yx= 焦点的直线l 与抛物线交于 A ， B 两点，与圆( )2 221x y r− + = 交 于C ， D 两点，若有三条直线满足 AC BD= ，则 r 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤．） 17.（本小题满分 10 分） （1）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 2 1n nSn= + + ，求 na . （2）已知{an}是各项为正的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16,设 bn＝ 2log na ，求数列{bn}的 前 n 项和． 18.（本小题满分 12 分） 已知双曲线 C： 22 221xy ab−=（a＞0，b＞0）的离心率为 3 ，且 2 2 3 a c = （1）求双曲线 C 的方程. （2）已知直线 0x y m− + = 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B 且线段 AB 的中点在圆 225xy+=上，求 m 的值 19.（本小题满分 12 分） 已知 : ( 1)(2 ) 0, :p x x q+ −  关于 x 的不等式 2 2 6 0x mx m+ − +  恒成立 (1)当 xR 时 q 成立，求实数 m 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 20.（本小题满分 12 分） 已知{}na 为等差数列，前 n 项和为 ()nSn N ，{}nb 是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0， 2312bb+=, 3 4 12b a a=− ， 11 411Sb= . 4 （1）求{}na 和{}nb 的通项公式； （2）求数列 2 2 1{}nnab− 的前 n 项和 ()n N . （3）设 221lognncb−= ， nP 为数列 2 1 4 nn n cc+    的前 n 项和，求不超过 2019P 的最大整数． 21. （本小题满分 12 分） 如图,已知抛物线C 顶点在坐标原点，焦点 F 在 y 轴的非负半轴上，点 ( 2,1)M − 是抛物 线上的一点. （1）求抛物线 的标准方程 （2）若点 ,PQ在抛物线 上,且抛物线 在点 处的切线 交于点 S ,记直线 ,MP MQ 的斜率分别为 12,kk，且满足 211kk−=,当 在 上运动时， PQS 的面积是否为定 值？若是，求出 的面积；若不是，请说明理由. 22.（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 C： 22 221( 0, 0)xy abab+ =   的离心率为 1 2 ，右准线方程为 4x = ，A， B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞ 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点． （1）求椭圆 C 的标准方程. （2）记△AFM，△BFN 的面积分别为 S1，S2，若 1 2 3 2 S S = 求 k 的值. （3）设线段 MN 的中点为 D，直线 OD 与右准线相交于点 E，记直线 AM，BN，FE 的 斜率分别为 k1，k2，k3 ，求 k2·(k1－k3)的值． 出题人：蒋红慧 江金彪 校对：韩悦 审核：姜卫东 5 高二数学期中考试答案 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 9.B 10.A 11.B 12.A 13. 3m  14. 12 3 -1n na −= 15. 5[ , ]66  16.( )2,+ 16.详解：（1）当直线lx⊥ 轴时，直线l ： 1x = 与抛物线交于(1,2) (1, 2)−、 ，与圆 2 2 2( 1)x y r−+=交于(1, ) (1, )rr−、 ，满足 AC BD= . （2）当直线 不与 x 轴垂直时，设直线 方程 ( 1)y k x=−. 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立方程组 2 ( 1) 4 y k x yx =−  = 化简得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 由韦达定理 12 2 42xx k+ = + 由抛物线得定义，过焦点 F 的线段 12 2 424AB AF BF x x k= + = + + = + 当四点顺序为 A C D B、 、 、 时 AC BD= AB 的中点为焦点 F（1，0），这样的不与 轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为 A C B D、 、 、 时， AB CD= 又 2CD r= ， 2 442rk + = ，即 2 2 2rk =− 当 2r  时存在互为相反数的两斜率 k，即存在关于 对称的两条直线。 综上，当 (2, )r  + 时有三条满足条件的直线. 故选 B. 17．解：(1) 当 1n = 时， 116as==； 当 2n  时， 11 1 (3 2 1) [3 2( 1) 1] 2 3 2n n n n n na s s n n−− −= − = + + − + − + =  + 由于 1a 不适合此式， 6 所以 1 6, 1 2 3 2, 2n n na n− ==   +  ……………………………5 分 （2）设等比数列的公比为 q， 由 a1＝2，a3＝2a2+16，得 2q2＝4q+16， 即 q2﹣2q﹣8＝0，解得 q＝﹣2（舍）或 q＝4． ∴ ； bn＝log2an ， ∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2， ∴数列{bn}是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则数列{bn}的前 n 项和 ． 18.（1）由题意， 2 3 2 3 c a a c  =  = ，解得 6 3a = ，c= 2 ． ∴ 2 2 2 242 33b c a= − = − = ． ∴双曲线 C 的方程为 2233124 xy−=； （2）由 2233124 0 xy x y m  −=  − + = ，得 3x2-6mx-3m2-4=0， 设 A（x1，y1）， B（x2，y2）， ∴x1+x2=2m，又中点在直线 x-y+m=0 上， ∴中点坐标为（m，2m），代入 x2+y2=5 得 m=±1，满足判别式△＞0． ∴m 的值为±1． 19.（1）由题可知 224 4 24 0, 6 0, 3 2m m m m m= + −   + − = −   实数 m 的取值7 范围是( )3,2− （2） : 1 2px− ，设 { | 1 2}A x x= −   ，  2| 2 6 0B x x mx m= + − +  p 是 q 的充分不必要条件，A 是 B 的真子集 ① 由（1）知， 32m−   时，B=R，符合题意； ② 3m =− 时，    2 6 9 0 3B x x x x x= − +  =  ，符合题意 ③ 2m = 时，    2 4 4 0 2B x x x x x= + +  =  − ，符合题意 ④ 32mm − 或 时，设 2( 2) 6xmfx mx+ − += , ()fx的对称轴为直线 xm=− ，由 A 是 B 的真子集得 ( ) ( ) 1212,1 0 2 0 3 +7 0 3 +10 0 mmmm ff mm −  − −    −   −   −   或 或 ， 7 10 10 71 2, 3 23 3 3 3m m m m   −   − −   −  或 或 综上所述： 10 7 33m- 20.【解析】（1）设等差数列{}na 的公差为 d ，等比数列{}nb 的公比为q . 由已知 2312bb+=，得 2 1( ) 12b q q+=，而 1 2b = ，∴ 2 60qq+−=. 又∵ 0q  ，解得 2q = .∴ 2n nb = . 由 3 4 12b a a=− ，可得 138da−= ①， 由 11 4=11Sb，可得 1 5 16ad+= ②， 联立①②，解得 1 1a = ， 3d = ，由此可得 32nan=−. ∴数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 . （2）设数列 2 2 1{}nnab− 的前 n 项和为 nT ， 由 2 62nan=−， 1 21 24n nb − − = ，有 2 2 1 (3 1) 4n nna b n− = −  ， 8 ∴ 232 4 5 4 8 4 (3 1) 4n nTn=  +  +  + + −  ， 2 3 4 14 2 4 5 4 8 4 (3 4) 4 (3 1) 4nn nT n n +=  +  +  + + −  + −  ， 上述两式相减，得 2 3 13 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4nn nTn+− =  +  +  + +  − −  1 1 12 (1 4 ) 4 (3 1) 414 (3 2) 4 8. n n n n n + + −= − − − − = − −  − 得 13 2 8433 n n nT +−=  + . ∴数列 2 2 1{}nnab− 的前 n 项和为 13 2 8433 nn +− +. （3）由（Ⅰ）知： 21 21 2 n nb − − = ，则 21 2log 2 2 1n ncn−= = − ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 4 4 4 1 1 1 1112 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nn n n n c c n n n n n n n+  = = = + = +  −− + − − + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1 2 1n nPnn n n            = + − + + − + + + − = +          − + +           2019 20192019 20194039P = +  不超过 2019P 的最大整数为 2019 21.（1）设抛物线的方程为 2 2x py= 将 M（-2，1）点坐标代入方程中，解得 2 4xy= （2）设 22 12 12, , ,44 xxP x Q x            ，设直线 PQ 的方程为 y kx b=+,代入抛物线方程 ，得到 2 4 4 0x kx b− − = ，则 1 2 1 24 , 4x x k x x b+ = = − ，结合 211kk−=，而 ( )2,1M − 则 22 21 21 21 21 112244,2 4 2 4 xx xxkkxx −−−−= = = =++ ，代入，得到 214xx−=所以 ( ) ( )22 2 1 2 1 2 1 24 16 16 16x x x x x x k b− = + − = + = ，解得 2 1kb+= 9 过 P 点的切线斜率为 1 2 x ，过 Q 切线斜率为 2 2 x ，则 PS 的方程为 2 11 24 xxyx=−，QS 的方 程为 2 22 24 xxyx=−，联解这两个方程，得到 S 的坐标为( )2,kb− ，故点 S 的直线 PQ 的 距离为 2 22 22 2 11 kb d kk + == ++ ，而 PQ 的长度为 22 121 1 4k x x k+ − = +  ，故面积 为 2 2 1 1 2 4 1 4221 S d PQ k k =   =    + = + ，故为定值。 22.（1）设椭圆的焦距为 2c(c＞0)． 依题意，푐 푎 = 1 2，且푎2 푐 = 4，解得 a＝2，c＝1． 故 b2＝a2－c2＝3． 所以椭圆 C 的标准方程为푥2 4 + 푦2 3 = 1． （2）设点 M(x1，y1)， N(x2，y2)． 据题意，푆1 푆2 = 3 2，即 1 2×|퐴퐹|×|푦1| 1 2×|퐵퐹|×|푦2| = 3 2，整理可得|푦1| |푦2| = 1 2，所以푁퐹⃑⃑⃑⃑⃑ = 2퐹푀⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ． 代入坐标，可得{ 1 − 푥2 = 2(푥1 − 1) ， −푦2 = 2푦1 ， 即{ 푥2 = 3 − 2푥1 ， 푦2 = −2푦1 ． 又点 M， N 在椭圆 C 上，所以{ 푥12 4 + 푦12 3 = 1 ， (3−2푥1)2 4 + (−2푦1)2 3 = 1 ， 解得{ 푥1 = 7 4  ， 푦1 = 3√5 8  ． 所以直线 l 的斜率푘 = 3√5 8 7 4−1 = √5 2 ． （3）依题意，点 M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆 C 上， 所以{ 푥12 4 + 푦12 3 = 1 ， 푥22 4 + 푦22 3 = 1 ， 两式相减，得푥22−푥12 4 + 푦22−푦12 3 = 0， 即푦2+푦1 푥2+푥1 ⋅ 푦2−푦1 푥2−푥1 = − 3 4，所以푘푂퐷 ⋅ 푘 = − 3 4，即푘푂퐷 = − 3 4푘， 所以直线 OD 的方程为푦 = − 3 4푘 푥，令 x＝4，得푦퐸 = − 3 푘，即퐸 (4 ，  − 3 푘)， 10 所以푘3 = −3 푘 4−1 = − 1 푘 ． 又直线 AM 的方程为푦 = 푘1(푥 + 2)，与椭圆 C 联立方程组{ 푦 = 푘1(푥 + 2) ， 푥2 4 + 푦2 3 = 1 ， 整理得(4푘1 2 + 3)푥2 + 16푘1 2푥 + 16푘1 2 − 12 = 0， 所以−2 ⋅ 푥1 = 16푘12−12 4푘12+3 ，得푥1 = 6−8푘12 4푘12+3，푦1 = 푘1(푥1 + 2) = 12푘1 4푘12+3． 所以点 M 的坐标为(6−8푘1 2 4푘1 2+3  ，  12푘1 4푘1 2+3)． 同理，点 N 的坐标为(8푘22−6 4푘22+3  ，  − 12푘2 4푘22+3)． 又点 M，N，F 三点共线， 所以푘 = 12푘1 4푘12+3 6−8푘12 4푘12+3 −1 = − 12푘2 4푘22+3 8푘22−6 4푘22+3 −1 ，整理得(4푘1푘2 + 3)(3푘1 − 푘2) = 0， 依题意，푘1 > 0，푘2 > 0，故푘2 = 3푘1． 由푘 = 12푘1 4푘12+3 6−8푘12 4푘12+3 −1 = 4푘1 1−4푘12可得，1 푘 = 1−4푘12 4푘1 = 1 4푘1 − 푘1，即1 푘 + 푘1 = 1 4푘1 ． 所以푘2 ⋅ (푘1 − 푘3) = 3푘1 ⋅ (푘1 + 1 푘) = 3푘1 ⋅ 1 4푘1 = 3 4．