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3．3.1 几何概型
课时目标
1.理解几何概型的概念与意义．
2．掌握几何概型的概率公式．
3．能够利用几何概型的概率公式解决实际问题．
识记强化
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有的可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
课时作业
一、选择题
1．在区间[20,80]内随机任取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )
A. B. C. D.
答案：C
2．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为( )
A. B. C. D.
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答案：B
解析：可以判断属于几何概型．记正方形面积介于25cm2与49cm2之间为事件A，那么正方形的边长在[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2cm，全部试验结果构成的区域长度是10cm，则P(A)＝＝.
3.
如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意，P＝＝＝.
4．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )
答案：A
解析：A中奖的概率为，B重奖概率为，
C中设正方形边长为a，则中奖概率为＝1－，
D中设圆的半径为a，则中奖概率为＝，综上比较小明应选A.
5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点P，则点P到点O
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的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．－
答案：B
解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.
6．在长方体ABCD—A1B1C1D1内任意取点，则该点落在四棱锥B1—ABCD内部的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设SABCD＝S，BB1＝h，
则V长方体＝Sh，V四棱锥＝Sh，故P＝.
二、填空题
7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
答案：
解析：设事件M为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝.
8．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．
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答案：
9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为________．
答案：
解析：看对应的圆心角，当圆心角大于60°时，弦长超过半径．
三、解答题
10．在长为16 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，求此正方形的面积介于25 cm2与81 cm2之间的概率．
解：正方形的面积介于25 cm2与81 cm2之间，即线段AM长介于5 cm与9 cm之间，即点M可以在5～9 cm之间取，长度为4 cm，总长为16 cm，所以，所求概率为＝.
11．“月上柳梢头，人约黄昏后”甲乙二人约定18：00—19：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后若另一个人没到便离去，试求两个人能会面的概率．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，OA＝60，OB＝60，G表示围成的正方形区域．设甲18时x分到达会面地点，乙18时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点(x，y)对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型．甲乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超过20分钟，即|y－x|≤20，x－20≤y≤x＋20，因此，图中的阴影区域g就表示“甲乙能会面”．容易求得g的面积为602－402，即2 000，G的面积为3 600，由几何概型的概率计算公式，“甲乙能会面”的概率：
P(甲乙能会面)＝＝.
能力提升
12．如图所示，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，涂上四种颜色，中间装个指针可以自由转动，对指针停留的可能性，下列说法正确的是( )
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A．一样大
B．蓝黑区域大
C．红黄区域大
D．由指针转动的圈数确定
答案：B
解析：记长方形的四个顶点及对角线交点分别为A、B、C、D、O，如图所示，因为∠AOB＝∠COD＞∠BOC＝∠DOA，所以指针落在蓝黑区域的可能性大．
13．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)
解：由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为，所以红色所占角度为周角的，即α1＝＝72°.
同理，蓝色占周角的，即α2＝＝120°，
所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.
将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.
即每个绿色扇形的圆心角为42°.
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