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第二章 统计
2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列关于频率分布直方图的说法正确的是( )
A．直方图的高表示取某数的频率
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值
D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
答案：D
2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：频率＝，则频数＝频率×样本容量＝0.125×32＝4.
答案：B
3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对300辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，
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则从图中可得出将被处罚的汽车数为( )
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
解析：车速大于或等于70 km/h的汽车数为0.02×10×300＝60(辆)．
答案：C
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩(单位：分)分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，加以统计后得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A．588 B．480 C．450 D．120
解析：不少于60分的学生的频率为
(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，
所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.
答案：B
5．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是( )
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A．130 B．140 C．133 D．137
解析：由已知可以判断a∈(130，140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.
解得a≈133.
答案：C
二、填空题
6．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组/分
频数
频率
[80，90)
①
②
[90，100)
0.050
[100，110)
0.200
[110，120)
36
0.300
[120，130)
0.275
[130，140)
12
③
[140，150]
0.050
合计
④
根据上面的频率分布表，可以①处的数值为________，②处的数值为________．
解析：由位于[110，120)的频数为36，频率＝＝0.300，
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得样本容量n＝120，
所以[130，140)的频率＝＝0.1，
②处的数值＝1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.1－0.050＝0.025；
①处的数值为0.025×120＝3.
答案：3 0.025
7．(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．
解析：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在区间[139，151]上的运动员恰有4组，则运动员人数为4.
答案：4
8．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：
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据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15，25)内的人数为________．
答案：60
三、解答题
9．某篮球运动员在2015赛季各场比赛得分情况如下：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50.制作茎叶图，并分析这个运动员的整体水平及发挥的稳定程度．
解：该运动员得分茎叶图如下：
从茎叶图中可以粗略地看出，该运动员得分大多能在20分到40分之间，且分布较为对称，集中程度高，说明其发挥比较稳定．
10．某校100名学生期中考试语文成绩的概率分布直方图如图所示，其中成绩(单位：分)分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
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(1)求图中a的值；
(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)分之外的人数．
分数段/分
[50，60)
[60，70)
70，80)
[80，90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解：(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知语文成绩在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，0.04×10×100＝40，0.03×10×100＝30，0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，40×＝20，30×＝40，20×＝25.
故数学成绩在[50，90)分之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.
B级 能力提升
1．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
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A．6 B．8 C．12 D．18
解析：志愿者的总人数为＝50，所以第三组的人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.
答案：C
2．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50～350度之间，频率分布直方图如图所示：
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
解析：(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4.
(2)数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7.
所以月用电量在[100，250)内的户数为100×0.7＝70.
答案：(1)0.004 4 (2)70
3．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．
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(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
(2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？
(3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．
解：(1)甲网站的极差为：73－8＝65，乙网站的极差为：
71－5＝66.
(2)＝≈0.286.
(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．
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