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中考数学模试卷
一、选择题（每小题 4 分,共 48 分)
1．（4 分）计算正确的是（ ）
A．（﹣5）0=0 B．x3+x4=x7 C．（﹣a2b3）2=﹣a4b6 D．2a2•a﹣1=2a
2．（4 分）如图，直线 l 1∥l2，且分别与△ABC 的两边 AB、AC 相交，若∠A=45°，∠
1=65°，则∠2 的度数为（ ）
A．45° B．65° C．70° D．110°
3．（4 分）实数 a，b 在 数轴上的对应点的位 置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣1 B．a•b＞0 C．﹣b＜0＜﹣a D．|a|＞|b|
4．（4 分）如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4 分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他
完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，
则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．6 B．16 C．18 D．24
6．（4 分）如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使 9
枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是（ ）2
A．黑（3，3），白（3，1） B．黑（3，1），白（3，3） C．黑（1，5），白（5，5）
D．黑（3，2），白（3，3）
7．（4 分）一次函数 y=kx﹣k 与反比例函数 y= 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（4 分）已知关于 x，y 的二元一次方程组 ，若 x+y＞3，则 m 的取值范围是
（ ）
A．m＞1 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞5
9．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，AE=3，
ED=3BE，则 AB 的值为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．3
10．（4 分）十九大以来，中央把扶贫开发工作纳入“四个全面”战略并着力持续推进，据
统计 2015 年的某省贫困人口约 484 万，截止 2017 年底，全省贫困人口约 210 万，设这两年
全省贫困人口的年平均下降率为 x，则下列方程正确的是（ ）
A．484（1﹣2x）=210 B．484x2=210
C．484（1﹣x）2=210 D ．484（1﹣x）+484（1﹣x）2=210
11．（4 分）一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么 B 点
从开始至结束所走过的路径长度为（ ）3
A． B． C．4 D．2+
12．（4 分）如图所示，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形 DEFG 边长
也为 2，且 AC 与 DE 在同一直线上，△ABC 从 C 点与 D 点重合开始，沿直线 DE 向右平移，直
到点 A 与点 E 重合为止，设 CD 的长为 x，△ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）
的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C ．
D．
二、填空题（每小题 4 分,共 24 分)
13．（4 分）x2+kx+9 是完全平方式，则 k= ．
14．（4 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围
是 ．
15．（4 分）一个不透明的口袋里有 4 张形状完全相同的卡片，分别写有数字 1、2、3、4，
口袋外有两张卡片，分别写有数字 2、3，现随机从口袋里取出一张卡片，则这张卡片与口
袋外的卡片上的数字能构成三角形的概率是 ．
16．（4 分）如图，抛物线 y=ax2+1 与 y 轴交于点 A，过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 y=4x2
于点 B、C，则线段 BC 的长为 ．4
17．（4 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB=BC，直径 MN⊥BC 于点 D，与 AC 边相交于点 E，若⊙
O 的半径为 2 ，OE=2，则 OD 的长为 ．
18．（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 BE=CF，连接 BF、
DE 交于点 M，延长 ED 到 H 使 DH=BM，连接 AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠
BMD=120°；③△AMH 是等边三角形④S 四边形 ABMD= AM2．
其中正确结论的是 ．
三、解答题（7 小题，共 78 分)
19．（8 分）先化简，再求值： ，其中 x 是满足不等式﹣ （x﹣1）≥
的非负整数解．
20．（10 分）在初三综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对初三某班的学生
进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．5
（1）调查发现评定等级为合格的男生有 2 人，女生有 1 人，则全班共有 名学生．
（2）补全女生等级评定的折线统计图．
（3）根据调查情况，该班班主任从评定等级为合格和 A 的学生中各选 1 名学生进行交流，
请用树形图或表格求出刚好选中一名男生和一名女生的概率．
21．（10 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD 为直径
的⊙O 经过点 E，且交 BC 于点 F．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 BF=6，⊙O 的半径为 5，求 CE 的长．
22．（12 分）如图所示，二次函数 y=﹣2x2+4x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0），另
一个交点为 B．且与 y 轴交于点 C．
（1）求 m 的值及点 B 的坐标；
（2）求△ABC 的面积；
（3）该二次函数图象上有一点 D（x，y），使 S△ABD=S△ABC，请求出 D 点的坐标．
23．（12 分）浩然文具店新到一种计算器，进价为 25 元，营销时发现：当销售单价定为 306
元时，每天的销售量为 150 件，若销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就会减少 10 件．
（1）写出商店销售这种计算器，每天 所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的
函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
（3）商店的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：
方案 A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的 24%；
方案 B：为了满足市场需要， 每天的销售量不少于 120 件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足
为点 B，反比例函数 y= （x＞0）的图象经过 AO 的中点 C，交 AB 于点 D，且 AD=3．
（1）设点 A 的坐标为（4，4）则点 C 的坐标为 ；
（2）若点 D 的坐标为（4，n）．
①求反比函数 y= 的表达式；
②求经过 C，D 两点的直线所对应的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，设点 E 是线段 CD 上的动点（不与点 C，D 重合），过点 E 且平行 y
轴的直线 l 与反比例函数的图象交于点 F，求△OEF 面积的最大值．
25．（14 分）在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直
线 DC，CB 上移动．
（1）如图 1，当点 E 在边 DC 上自 D 向 C 移动，同时点 F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连接 AE
和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图 2，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF，（1）中的结论还
成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接 AC，请你直接写出△ACE 为等腰
三角形时 CE：CD 的值；
（3）如图 3，当 E，F 分别在直线 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F7
的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图．若 AD=2，试求出线段 CP 的
最大值．
8
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 4 分,共 48 分)
1．
【考点】49：单项式乘单项式；47：幂的乘方与积的乘方；6E：零指数幂；6F：负整数指数
幂．
【分析】根据整式乘法运算法则以及实数运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=1，故 A 错误；
（B）x3 与 x4 不是同类项，不能进行合并，故 B 错误；
（C）原式=a4b6，故 C 错误；
故选：D．
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础
题型．
2．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠AFE，即可得出答
案．
【解答】解：如图，∵直线 l1∥l2，∠1=65°，
∴∠AEF=∠1=65°，
∵∠A=45°，
∴∠2=∠AFE=180°﹣∠A﹣∠AEF=70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的应用，解此题的关
键是求出∠AEF 的度数，注意：两直线平行，同位角相等．9
3．
【考点】29：实数与数轴；15：绝对值．
【分析】直接利用 a，b 在数轴上的位置，进而分别分析得出答案．
【解答】解：由 a，b 在数轴上的位置可得：
A、a＜﹣1，故此选项错误；
B、ab＜0，故此选项错误；
C、﹣b＜0＜﹣a，正确；
D、|a|＜|b|，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确利用 a，b 的位置分析是解题关键．
4．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据左视图是从左面看到的视图，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项错误；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项正确；
C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项错误；
D、长方体的左视图是矩形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
5．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】先由频率之和为 1 计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，
即可求出答案．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，
∴摸到白球的频率为 1﹣15%﹣45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是 40×40%=16 个．
故选：B．10
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点
为：频率=所求情况数与总情况数之比．
6．
【考点】R5：中心对称图形；D3：坐标确定位置；P3：轴对称图形．
【分析】首先根据各选项棋子的位置，进而结合轴对称图形和中心对称图形的性质判断得出
即可．
【解答】解：A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形，也是中心对称图形，
故此选项正确；
B、当摆放黑（3，1），白（3，3）时，此时是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错
误；
C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项
错误；
D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错
误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置以及轴对称图形与中心对称图形的性质，利用已知确
定各点位置是解题关键．
7．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由反比例 函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数
y=kx﹣k 的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数 y=kx﹣k 的图
象经过一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数 y=kx﹣k 的图
象经过一、二、四象限，故本选项正确；
D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数 y=kx﹣k 的图
象经过一、二、四象限，故本选项错误．11
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所
在的象限判断出 k 的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
8．
【考点】97：二元一次方程组的解；C6：解一元一次不等式．
【分析】将 m 看做已知数表示出 x 与 y，代入 x+y＞3 计算即可求出 m 的范围．
【解答】解： ，
①+②得：4x=4m﹣6，即 x= ，
①﹣②×3 得：4y=﹣2，即 y=﹣ ，
根据 x+y＞3 得： ﹣ ＞3，
去分母得：2m﹣3﹣1＞6，
解得：m＞5．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
9．
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】由在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，BE：ED=1：3，易证得△OAB 是等边三角形，继而
求得∠BAE 的度数，由△OAB 是等边三角形，求出∠ADE 的度数，又由 AE=3，即可求得 AB 的
长．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，12
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB 是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB= =2 ，
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含 30°角的直角三角形的
性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB 是等边三角形是解题关键．
10．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】等量关系为：2015 年贫困人口×（1﹣下降率）2=2017 年贫困人口，把相关数值代
入计算即可．
【解答】解：设这两年全省贫困人 口的年平均下降率为 x，根据题意得：
484（1﹣x）2=210，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；得到 2 年内变化情况的等量关系是解决
本题的关键
11．
【考点】MN：弧长的计算．
【分析】根据题目的条件和图形可以判断点 B 分别以 C 和 A 为圆心 CB 和 AB 为半径旋转
120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以 2 即可得到．
【解答】解：如图：BC=AB=AC=1，
∠BCB′=120°，13
∴B 点从开始至结束所走过的路径长度为 2×弧 BB′=2× = ，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公
式求得即可．
12．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】此题可分为两段求解，即 C 从 D 点运动到 E 点和 A 从 D 点运动到 E 点，列出面积随
动点变化的函数关 系式即可．
【解答】解：设 CD 的长为 x，△ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y∴
当 C 从 D 点运动到 E 点时，即 0≤x≤2 时，y= ×2×2﹣ （2﹣x）×（2﹣x）=﹣
x2+2x．
当 A 从 D 点运动到 E 点时，即 2＜x≤4 时，y= ×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]=
x2﹣4x+8，
∴y 与 x 之间的函数关系 由函数关系式可看出 A 中的函数图象
与所求的分段函数对应．
故选：A．
【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自
变量的取值范围．
二、填空题（每小题 4 分,共 24 分)
13．
【考点】4E：完全平方式．
【分析】这里首末两项是 x 和 3 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x 和 3 的积的
2 倍，故 k=±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去 x 和 3 的积的 2 倍，
故 k=±6．14
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成
了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
14．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出
结论．
【解答】解：由已知得： ，
即 ，
解得：k＞﹣1 且 k≠0．
故答案为：k＞﹣1 且 k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于 k 的一元
一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判
别式得出不等式（或不等式组）是关键．
15．
【考点】X4：概率公式；K6：三角形三边关系．
【分析】由一个不透明的口袋里有 4 张形状完全相同的卡片，分别写有数字 1，2，3，4，
可得共有 4 种等可能的结果，又由这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长，
能构成三角形的有：2，2，3；3，2，3；4，2，3；共 3 种情况，然后利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的口袋里有 4 张形状完全相同的卡片，分别写有数字 1，2，3，
4，
∴共有 4 种等可能的结果，
∵这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长，能构成三角形的有：2，2，3；
3，2，3；4，2，3；共 3 种情况，
∴能构成三角形的概率是： ．15
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求 情况数与总情况数
之比．
16．
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】先由 y 轴上点的横坐标为 0 求出 A 点坐标为（0，1），再将 y=1 代入 y=4x2，求出 x
的值，得出 B、C 两点的坐标，进而求出 BC 的长度．
【解答】解：∵抛物线 y=ax2+1 与 y 轴交于点 A，
∴A 点坐标为（0，1）．
当 y=1 时，4x2=1，
解得 x=± ，
∴B 点坐标为（﹣ ，1），C 点坐标为（ ，1），
∴BC= ﹣（﹣ ）=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，两函数交点坐标的求法以及平行于 x 轴上的两点之间
的距离的知识，解答本题的关键是求出点 A 的坐标，此题难度不大．
17．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；M2：垂径定理．
【分析】连接 BO 并延长交 AC 于 F，如图，先利用垂径定理得到 BF⊥AC，BD=CD，再证明 Rt
△BOD∽Rt△EOF 得到 = = ，则设 OF=x，则 OD= x，接着证明 Rt△DBO∽Rt△DEC，
利用相似比得到 = ，所以 DB2=3x2+2 x，然后利用勾股定理得到关于 x 的方程，
最后解方程求出 x 后，计算 x 即可．
【解答】解：连接 BO 并延长交 AC 于 F，如图，
∵BA=BC，
∴ = ，16
∴BF⊥AC，
∵直径 MN⊥BC，
∴BD=CD，
∵∠BOD=∠EOF，
∴Rt△BOD∽Rt△EOF，
∴ = = = ，
设 OF=x，则 OD= x，
∵∠DBO=∠DEC，
∴Rt△DBO∽Rt△DEC，
∴ = ，即 = ，
而 BD=CD，
∴DB2= x（ x+2）=3x2+2 x，
在 Rt△OBD 中，3x2+2 x+3x2=（2 ）2，解得 x1= ，x2=﹣ （舍去），
∴OD= x=2．
故答案为 2．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线
的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理．熟练应用相似比是解决问题的关键．
18．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】先证明△ABD 是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，再求出 DF=CE，
然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；
根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC，由三角形的外角性质求出∠DMF=∠BDC=60°，
再求出∠BMD=120°，从而判定②正确；17
根据三角形的外角性质和平行线的性质求出∠ABM=∠ADH，由 SAS 证明△ABM≌△ADH，根据
全等三角形的性质得出 AH= AM，∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，从而判定出△AMH
是等边三角形，得出③正确；
根据全等三角形的面积相等可得△AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积，然后判定出④正
确．
【解答】解：在菱形 ABCD 中，
∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD 是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC﹣BE=CD﹣CF，
即 CE=DF，
在△BDF 和△DCE 中， ，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①正确；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°﹣∠DMF=180°﹣60°=120°，故②正确；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM 和△ADH 中， ，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH 是等边三角形，故③正确；18
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积，
又∵△AMH 的面积= AM• AM= AM2，
∴S 四边形 ABMD= AM2，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角
形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角
形并找出全等的条件是解题的关键．
三、解答题（7 小题，共 78 分)
19．
【考点】6D：分式的化简求值；C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵﹣ （x﹣1）≥ ，
∴x﹣1≤﹣1
∴x≤0，非负整数解为 0
∴x=0
原式= ÷（ ﹣ ）
= ×
=
=
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础19
题型．
20．
【考点】VD：折线统计图；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据合格的男生有 2 人，女生有 1 人，得出合格的总人数，再根据评级合格的
学生占 6%，即可得出全班的人数；
（2）根据折线统计图和扇形统计图以及全班的学生数，即可得出女生评级 3A 的学生和女生
评级 4A 的学生数，即可补全折线统计图；
（3）根据题意画出图表，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：因为合格的男生有 2 人，女生有 1 人，共计 2+1=3 人，
又因为评级合格的学生占 6%，
所以全班共有：3÷6%=50（人）．
故答案为：50．
（2）根据题意得：
女生评级 3A 的学生是：50×16%﹣3=8﹣3=5（人），
女生评级 4A 的学生是：50 ×50%﹣10=25﹣10=15（人），
如图：
（3）根据题意如表：20
∵共有 12 种等可能的结果数，其中一名男生和一名女生的共有 7 种，
∴P= ，
答：选中一名男生和一名女生的概率为： ．
【点评】此题考查的是折线统计图、扇形统计图和用列表法或树状图法求概率．列表法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
21．
【考点】ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）连接 OE，证明∠OEA=90°即可；
（2）连接 OF，过点 O 作 OH⊥BF 交 BF 于 H，由题意可知四边形 OECH 为矩形，利用垂径定理
和勾股定理计算出 OH 的长，进而求出 CE 的长．
【解答】（1）证明：连接 OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC 是⊙O 的切线；21
（2）解：连接 OE、OF，过点 O 作 OH⊥BF 交 BF 于 H，
由题意可知四边形 OECH 为矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在 Rt△BHO 中，OB=5，
∴OH= =4，
∴CE=4．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
22．
【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）直接将点 A 的坐标代入到二次函数的解析式即可求出 m 的值，写出二次函数的
解析式，求出 y=0 时 x 的值即可点 B 的坐标；
（2）计算当 x=0 时 y 的值，根据三角形的面积公式可得；
（3）因为 S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与 OC 的长
相等即可，因此要计算 y=6 和 y=﹣6 时对应的点即可．
【解答】解：（1）∵函数过 A（3，0），22
∴﹣18+12+m=0，
∴m=6，
∴该函数解析式为：y=﹣2x2+4x+6，
∴当﹣2x2+4x+6=0 时，x1=﹣1，x2=3，
∴点 B 的坐标为（﹣1，0）；
（2）当 x=0 时，y=6，
则 C 点坐标为（0，6），
∴S△ABC= =12；
（3）∵S△ABD=S△ABC=12，
∴S△ABD= =12，
∴|h|=6，
①当 h=6 时：﹣2x2+4x+6=6，
解得：x1=0，x2=2
∴D 点坐标为（0，6）或（2，6）；
②当 h=﹣6 时：﹣2x2+4x+6=﹣6，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣
∴D 点坐标为（1+ ，﹣6）、（1﹣ ，﹣6）；
∴D 点坐标为（2，6）、（1+ ，﹣6）、（1﹣ ，﹣6）．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，待定
系数法就是将已知的点代入解析式中列方程或方程组求解，对于抛物线与 x 轴的交点，令
y=0 代入即可，抛物线与 y 轴的交点，令 x=0 代入即可．
23．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据利润=（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案 A、B 中 x 的取值，然后分别求出 A、B 方案的最大利润，然后进行比23
较．
【解答】解：（1）由题意得，销售量=150﹣10（x﹣30）=﹣10x+450，
则 w=（x﹣25）（﹣10x+450）
=﹣10x2+700x﹣11250；
（2）w=﹣10x2+700x﹣11250=﹣10（x﹣35）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w 有最大值，
当 x=35 时，w 最大=1000 元，
故当单价为 35 元时，该计算器每天的利润最大；
（3）B 方案利润高．理由如下：
A 方案中：∵25×24%=6，
此时 wA=6×（150﹣10）=840 元，
B 方案中：每天的销售量为 120 件，单价为 33 元，
∴最大利润是 120×（33﹣25）=960 元，
此时 wB=960 元，
∵wB＞wA，
∴B 方案利润更高．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性
来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其
中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一
定在 x=﹣ 时取得．
24．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）利用中点坐标公式即可得出结论；
（2）①先确定出点 A 坐标，进而得出点 C 坐标，将点 C，D 坐标代入反比例函数中即可得出
结论；24
②由 n=1，求出点 C，D 坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）设出点 E 坐标，进而表示出点 F 坐标，即可建立面积与 m 的函数关系式即可得出结
论．
【解答】解：（1）∵点 C 是 OA 的中点，A（4，4），O（0，0），
∴C（ ， ），
∴C（2，2）；
故答案为（2，2）；
（2）①∵AD=3，D（4，n），
∴A（4，n+3），
∵点 C 是 OA 的中点，
∴C（2， ），
∵点 C，D（4，n）在双曲线 y= 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 y= ；
②由①知，n=1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线 CD 的解析式为 y=ax+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线 CD 的解析式为 y=﹣ x+3；
（3）如图，由（2）知，直线 CD 的解析式为 y=﹣ x+3，25
设点 E（m，﹣ m+3），
由（2）知，C（2，2），D（4，1），
∴2＜m＜4，
∵EF∥y 轴交双曲线 y= 于 F，
∴F（m， ），
∴EF=﹣ m+3﹣ ，
∴S△OEF= （﹣ m+3﹣ ）×m= （﹣ m2+3m﹣4）=﹣ （m﹣3）2+ ，
∵2＜m＜4，
∴m=3 时，S△OEF 最大，最大值为
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题
的关键是建立 S△OEF 与 m 的函数关系式．
25．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质得出 AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出 DE=CF，根据 SAS 推
出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出 AE=DF，∠DAE=∠FDC 即可；
（2）有两种情况：①当 AC=CE 时，设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理求出 AC=CE= a
即可；②当 AE=AC 时，设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理求出 AC=AE= a，根据正方
形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出 DE=CD=a 即可；
（3）根据（1）（2）知：点 P 在运动中保持∠APD=90°，得出点 P 的路径是以 AD 为直径的
圆，设 AD 的中点为 Q，连接 CQ 并延长交圆弧于点 P，此时 CP 的长度最大，求出 QC 即可．
【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，26
理由是：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动，
∴DE=CF，
在△ADE 和△DCF 中
，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）
（1）中的结论还成立，CE：CD= 或 2，
理由是：有两种情况：
①如图 1，当 AC=CE 时，
设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC=CE= = a，
则 CE：CD= a：a= ；
②如图 2，当 AE=AC 时，27
设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC=AE= = a，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADC= 90°，即 AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2；
即 CE：CD= 或 2；
（3）∵点 P 在运动中保持∠APD=90°，
∴点 P 的路径是以 AD 为直径的圆，
如图 3，设 AD 的中点为 Q，连接 CQ 并延长交圆弧于点 P，此时 CP 的长度最大，
∵在 Rt△QDC 中，QC= = = ，
∴CP=QC+QP= +1，
即线段 CP 的最大值是 +1．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等
腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，
用了分类讨论思想，难度偏大．
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