数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（每题5分，共60分）
1．复数满足 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A.
第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）A．
B． C. D．
3．用数学归纳法证明 时，由 到
，不等式左端应增加的式子为（ ）
A. B. C. D.
4．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景
点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则 （ ）
A. B. C. D.
5．曲线 （ 为参数）的离心率为( )
A. B. C. D.
6．已知圆 ，将直线 向上平移2个单位与之相切，则实数 的值
为（ ）
A. -7或3 B. -2或8 C. -4或4 D. 0或6
7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率相同且灯口向下放着．现需
要一只卡口灯泡使用，电工师傅每从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的
概率为：
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
8．若 ，则 的值为（ ）
n k=
1n k= +
( )
1
1k k + ( ) ( )( )
1 1
1 1 2k k k k
++ + + ( )
1
2k k + ( )( )
1
1 2k k+ +
21
40
17
40
3
10
7
120
( )( )6 2 7
0 1 2 71 2x x a a x a x a x+ − = + + +⋅⋅⋅+ 0 1 2 6a a a a+ + +…+
i z
ξ ( )3,4N ( ) ( )2 3 2P a P aξ ξ< − = > + a =
3 5
3 5 7
3
( ) ( )*
11
1
43
1
32
1
21
1 Nnn
n
nn
∈+=+++⋅+⋅+⋅ A. 0 B. 1 C. 2 D. 6
9．下列说法正确的是（ ）
A. ， ，若 ，则 且
B. ，“ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”
D. 设随机变量 ，若 ，则实数 的值为2
10．某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲
与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是（ ）
A. 240 B. 360 C. 540 D. 600
11．设 ，则 展开式的常数项为（ ）
A. -20 B. 20 C. -160 D. 160
12 ． 函 数 的 定 义 域 是 ， ， 对 任 意 ，
，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. { ，或 } D. {
，或 }
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众 做了一项预测：
说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．
说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．
说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．
比赛结果出来后，发现 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有
一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是__________．
14．如图，曲线 与直线 所围成的阴影部分的面积是___________．
15．随机变量ξ的分布列如下表，则D（ξ）=
16．用 种颜色给一个正四面体的 个顶点染 色
0
sina xdx
π
= ∫ 61a x x
+
( )f x R ( )0 2f = x R∈
( ) ( )' 1f x f x+ > ( )• 1x xe f x e> +
{ }0x x { | 0}x x < | 1x x < − 1x > | 1x x < −
0 1x< <
A B C、 、
A
B
C
A B C、 、
23y x= − 2y x=
4 4
ξ 0 1 2
P 1
2 3
1 p，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不
同的染色方法共有 种．
三、解答题
17．（12分）某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲
、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），
数学期终考试成绩茎叶图如下：
（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请 填
写下面的 联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
附：参考公式及数据
（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学
中随机抽取3名，设 为抽取成绩不低于95分
同 学 人 数 ，求 的 分 布 列 和 期 望 ．
18．（12分）如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， 是 的中点，
是 的中点，点 在 上， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
19．（10分）以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐
2 2×
ξ
ξ
O x C标方程为 ，将曲线 ： （ 为参数），经过伸缩变换
后得到曲线 .（1）求曲线 的参数方程；
（2）若点 的曲线 上运动，试求出 到直线 的距离的最小值.
20、（12分）已知函数 .
（1）若函数 在点 的切线平行于 ，求 的值.
（2）求函数 的极值.
21、（12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门
选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
22．（12分）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 时，均有 成立，求实数 的取值范围
10cossin2 =+ θρθρ 1C
=
=
α
α
sin
cos
y
x α
=
=
yy
xx
2'
3'
2C 2C
M 2C M C
( ) 1x
af x xe
= + +
( )f x ( )( )1, 1f 2 3y x= + a
( )f x
( ) ( ) ( )ln 1 1
axf x x a Rx
= + − ∈−
1a = ( )f x
1 1x− < < ( ) 0f x ≤ a参考答案
一、选择题：1．D2．D3．D4．A5．A6．B7．D8．B9．B10．D11．D12．A
【解析】令 ,则 ,所以函数 为
上单调递增，而 等价于 ，因此 ，选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要
构 造 . 构 造 辅 助 函 数 常 根 据 导 数 法 则 进 行 ： 如 构 造 ，
构 造 ， 构 造 ，
构造 等
二、13．甲14． 15． 16．
试题分析：设三棱锥为 ．同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，相当于将四种元
素在四个位置全排列，即有 ,故答案为 ．
三、解答题
17．（I）先计算独立性检验的观测值,再查表确定临界值 , (Ⅱ)应用超几何分布来求随机变
量 的分布列与期望.
试题解析：
（I）如图所示
由 知, 可以判断：有
把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
(Ⅱ) 两个班数学成绩不低于 分的同学中, 成绩不低于 分同学人数有 名, 从中随机抽取
名,
, ， ，
( ) ( )( )1xg x e f x= − ( ) ( ) ( )( )1 0xg x e f x f x= − ′+ >′ ( )g x
R ( )• 1x xe f x e> + ( ) ( )0g x g> 0x >
( ) ( )f x f x′ < ( ) ( )
x
f xg x e
=
( ) ( ) 0f x f x′ + < ( ) ( )xg x e f x= ( ) ( )xf x f x′ < ( ) ( )f xg x x
=
( ) ( ) 0xf x f x+ × × ×
090 0
90 95 3
3 0,1,2,3ξ =
( ) 3
4
3
7
40 35
CP C
ξ = = = ( ) 2 1
4 3
3
7
181 35
C CP C
ξ = = = ( ) 1 2
4 3
3
7
122 35
C CP C
ξ = = =.
18．（Ⅰ）取 的中点 ，利用中位线的性质，可证明平面GEF//平面ABC，进而得到EF//
平面ABC；（Ⅱ）由题意，建立空间直角坐标系 ，分别求出平面 和平面 的法向量，
求出法向量之间的夹角即可求出二面角 的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，
则GE//AC，GF//AB，
因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，
所以EF//平面ABC．
（Ⅱ）作BO⊥AC于点O，过点O作OH//PA，
以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标
系，则
∴ ，
则平面CDA的一个法向量为 设平面CDB的一个法向量为
则 可取 ，所以 ，所以二
面角B−CD−A的余弦值为 ．
19．（1）由 ，得 .
由函数 在点 的切线平行于 ，得 ，解得 .
（2） .①当 时， ， 在 上为增函数， 无极值.
②当 时，令 ，得 ， .
所以 ， ； ， ；
在 上单调递减；在 上单调递增.
( ) 3
3
3
7
13 35
CP C
ξ = = =
0 4 1 18 2 12 3 1 9
35 7Eξ × + × + × + ×= =
( ) 1x
af x xe
= + + ( )' 1 x
af x e
= −
( )f x ( )( )1, 1f 2 3y x= + ( )' 1 2f = a e= −
( )' 1 x
af x e
= − 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x R ( )f x
0a > ( )' 0f x = xe a= lnx a=
( ),lnx a∈ −∞ ( )' 0f x > ( )ln ,x a∈ +∞ ( )' 0f x <
( )f x∴ ( ),lna−∞ ( )ln ,a +∞在 取得极小值，极小值为 ，无极大值.
20、 (Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N= 3分
(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
7分
(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为 ，则 ＝0,1,2,3P( ＝0)＝
P( ＝1)＝ P( ＝2)＝ P( ＝3)＝ 9分
的分布列是10分
12分
21．（1）将曲线 ： （ 为参数）化为 ，
由伸缩变换 化为 ，代入圆的方程得 ，
即 ，可得参数方程为 （ 为参数）.
（2）曲线 的极坐标方程 ，化为直角坐标方程： ，
点 到 的距离 ，
∴点 到 的距离的最小值为 .
22．（1）当 时， ，
，
当 或 时， ；当 或 时， .
所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
( )f x lnx a= ( )ln ln 2f a a= +
64444 =××
16
9
444
2332
43
2
2
2
3
2
4
2 =××
×××== ACCP
ξ ξ ξ
64
27
4
3
3
3
=
ξ
64
27
4
3
3
21
3 =⋅C ξ
64
9
4
3
3
1
3 =⋅C ξ
64
1
43
3
3 =C
ξ
4
3
64
1364
9264
27164
270 =×+×+×+×=ξE
1C
=
=
α
α
sin
cos
y
x α 122 =+ yx
=
=
yy
xx
2'
3'
=
=
'2
1
'3
1
yy
xx
1)'2
1()'3
1( 22 =+ yx
14
)'(
9
)'( 22
=+ yx
=
=
α
α
sin2
cos3
y
x α
C 10cossin2 =+ θρθρ 0102 =−+ xy
M C 5
5
5
5
|10)sin(5|
5
|10sin4cos3| =≥−−=−+= ϕθθθ
d
M C 5
1a = ( ) ( ) ( ) ( )1 , 1,1 1,1
xf x ln x xx
= + − ∈ − ∪ +∞−
( ) ( )
( )
( ) ( )2 2
31 1
1 1 1 1
x xf x x x x x
′ −= − =+ − − +
1 0x− < < 3x > ( ) 0f x′ > 0 1x< < 1 3x< < ( ) 0f x′ <
( )f x ( ) ( )1,0 , 3,− +∞ ( ) ( )0,1 , 1,3（2） ， ，
当 时， 恒成立，故 时， ，不合题意；
当 时，由 得： ， ，
若 ，此时 ，对 ，有 ，
即 时， ，不合题意；
若 ，此时 ，对 ，有 ，
即 时， ，不合题意；
若 ，由（1）知，函数 在 时取到最大值0，符合题意.
综上所述， 即为所求.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 1
1 1 1 1
x a x x a x af x
x x x x
− − + − + + −= =
− −
′
+ + 1 1x− < <
0a ≤ ( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) ( )0 0f x f> =
0a > ( ) 0f x′ = 2
1
2 8
2
a a ax
+ − +=
2
2
2 8
2
a a ax
+ + +=
0 1a< < 10 1x< < 10 x x< < ( ) 0f x′ >
10 x x< < ( ) ( )0 0f x f> =
1a > 11 0x− < < 1 0x x< < ( ) 0f x′ <
1 0x x< < ( ) ( )0 0f x f> =
1a = ( )f x 0x =
1a =
微信/支付宝扫码支付