衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 1 页 共 9 页
衡阳市八中澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试
文科数学试卷
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知集合 是 1 至 20 以内的所有素数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知直线 与圆 交于 A，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则 a
的值为
A． B． C． D．
5. 1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，
英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得到的关于
同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.
“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，例如求 1 到 2000
这 2000 个整数中，能被 3 除余 1 且被 7 除余 1 的数的个数，现
由程序框图，其中 MOD 函数是一个求余函数，记
表示 m 除以 n 的余数，例如 ，
则输出 i 为（ ）
A．98 B．97 C．9 D．95
6.若 ， ， ，则
A． B． C． D．
7. 已知 为偶函数，且 ，当 时， ，则 f(2018)=（ ）
A． B． C． D．1
{ |A x x= } { }8B x x= ≤ A B =
{ }3,5,7 { }2,3,5,7 { }1,2,3,5,7 { }0,1,2,3,5,7
z 1zi i= + z
( )2 2
1 06
x y mm m
− = >+
2 2
12 4
x y− =
2 2
14 8
x y− =
2
2 18
yx − =
2 2
12 8
x y− =
y ax= 2 2: 6 6 0C x y y+ − + =
2± 3± 1± 3
2
±
MOD( , )m n MOD(8,3) 2=
0.52a = log 3b π= 2
2log sin 5c
π=
a c b< < c a b< < b a c< < c b a< <
( )f x (2 ) (2 )f x f x+ = − 2 0x− ≤ ≤ ( ) 2xf x =
1
4
1
3
1
2衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 2 页 共 9 页
8.已知函数 ，直线 是函数
的图像的任意两条对称轴，且 的最小值为 ，若 ，则 的值为
A． B． C． D．
9. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边.已知 ，
，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
10. 已知数列 的各项均为正数，且满足 ，且 成等比数
列，则数列 的前 2019 项和为（ ）
A． B． C． D．
11. 已知函数 是单调函数，且 时，都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12.已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且两个椭圆的离心率相同，设 O 为
坐标原点，点 A、B 分别在椭圆 、 上，若 ，则直线 AB 的斜率 k 为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若 满足 ，则 的最小值为 .
14.平面向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 .
15.斜率为 的直线过抛物线 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点（点 A 在
第一象限），若 ，则 .
16.已知四棱锥 中，底面 是梯形，且 ∥ ， ⊥ ，
， ⊥ ， ， ， 的中点为 ，则四棱锥
外接球的表面积为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
2( ) 2sin cos 2 3sin 3( 0)f x x x xω ω ω ω= − + > 1 2,x x x x= = ( )f x
1 2| |x x−
2
π 2( ) 3f α = 5sin( 4 )6
π α−
7
9
7
9
− 17
81
17
81
−
2 2 2cos( )ab A B a b c− = + − tan 2,A =
2 5a = b =
15 13
13
5 7
3
15 13
13
5 7
3
13
13
{ }na 2 2
+1 12( ) 0n n n na a a a+− − + = 2 4 8,a a a，
1
1
n na a +
2019
2020
1009
8080
2019
8080
2018
2021
( )f x ( )0,x∈ +∞ 2( ( ) ) 1f f x x
+ = − (1)f =
4− 3− 1− 0
2
2
1 : 14
xC y+ = 2C 1C
1C 2C 2OB OA=
1 1− 1± 3
2
±
yx,
≥+
≥
≤
3
2
2
yx
xy
x
yx 2+
a b
3
π
(2,0)a = | | 1b = | 2 |a b− =
3 2 2 ( 0)y px p= >
| | 2AF = p =
P ABCD− ABCD AD BC AD DC
2 2 4AD DC CB= = = AP PD PA PD= 2 2PC = AD E
P BCDE−衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 3 页 共 9 页
已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ．若 ， ，
．
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
18.（本小题满分 12 分）
在新高考改革中，打破了文理分科的“3+3”模式，不少省份采用了“3+3”，“3+2+1”，“3+1+2”等模
式.其中“3+1+2” 模式的操作又更受欢迎，即语数外三门为必考科目，然后在物理和历史中选考一
门，最后从剩余的四门中选考两门.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的 2000 名学生（其
中男生 1100 人，女生 900 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取 n 名学生进行调查.
（1）已知抽取的 n 名学生中含男生 110 人，求 n 的值及抽取到的女生人数；
（2）在（1）的情况下对抽取到的 n 名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列 2×2
列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选科目与 性别有关？
选物理 选历史 合计
男生 90
女生 30
合计
（3）在（2）的条件下，从抽取的“选历史”的学生中按性别分层抽样再抽取 5 名，再从这 5 名学
生中抽取 2 人了解选政治、地理、化学、生物的情况，求 2 人至少有 1 名男生的概率.
参考公式： .
19.（本小题满分 12 分）
已知直四棱柱 的底面 是菱形， ，E 是 CC1 上任意一点.
（1）求证：平面 ⊥平面 ;
（2）设 ，当 E 为 的中点时，求点 E 到平面 的距离.
20.（本小题满分 12 分）
{ }na n nS { }nb n nT 1 1 3a b= = 4 2a b=
4 2 12S T− =
{ }na { }nb
{ }n na b+ n
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
0( )P K k≥ 0.10 0.010 0.001
0k 2.706 6.635 10.828
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 3ABC
π∠ =
EBD 1A AC
1 2AB AA= = 1CC 1A BD
E
C1
D1
A1
D
B C
A
B1衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 4 页 共 9 页
已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，椭圆 上短轴的
一个端点与两个焦点构成三角形的面积为
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作垂直于 轴的直线 交椭圆 于 两点(点 在第二象限)， 是椭圆上位于
直线 两侧的动点，若 ，求证：直线 的斜率为定值.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 与 满足的关系；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）当 时，对任意的 ，总有 成立，求实数 的取值范
围.
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 的参数方程为 .在以坐标
原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且 ，求直线 l 的倾斜角.
23. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 .
（1）解不等式
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
)0(12
2
2
2
＞＞： bab
y
a
xC =+
2
1
21, FF C
3
C
1F x l C BA, A NM ,
l NABMAB ∠=∠ MN
( ) 3 2 2f x x ax b x= + − ,a b∈R
( )y f x= ( )( )1, 1f 3 0y − = a b
0b = ( )f x
0, 1a b= = ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )xf x x e k< + k
xOy α l
2 cos
( )
3 sin
x t
t
y t
α
α
= + = +
为参数
x C 2 2 cos 8.ρ ρ θ= +
l C
| | 4 2AB =
( ) | 2 | | +3|f x x x= − +
( ) 6;f x >
x 1 ( )ax f x− ≤ a衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 5 页 共 9 页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D B D D A B A C C C
13．5 14．2 15.1 16．
解析：易知平面 ⊥平面 ，则△ 为直角三角形，∴ ，设球心为 ， 到
面 的距离为 ，球的半径为 ，则 ，解得 .
17.解(1) 由 ， ，则
设等差数列 的公差为 ，则 ，所以 .
所以
设等比数列 的公比为 ，由题 ，即 ，所以 .所以 ；
(2) ，
所以 的前 项和为
.
18.解：（1）由题意得 ，解得 ，则女生人数为 （人）.
(2)
选物理 选历史 合计
男生 90 20 110
女生 60 30 90
合计 150 50 200
∴没有 99%的把握认为选科与性别有关.
(3)从选历史的学生中按性别分层抽 5 名学生，则由（2）可知，有 2 名男生，3 名女生，设男生
编号为 1，2，女生编号为 3，4，5，5 名学生中再选取 2 人，则所有等可能的结果为 34，35，
31，32，45，41，42，51，52，12 共 10 种，至少 1 名男生的结果为 31，32，41，42，51，52
共 7 种，∴2 人中至少 1 名男生的概率为 ’
28
3
π
PBE ABCD PBC 2PB = O O
BCDE h r 22 2 2 22 , ( 3 ) 1r h r h= + = − + 2 7
3r =
1 1a b= 4 2a b= 4 2 1 2 3 4 1 2 2 3( ) ( ) 12S T a a a a b b a a− = + + + − + = + =
{ }na d 2 3 12 3 6 3 12a a a d d+ = + = + = 2d =
3 2( 1) 2 1na n n= + − = +
{ }nb q 2 4 9b a= = 2 1 3 9b b q q= = = 3q = 3n
nb =
(2 1) 3n
n na b n+ = + +
{ }n na b+ n 1 2 1 2( ) ( )n na a a b b b+ + + + + + +
2(3 5 2 1) (3 3 3 )nn= + + + + + + + +
(3 2 1) 3(1 3 )
2 1 3
nn n+ + −= + −
3(3 1)( 2) 2
n
n n
−= + +
110
2000 1100
n = 200n = 900200 902000
× =
2
2 200 (90 30 20 60) 6.061 6.635110 90 150 50K
× × − ×= ≈ 0x > 2
3x a< −
( )' 0f x < 2 03 a x− < <
( )f x 2, 3 a −∞ −
( )0, ∞+ 2 ,03 a −
0a < ( )' 0f x > 2
3x a> − 0x <
( )' 0f x < 20 3x a< < −
( )f x ( ),0−∞ 2 ,3 a − +∞
20, 3 a − 衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 8 页 共 9 页
（3）当 时， ，
由 ，得 对任意的 恒成立.
， ， 在 恒成立.
设 ，则 ，令 ，则 ，
由 ，解得 . 由 ，解得 ；由 ，解得 .
导函数 在区间 单增；在区间 单减，
， 在 上单调递减，
， . 故所求实数 的取值范围 .
22.解：（1）当 时，直线 的直角坐标方程为 ；当 时，直线 的直角坐标方程
为 .
将 代 入 中 ， 得 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
.
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 ，
整理得 .∵ ，
∴ ，
∴
整理得 ，即 ，∵
∴ 或 ，解得 或 为所求.
22.解：（1）∵ ，∴ 等价 ，
0, 1a b= = ( ) 3f x x x= −
( ) ( )xf x x e k< + ( )3 xx x x e k− < + ( )0,x∈ +∞
0x > 2 1 xx e k∴ − < + 2 1 xk x e∴ > − − ( )0,x∈ +∞
( ) ( )2 1 , 0xg x x e x= − − > ( )' 2 xg x x e= − ( ) 2 xh x x e= − ( )' 2 xh x e= −
( )' 0h x = ln2x = ( )' 0h x > 0 ln2x< < ( )' 0h x < ln2x >
∴ ( )'g x ( )0,ln2 ( )ln2, ∞+
( ) ( )' ' ln2 2ln2 2 0g x g∴ ≤ = − < ∴ ( )g x ( )0, ∞+
( ) ( )0 2g x g∴ < = − 2k∴ ≥ − k [ )2,− +∞
2
πα = l 2x =
2
πα ≠ l
tan 2tan 3 0x yα α− − + =
2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + = 2 cos 8ρ ρ θ= + C
2 2 2 8 0x y x+ − − =
l C 2 2 2 8 0x y x+ − − =
2 (2 3sin 2cos ) 5 0t tα α+ + − = 2(2 3sin 2cos ) 20 0α α∆ = + + >
1 2 1 2(2 3sin 2cos ), 5t t t tα α+ = − + = −
2 2
1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 (2 3sin 2cos ) 20 4 2AB t t t t t t α α= − = + − = + + =
2( 3sin cos ) 3α α+ = 2sin( ) 36
πα + = ± 0 α π≤ <
6 3
π πα + = 2
6 3
π πα + =
6
πα =
2
πα =
2 1, 3
5, 3 2
2 1, 2
x x
x
x x
− − < −
− ≤ ≤
+ >
( ) 6f x >
2 1 6, 3
5 6, 3 2
2 1 6, 2
x x
x
x x
− − > < −
> − ≤ ≤
+ > >衡阳市八中 澧县一中 2020 届高三 11 月联合考试◆文科数学试卷 第 9 页 共 9 页
故不等式的解集为 或 .
（2）∵ 恒成立，令 知其表示过定点 的直线，结合图象得
，∴实数 的取值范围为 .
7| 2x x < −
5
2x >
1 ( )ax f x− ≤ ( ) 1g x ax= − (0, 1)−
2 2a− ≤ ≤ a [ 2,2]−
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