重庆一中2019-2020高二上学期期中考试数学（Word版附答案）.docx

1 秘密★启用前 【考试时间：11 月 28 日 10:00—12:00】 2019 年重庆一中高 2021 级高二上期期中考试 数学测试试题卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知等差数列 的公差为 2，且 是 与 的等比中项，则 等于( ) A. B. C. D. 2. 在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，则 等于( ) A. B. C. D.9 3. 双曲线 的渐近线方程为 ，则其离心率为（ ） A. B. C. D.2 4. 已知直线 与直线 平行，则 与 的距离为（ ） A. B. C. D. 5．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 6．椭圆 上一点 到左焦点 的距离是 2， 是 的中点， 是坐标原点， 则 的值为（ ） A. 8 B. 4 C.3 D.2 { }na 3a 1a 7a 1a 6 4 3 1− ABC∆ , ,A B C , ,a b c 4, 30a A= =  60B =  b 3 6 4 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2y x= ± 2 3 6 2 1 : 1 0l x ay+ − = 2 : 2 1 0l x y− + = 1l 2l 1 5 5 5 3 5 3 5 5 C 2 8 xy = F ( )0 0A x y， C 02AF y= 0x = 2 2± 4 4± 2 2 125 9 x y+ = M 1F N 1MF O ON2 7.已知双曲线方程为 ，则以点 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为 （ ） A. B. C. D. 8. 若圆 与圆 有公共点，则 的范围（ ） A. B. C. D. 9. 若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 过抛物线 的焦点 ，作斜率大于 的直线 交抛物线于 两点 （ 在 的上方），且 与抛物线 的准线交于点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 11. 设 是双曲线 的一个焦点， ， 是 的两个顶点， 上存在一点 ，使得 与以 为直径的圆相切于 ，且 是线段 的中点，则 的 渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 12．设 分别是双曲线 的左右顶点，设过 的直线 与双曲线分 别交于点 ,直线 交 轴于点 ，过 的直线交双曲线的于 两点，且 ，则 的面积（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。 13．已知 ， ，且 ，则 ________. 2 22 2x y− = (2,3)A 4 3 1 0x y− + = 2 1 0x y− − = 3 4 6 0x y− + = 1 0x y− + = 2 2 2: ( 0)C x y r r+ = > 2 2:( 3) ( 4) 16E x y− + − = r (3,6) [1,7] [1,9] [4,8] O F 2 2 14 3 x y+ = P OP FP⋅  2 3 6 8 2: 2 ( 0)E y px p= > F 0 l ,A B A B l E C 3CB BF=  | | | | AF BF = 2 5 2 3 9 4 1F 2 2 2 2: 1( 0, 0)y xC a ba b − = > > 1A 2A C C P 1PF 1 2A A Q Q 1PF C 3 3y x= ± 3y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± ,A B 2 2 13 yx − = 1( , )2P t ,PA PB ,M N MN x Q Q ,S T 2SQ QT=  BST∆ 9 3516 3 174 3 158 3 2 ( )2,1,3a = ( )4,2,b x= − a b⊥  a b− =3 14．已知定点 ，点 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程 为__________． 15．如图，正方体 中，E 为线段 的中点， 则直线 AE 与直线 所成角的余弦值为 ． 16．设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于 两点，过 的中点 作 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则直线 的方程为 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10分）在△ 中，角 所对的边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求△ 的面积. 18．（12 分）如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ， ，点 ， 分别为 与 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 19．（12 分）已知过点 的圆 的圆心为 ，且圆 与直线 相切. （1）求圆 的标准方程； （2）若过点 且斜率为 的直线 交圆 于 两点，若 的面积为 ， 求直线 的方程. ( )0, 4A − P 2 2 4x y+ = AP C 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BB 1CD 2 4y x= F F l ,A B AB M y P 3 2PF = l ABC , ,A B C , ,a b c cos cos 2 cosa C c A b A+ = A 7, 2a c= = ABC 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 1 1A B C AC AB⊥ 2 4AC AB= =， 1 6AA = E F 1CA AB / /EF 1 1BCC B 1B F AEF ( )0, 2P − M ( ),0a ( )0a ≤ M 2 2 0x y+ + = M ( )0,1Q k l M ,A B PAB∆ 3 7 2 l4 P A F xo y N M B 20．（12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ,点 为棱 的中点． （1）证明: ； （2）若 为棱 上一点，满足 ， 求二面角 的余弦值． 21．（12 分）设抛物线 的焦点为 ，过点 作垂直于 轴的直线与抛 物线交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过点 . (1)求抛物线 的方程； (2)若直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 为曲线 : 上的动点，求 面积的最小值. 22．（12 分）已知椭圆 上的点到右焦点 的最大距离为 ， 离心率为 . 求椭圆 的方程； 如图，过点 的动直线 交椭圆 于 两点，直线 的斜率为 ， 为椭圆上的一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 .过原点 作以 为圆心，以 为半径的圆 的 切线，切点为 .令 ，求 取值范围. 命题人：邹超强 审题人：李 华 朱 斌 P ABCD− PA ⊥ ABCD AD AB⊥ / /AB CD 2, 1AD DC AP AB= = = = E PC BE DC⊥ F PC BF AC⊥ F AB P− − ( )2: 2 0C y px p= > F F x A B AB ( )1,0M − C : 3 1 0l x y− − = C R S N E ( )3 2 1y xx = − − ≤ ≤ − NRS∆ C 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b + = > > F 2 1+ 2 2 ( 1) C ( 2) 1 2( 0, ) l C ,M N l 1k A OA 2k 1 2 1k k = B OA 4 5 AB MN = O B AB B P OP MN λ = 2λ5 2019 年重庆一中高 2021 级高二上期期中考试数学参考答案 一．选择题 BCBDD BACCA DA 二．填空题 13． 14． 15. 16． 三．解答题 17.（1）因为 ， 由正弦定理可得： ， 所以 ，即 ， 由 ，则 ， 由于 ，故 . （2）由余弦定理得， ，所以 ， 故 . 18．（1）证明：如图，连接 ， . 在三棱柱 中， 为 的中点. 又因为 为 的中点， 所以 .又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，得 . 记 与平面 所成角为 ，则 . 38 ( )22 2 1x y+ + = 10 10 2 2 0x y− − = cos ccos 2 cosa C A b A+ = sin cos sin cos 2sin cosA C C A B A+ = sin( ) 2sin cosA C B A+ = sin 2sin cosB B A= sin 0B ≠ 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= 2 2 2( 7) 2 2 2 cos 3AC AC π= + − ⋅ ⋅ ⋅ 3AC = 1 3 32 3 sin2 3 2ABCS π ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = 1AC 1BC 1 1 1ABC A B C− E 1AC F AB 1/ /EF BC EF ⊄ 1 1BCC B 1BC ⊂ 1 1BCC B / /EF 1 1BCC B 1A 1A xyz− ( )0,0,6A ( )1 0,4,0B ( )1,0,3E ( )0,2,6F ( )1 0, 2,6B F = − ( )1,0, 3AE = − ( )0,2,0AF = AEF ( ), ,n x y z= 3 0 2 0 n AE x z n AF y  ⋅ = − = ⋅ = =   3x = ( )3,0,1n = 1B F AEF θ 1 1 sin B F n B F n θ ⋅=     0 3 1 =6 19. （1）设圆 的标准方程为： ， 则圆心 到直线 的距离为 ， 由题意得 ，解得 或 （舍去），所以 ， 所以圆 的方程为 . （2）设直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离为 ， 又点 到直线 的距离为 ， ，解得 ， ， 则直线的方程为 . 20. （1）∵ 底面 ， ， ∴以 分别为 轴正方向建立 空间直角坐标系，向量 ， 故 ，所以 ． （2）向量 ． 由点 在棱 上，设 ． 故 ． 由 ，得 ，因此 ，解得 ． 即 ．设 为平面 的法向量，则 M ( ) ( )2 2 2 0x a y r a− + = ≤ M 2 2 0x y+ + = 2 2 2 a + 2 2 2 2 2 4 a r a r + =  + =     0a = 4 2a = 2 4r = M 2 2 4x y+ = l 1y kx= + M l 2 1 1k + 2 2 2 1 4 32 4 21 1 kAB k k +∴ = − =+ + ( )0, 2P − l 2 3 1 d k= + 2 2 2 1 1 4 3 3 3 722 2 1 21PAB kS AB d k k ∆ +∴ = = × × =+ + 2 1k = 1k∴ = ± 1y x= ± + BF AC⊥  0BF AC⋅ = 7 即 ．不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量． 取平面 的法向量 ， 则 ，易知，二面角 是锐角，所以其 余弦值为 ． 21． (1)由题意得，圆的半径 ，解得： 故抛物线的方程为 . (2)设点 ， ，由直线 过抛物线的焦点 ， 联立 得 ， 故 ，所以 由点 为曲线 上的动点，设点 ，点 到直线 的距离 ， 由 ，故 当且仅当 ，即 时，取等号，所以 ， ∴ ， 故 面积的最小值为 . 22．解：（1）依题意 ， 12 pr p= = + 2p = 2 4y x= ( )1 1,R x y ( )2 2,S x y l ( )1,0F 2 3 1 0 4 x y y x  − − = = 2 14 1 0x x− + = 1 2 14x x+ = 1 2 16RS RF SF x x p= + = + + = N E 0 0 3( , )N x x − N l 0 0 0 0 1 3 1 33 1 12 2d x xx x −= − ⋅ − = + − 02 1x− ≤ ≤ − 0 0 0 0 1 3 1 31 ( 1)2 2d x xx x = + − = − − + ( )0 0 1 3 1[2 ( ) 1] 32 2x x ≥ × − × + = +− 0 0 3x x − = − 0 3x = − 13 2mind = + min 1 1 16 82 2NRSS RS d d d∆ = × × = × × = 8 3 4= + NRS∆ 8 3 4+ 2 1a c+ = + 2 2 c a =8 得 ，故 . 所以椭圆 的方程为 （2）直线 ： 与椭圆 ： 联立， 由 题 意 知 ， ， 所 以 弦 长 与椭圆 ： 联立，解得 所以 令 则 换元得 （再将 看作一个整体），所以 得到 ① 令 ，由① 换元得： ,其中 .所以 2, 1a c= = 1b = C 2 2 12 x y+ = l 1 1 2y k x= + C 2 2 12 x y+ = 2 2 1 1 3(1 2 ) 2 02k x k x+ + − = 0∆ > 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2(1 2 ) kx x k x x k  + = − + − = + 1 2 21 1 2 2 1 2 31 ( ) 41 2 2(1 2 ) kMN k k k −= + − −+ + 2 12 1 2 1 16 61 1 2 kk k += + + 2y k x= C 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2 1 2x k = + 2 2 2 2 21 1 2OA k k = + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 21 1 2 16 61 1 2 kOA k MN kk k + += ++ + 2 1 1k k = = 2 1 2 2 1 1 2 12 2 16 6 k k k + + + 2 12 1( 1)t k t= + > 2 1 1 2 tk −= OA MN = 2 ( 3)(4 1) t t t+ − 2 1 12 (0 1) 3 11 4 t t t = < < − + + 1 t 6 2 6 2 OA MN < < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | | | (| | | |) | | | | | | | | OP OB AB OA AB AB MN MN MN λ − + −= = = 2| | | | | |= +2| | | | | | OA AB OA MN MN MN （ ） 2| | 4 | |+2| | 5 | | OA OA MN MN=（ ） | | | | OA MN ω = 6 2 6 2 ω< < 2 2 8 5 λ ω ω= + 6 2 6 2 ω< < 21 4 1 4+ 6 26 15 2 5 λ< < +