数学试卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1. 下列说法中不正确的是( )
A．平面 α 的法向量垂直于与平面 α 共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果 与平面 α 共面且 ，那么 就是平面 α 的一个法向量
2.抛物线 的准线方程是 ( )
3.空间四边形 中， ，点 在 上，且
为 的中点，则 等于 ( )
4.两个圆 的公切线有( )
条 条 条 条
5.已知 ，若 ，则实数 的值为( )
6.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
7. 已知 是椭圆 的左焦点， 为右顶点， 是椭圆上的一点，
轴，若 ，则该椭圆的离心率是 ( )
ba, bnan ⊥⊥ , n
22x y= −
1. 8A x = 1. 2B x = 1. 4C y = − 1. 4D x = −
O ABC− , ,OA a OB b OC c= = = M OA 2 ,OM MA N=
BC MN
1 2 1. 2 3 2A a b c− + 2 1 1. 3 2 2B a b c− + + 1 1 2. 2 2 3C a b c+ − 2 2 1. 3 3 2D a b c+ −
2 2 2 2
1 2: 4 2 1 0, : 4 4 1 0O x y x y O x y x y+ − + + = + + − − =
.1A .2B .3C .4D
( 2,1,3), ( 1,2,1)a b= − = − ( )a a bλ⊥ − λ
. 2A − 4. 3B − 14. 5C .2D
2 2
2 2 1x y
a b
− = 3
. 2A y x= ± . 2B y x= ± 1. 2C y x= ± 2. 2D y x= ±
F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A P
PF x⊥ 1| | | |4PF AF=
8. 在 棱 长 均 为 1 的 平 行 六 面 体 中 ，
,
则 ( )
9. 若过点(－ 5，0)的直线 l 与曲线 y＝ 1－x2有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为
( )
A．[－
1
2，
1
2] B．[－
1
2，0] C．[0， 6] D．[0，
1
2]
10. 已知双曲线 与直线 有交点，则双曲线离心率的取值
范围是
11. 已知 为圆 的直径，点 为直线 上的任意一点，则
的最小值为( )
12. 以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左、右焦点分别为
， 已 知 点 ， 双 曲 线 上 的 点 满 足
，则 ( )
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．）
13. 若 且 为共线向量，则 的值为
14. 经过点 ，且圆心在直线 上的圆的方程为
1. 4A 3. 4B 1. 2C 3. 2D
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 190 , 60BAD A AB A AD∠ = ° ∠ = ∠ = °
1| |AC =
. 2A . 3B .2C . 5D
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > 2y x=
.(1, 5)A .(1, 5]B .( 5, )C +∞ .[ 5, )D +∞
AB 2 2:( 1) 1O x y− + = P 1 0x y− + =
PA PB⋅
.1A . 2B .2C .2 2D
2 2
19 5
x y+ = C
1 2,F F (2,1)M C 0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> >
1 1 2 1 1
1 2 1| | | |
PF MF F F MF
PF F F
⋅ ⋅=
1 2PMF PMFS S− =
.1A .3B .2C .4D
( ) ( )2,3, , 2 ,6,8a m b n= = ,a b m n+
(5,2), (3, 2)A B − 2 3 0x y− − =15. 过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 两点，则 的
值为
16.已知 是椭圆： 的长轴，若把该长轴 2010 等分，过每个等分点
作 的垂线，依次交椭圆的上半部分于 ，设左焦点为 ，
则
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题 10 分）求与椭圆
x2
9 ＋
y2
4 ＝1 有公共焦点，并且离心率为
5
2 的双曲线方程．
18.（本题 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝
π
2 ，D 是棱 AC 的中点，且 AB＝
BC＝BB1＝2.
（1）求证：AB1∥平面 BC1D；
（2）求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角．
19. （ 本题 12 分）设直线 与圆 相交于 两点.
（1）若 .求 的值；
（2）求弦长 的最小值.
2 4y x= F 4
π
,A B FA FB⋅
AB
2 2
1( 0)4 3
+ = > >x y a b
AB 1 2 2009, , ,P P P 1F
1 1 1 1 2 1 2009 1
1 (| | | | | | | | | |)2010 F A F P F P F P F B+ + + + + =
3 0ax y− + = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = ,A B
| | 2 3AB = a
AB20. （ 本题 12 分）已知抛物线 上一点 到焦点 的距离
.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若抛物线 与直线 y＝kx－2 相交于不同的两点 A、B，且 AB 中点横坐标为 2，求 k 的
值．
21. （本题 12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
为等边三角形， ， ， 为 的中点.
（1）求 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
22. （本题 12 分）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点
与直线 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 ，过 三点的圆的
半径为 2，过点 的直线 与椭圆交于 两点（ 在 之间）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 的斜率 ，在 轴上是否存在 ，使得以 为邻边的平行四
边形为菱形？如果存在，求出 的取值范围，如果不存在，请说明理由.
2: 2 ( 0)E y px p= > 0( ,4)M x F
0
5| | 4MF x=
E
E
ABCDP − ⊥PA ABCD PBBC ⊥ BCD∆
3== BDPA ADAB = E PC
AB
BDE ABP
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1 2,F F A A
2AF x Q 1 2 22 0F F F Q+ =
2, ,A Q F
(0,2)M l ,G H G ,M H
l 0k > x ( ,0)P m ,PG PH
m答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B C D B B D D C A C
13 6
14
15 8
16
17
18 （1）略
（2）
19 （1）0
（2）
20 （1）
（2）
21 （1）
（2）
22 （1）
（2）
10)1()2( 22 =−+− yx
1005
2011
14
2
2
=− yx
3
π
22
xy 42 =
2
51±
1
4
7
134
22
=+ yx
],6
3[ o−
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