重庆一中2019-2020高一上学期期中考试数学（Word版附答案）.docx

试题卷第 1 页 共 4 页 秘密★启用前【考试时间：2019 年 11 月 27 日 8:00—10:00】 2019 年重庆一中高 2022 级高一上期期中考试 数学测试试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 ，则下列区间中， 的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，且 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 国家法律规定，汽车驾驶员血液中酒精含量不能超过 20mg/100ml，否则违法。某驾驶员在一次喝酒后血液中的酒精 含量达到 160mg/100ml，如果该驾驶员血液中的酒精含量每小时减少一半，那么他要能合法驾驶机动车至少需要经 过（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 若函数 是奇函数，则实数 （ ） A. B. C. D. m { }1 3,A x x x N= − < < ∈ { }2 4 0B x x x= − < A B = { }0,1, 2 { }0 3x x< < { }1 4x x− < < { }1 2， 2 ( 0)( ) ( 2) ( 0) x xf x f x x  > a c b> > b c a> > b a c> > { } { }2( , ) 2 , ( , ) 1 0, 0 2A x y y x mx B x y x y x= = + + = − + = ≤ ≤ A B ≠ ∅ m ( , 1]−∞ − ( , 1] [3, )−∞ − +∞ ( 1, )− +∞ [ 1,3]− ( ) ( )y f x x R= ∈ ( 1) ( )f x f x+ = − − 1( ) 2 1f x x = − 2022 ( 1,2, ,2022)ix i =  1 2 2022x x x+ + + = 1010 1011 2020 2022 x 1 2xy = 2 2 2xy −= ,P Q ( , )H m n 2y PQH∆ 2mn + = 12 3 12 5 3 5 ( )f x (2) 2f = (9)f = ( ) 2f x x x= − − 1 1( ) ln1 2 xf x x x += + +− (lg5) (lg 2 1)f f+ − = x y x y x y x y DCBA 0 0 0 0试题卷第 3 页 共 4 页 16. 定义 （ 且 ）. 则下列关于函数 的四个命题： ①函数 的定义域为 ，值域为 ； ②函数 是偶函数且在 上是增函数； ③函数 满足：对任意的 ，都有 （ 为常数且 ）成立； ④函数 有 个不同零点． 其中正确命题的序号是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 已知集合 ，函数 的定义域为集合 . （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 18. （本小题满分 12 分） 计算下列各式的值： （1） ； （2） . 19. （本小题满分 12 分） 设函数 ，其中 为常数. （1）当 时，求 的值域； （2）若对任意 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. { }x m= 1 1 2 2m x m− < +≤ m Z∈ { }( ) 3 x xf x −= ( )y f x= R [ )1,+∞ ( )y f x= 1(0 )2 ， ( )y f x= x R∈ ( ) ( )f x k f x+ = − k k Z∈ 3 2 ( ) logy f x x= − 2 { | 3 2 }A x a x a= − ≤ ≤ 2 2( ) log ( 2)f x x x= − − B 0a = ( )RA C B A B R= a 1 1 02 39 5 64 ( 2 1) ( 3)25 4 27 − −− ⋅ + + + −（ ） π 2log 3 2 1(lg 2) (1 lg 2) lg5 2 − + + × −   2( ) log (1 2 4 )x xf x k= − ⋅ + k 0k = ( )f x x R∈ x ( )f x x≥ k试题卷第 4 页 共 4 页 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 ， . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若对任意的 ，存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ,其中 为常数． （1）若 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围； （2）已知 ，若函数 在 内有且只有一个零点，求实数 的取值范围． 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数． （1）求实数 的值； （2）设函数 ，判断 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义进行证明； （ 3 ） 若 的 图 象 过 点 ， 是 否 存 在 正 数 （ ），使 函 数 ， 的最大值为 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 2( ) 2 ( )f x x mx m R= − + + ∈ 1( ) 2 x g x  =    2m = 1 2 ( ) (log )f x g x> 1 [ 1,1]x ∈ − 2 [ 1,1]x ∈ − 1 2( ) ( )f x g x≥ m 2 4 21( ) 3 ax x f x − + =    a ( )f x (2, )+∞ a 1a ≤ 3 2log ( ) log 8 xy f x= + [ ]1,2x∈ a 2 ( 1)( ) x x a tf x a − −= 0a > 1a ≠ R t ( ) (log 1)ah x f x= − ( )h x ( )f x 3(1, )2 m 1m ≠ 2 2( ) log [ ( )]x x mg x a a mf x−= + − 2[1,log 3]x∈ 0 m试题卷第 5 页 共 4 页 2019 年重庆一中高 2022 级高一上期期中考试 数学测试参考答案 2019.11.27 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1—5. DBCDA, 6—10. BCCDA, 11—12. BC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把最简答案写在答题卡相应位置上。 13. 3； 14. 2； 15. 1.； 16. ②③④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 【解析】（1）当 时， ； 又由 解得 ， ， （2） ， 18. 【解析】（1）原式 （2）原式 19. 【解析】（1）当 时，函数即 ， ， ， ，即函 数 的值域为 （ 2 ） 不 等 式 恒 成 立 恒 成 立 恒 成 立 恒成立. ， ，故实数 的取值范围是 20. 【解析】（1）当 时，不等式 即： ， ，故原不等式的解集为 （2）（法一）对任意的 ，存在 ，不等式 成立 当 ， 时 0a = [ 3,0]A = − 2 2 0x x− − > ( , 1) (2, )B = −∞ − +∞ ∴ [ 1,2]RC B = − ∴ ( ) [ 1,0]RA C B = − ∵ A B R= ∴ 3 1 1 22 2 a aa − − ⇒  ≤ ≤ ≤ ≥ 1 1 2 32 3 13 5 4 1 3 5 41 ( ) ( 2 1) 1 25 4 3 5 4 32 1 − −   − ⋅ + + = − ⋅ + − + =    +   = （ ） （ ） 2log 32(lg 2) lg 2 lg5 lg5 2 lg 2 (lg 2 lg5) lg5 3= + × + − = × + + − lg 2 lg5 3 1 3 2= + − = − = − 0k = 2log (1 4 )xy = + ∵ 4 (0, )x ∈ +∞ ∴ (1 4 ) (1, )x+ ∈ +∞ ∴ (0, )y∈ +∞ ( )f x (0, )+∞ ( )f x x≥ ⇔ 2log (1 2 4 )x xk x− ⋅ + ≥ ⇔ 1 4 ( 1) 2x xk+ + ⋅≥ ⇔ 1 4 1( 1) 22 2 x x x xk ++ = +≤ ∵ 2 (0, )x ∈ +∞ ∴ min 1( 1) 2 22 x xk  + + =  ≤ k ( ,1]−∞ 2m = 1 2 ( ) (log )f x g x> 1 2 log 2 12 2 ( 0)2 x x x x x − + + > = >   ∴ 2 0 0 22 0 x xx x > ⇒ < 1 min( ) ( 1) 1f x f m= − = − ∴ 1 min 2 min( ) ( )f x g x≥ 1 11 2 2m m− ⇒≥ ≤ 10 2m< ≤ m 1 1[ , ]2 2 − 1 [ 1,1]x ∈ − 2 [ 1,1]x ∈ − 1 2( ) ( )f x g x≥ ⇔ [ 1,1]x∈ − 2 min( ) ( )f x g x≥ 2 [ 1,1]x ∈ − 2 2 1( ) 2 x g x  =    ∴ 2 min 1( ) 2g x = ∴ [ 1,1]x∈ − 1( ) 2f x ≥ 2 3 02x mx− − ≤ ∴ 31 0 1 12 3 2 21 02 m m m  + − ⇒ −  − − ≤ ≤ ≤ ≤ m 1 1[ , ]2 2 − ∵ ( )y f x= x R∈ 1 3 u y  =    2 4 2u ax x= − + 1 3 u y  =    0a = 4 2u x= − + R ( )y f x= R 0a ≠ 2 4 2u ax x= − + [2, )+∞ ∴ 0 14 22 a a a > ⇒−− ≥ ≤ a [1, )+∞ 3 2log ( ) log 8 xy f x= + [ ]1,2x∈ ⇔ 3 2log ( ) log 08 xf x + = 2 24 5 logax x x− + = [ ]1,2x∈试题卷第 7 页 共 4 页 令 则条件等价于两个函数 与 的图象在区间 内有唯一的交点. ①当 时， 在 上递减， 在 上递增， 且 ， 与 在 内有唯一的交点； ②当 时， 图象开口向下，对称轴为 ， 在 上递减，而 在 上递增 则 ，故 ； ③当 时， 图象开口向上，对称轴为 ， 在 上递减，而 在 上递增 则 ，故 ； 综上，所求实数 的取值范围是 . 22. 【解析】（1） 是定义域为 的奇函数， ， ，经检验符合题意. （2）由（1）知函数为 ， 在定义域 上单调递增，证明如下：设任意的 ，则： ， ， ， ，即 2 2( ) 4 5, ( ) log (1 2)h x ax x x x xϕ= − + = ≤ ≤ ( )h x ( )xϕ [1,2]x∈ 0a = ( ) 4 5h x x= − + [1,2]x∈ 2( ) logx xϕ = [1,2]x∈ (1) 1 (1) 0, (2) 3 (2) 1h hϕ ϕ= > = = − < = ∴ ( )h x ( )xϕ [1,2]x∈ 0a < 2( ) 4 5h x ax x= − + 2 0x a = < ∴ ( )h x [1,2] 2( ) logx xϕ = [1,2]x∈ (1) (1) 1 0 1 1(2) (2) 4 3 1 h a ah a + ⇒ ⇒ −  −  ϕ ϕ ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 0a− − ∴ ( )h x (1, )+∞ 1 21 x x< < 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 h x h x x x x x − = − − − − − − − 1 2 1 2 1 2 1 1( 1 1) 1 1 x xx x x x − − −= − − − + − ⋅ − 1 2 1 2 1( 1 1)(1 ) 1 1 x x x x = − − − + − ⋅ − ∵ 1 21 x x< < ∴ 1 20 1 1x x< − < − ∴ 1 21 1 0x x− − − < 1 2 11 0 1 1x x + > − ⋅ − ∴ 1 2( ) ( )h x h x− 1 2 1 2 1( 1 1)(1 ) 0 1 1 x x x x = − − − + < − ⋅ − 1 2( ) ( )h x h x 3 8[ , ]2 3t ∈ ∵ 2[1,log 3]x∈ 2( ) 2h t t mt= − + 3 8[ , ]2 3t ∈ 2m t t < + 3 8[ , ]2 3t ∈ ∴ min 2 3 4 17 2 3 6m t t  < + = + =   ∵ 2 2( ) log [ ( )]x x mg x a a mf x−= + − 2[1,log 3] ∴ 0 1m< < 2( ) 2h t t mt= − + 3 8[ , ]2 3t ∈ 1 2 2 mt = < ∴ min 3 17 3( ) ( ) 12 4 2h t h m= = − = 13 (0,1)6m = ∉ 1m > 2( ) 2 0h t t mt= − + > 3 8[ , ]2 3t ∈ max 1 25 251 73 172 2 12 6 8 73 24 16( ) ( ) 13 24 m m m h t h m  <    = = =   ≤ ≤ 73 24m = max 2525 62 12 3 13( ) ( ) 12 6 m m m h t h m  >>  ⇒ ⇒   = = =   m