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章末评估验收(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军；②李凯不一定被抽到；③任取一张不一定为1号签；故①②③均是随机事件．
答案：D
2．下列说法中正确的是( )
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1
B．若事件A与事件B满足条件：P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是对立事件
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件
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答案：D
3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A. B. C. D.
解析：给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝.
答案：B
4．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由几何概型的概率计算公式可知x∈[0，1]的概率P＝＝.
答案：A
5．如下四个游戏盘，现在投镖，投中阴影部分概率最大的是( )
答案：A
6．一个球形容器的半径为3 cm，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL水含有感冒病毒的概率为( )
A. B. C. D.
解析：纯净水的体积为π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)，
任取1 mL水含有感冒病毒的概率P＝.
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答案：C
7．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( )
A．x＝x1*2 B．x＝x1*4
C．x＝x1*2－2 D．x＝x1*4－2
解析：由题意可知x＝x1*(2＋2)－2＝x1*4－2.
答案：D
8．手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指到哪个数字的概率最大( )
A．12 B．6 C．1 D．12个数字概率相等
解析：手表设计的转盘是等分的，即分针指到1，2，3，…，12中每个数字的机会都一样．
答案：D
9．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
解析：任意找两人玩这个游戏，其有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：
①若a＝1，则b＝1，2；②若a＝2，则b＝1，2，3；③若a＝3，则b＝2，3，4；④若a＝4，则b＝3，4，5；⑤若a＝5，则b＝4，5，6；⑥若a＝6，则b＝5，6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
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答案：D
10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
答案：C
11．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2
解析：随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝＝.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1＜p3＜p2.
答案：C
12．国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
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A. B. C. D.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．
13.如图所示的矩形，长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2.
解析：由题意得：＝，S阴＝.
答案：
14．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
答案：
15．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______．
解析：由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝.
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答案：
16．如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
解析：设OA＝OB＝2R，连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，连接CD，OC.
如图所示，由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形的拱形面积，S阴影＝π(2R)2－×(2R)2＝(π－2)R2，S扇＝πR2，故所求的概率是＝1－.
答案：1－
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
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概率
0.02
0.04
0.17
0.36
0.25
0.15
(1)求该班成绩在[80，100]内的概率；
(2)求该班成绩在[60，100]内的概率．
解：记该班的测试成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．
(1)该班成绩在[80，100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.
(2)该班成绩在[60，100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1 ，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1 ，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解：(1)所有可能的摸出结果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正确．理由如下：
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由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．
19．(本小题满分12分)2016年全国政协会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．
(1)共有多少个基本事件？并列举出来．
(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．
解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．
(2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y＜17，其中x＜y”，由(1)可知事件A共含有15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，共15个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x＜y≤5”，包含：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．
故P(A)＋P(B)＝＋＝.
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故所求概率为.
20．(本小题满分12分)(2015·安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有：
50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，
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B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
21．(本小题满分12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的．设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：
(1)约定见车就乘；
(2)约定最多等一班车．
解：设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1≤x≤2，1≤y≤2.试验区域D为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图(a)所示．
(1)如图(b)所示，约定见车就乘的事件所表示的区域如图(b)中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为＝.
(2)如图(c)所示，约定最多等一班车的事件所示的区域如图(c)中的10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为＝.
22．(本小题满分12分)(2015·陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下；
赔付金额/元
0
1 000
2 000
3 000
4 000
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车辆数/辆
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为：
P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
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