2019秋九年级数学下册第三章圆单元综合测试卷（北师大版）.doc

1 第三章 圆单元综合检测题 满分：120 分 时间：90 分钟 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列命题为真命题的是(　　) A．两点确定一个圆 B．度数相等的弧相等 C．垂直于弦的直径平分弦 D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等 2．已知⊙O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6，那么点 P 与⊙O 的位置关系是(　　) A．点 P 在⊙O 外 B．点 P 在⊙O 内 C．点 P 在⊙O 上 D．无法确定 3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC 的度数是(　　) A．70° B．60° C．50° D．30° 　　　　 　4．如图，AB，AC 为⊙O 的切线，B 和 C 是切点，延长 OB 到 D，使 BD＝OB，连接 AD. 如果∠DAC＝78°，那么∠ADO 等于(　　) A．70° B．64° C．62° D．51° 5．秋千拉绳长 3 m，静止时踩板离地面 0.5 m，某小朋友荡秋千时， 秋千在最高处踩板 离地面 2 m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为(　　) A．π m B．2π m C. 4 3π m D. 4 3 m 6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点 O，交坐标轴于点 E，F，OE＝8，OF＝ 6，则圆的直径长为(　　) A．12 B．10 C．14 D．152 (第 6 题) (第 7 题) 7．如图，方格纸上一圆经过(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四点，则该圆圆心 的坐标为(　　) A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1) 8．如图，CA 为⊙O 的切线，切点为 A，点 B 在⊙O 上，若∠CAB＝55°，则∠AOB 等于 (　　) A．55° B．90° C．110° D．120° 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为 3，函数 y＝ x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为 4 2，则 a 的值是(　　) A．4 B．3＋ 2 C．3 2 D．3＋ 3 　　　 (第 8 题) (第 9 题)　 (第 10 题) 10．如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2 的外接圆与正六边 形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切，正六边形 A3B3C3D3E3F3 的外接圆与正六边形 A2B2C2D2E2F2 的各边 相切……按这样的规律进行下去，正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长为(　　) A. 243 29 B. 81 3 29 C. 81 29 D. 81 3 28 二、填空题(每题 3 分，共 24 分) 11．如图，△ABC 内接于⊙O，要使过点 A 的直线 EF 与⊙O 相切于 A 点，则图中的角应 满足的条件是________(只填一个即可)． (第 11 题)　 (第 12 题)　　 (第 13 题) 12．如图，EB，EC 是⊙O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是⊙O 上两点，如果∠E＝3 46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________． 13．如图，DB 切⊙O 于点 A，∠AOM＝66°，则∠DAM＝________． 14 ． 如 图 ， 在 ⊙ O 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 ， AB ＝ CD ， 则 图 中 与 ∠ 1 相 等 的 角 有 __________________． 　　　　 (第 14 题) (第 15 题) (第 16 题) 15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是 52 cm，装入油后，油深 CD 为 16 cm， 那么油面宽度 AB＝________. 16．如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝90°，点 C 为 OA 的中点，CE⊥OA 交于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作交 OB 于点 D.若 OA＝2，则阴影部分的面积为________． 17．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 是⊙O 上一动点，且∠AC B＝30°，点 E，F 分别是 AC，BC 的中点，直线 EF 与⊙O 交于 G，H 两点，若⊙O 的半径是 7，则 GE＋FH 的最大值是 ________． (第 17 题)　　　　 (第 18 题) 18．如图，在⊙O 中，C，D 分别是 OA，OB 的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N 在⊙O 上．下 列结论：①MC＝ND；②＝＝；③四边形 MCDN 是正方形；④MN＝ 1 2AB，其中正确的结论是 ________(填序号)． 三、解答题(19 题 6 分，20～24 题每题 12 分，共 66 分) 19．如图，AB 是半圆 O 的直径，过点 O 作弦 AD 的垂线交半圆 O 于点 E，交 AC 于点 C， 使∠BED＝∠C.试判断直线 AC 与半圆 O 的位置关系，并说明理由． (第 19 题)4 20．在直径为 20 cm 的圆中，有一条弦长为 16 cm，求它所对的 弓形的高． 21．如图，点 P 在 y 轴上，⊙P 交 x 轴于 A，B 两点，连接 BP 并延长交⊙P 于点 C，过 点 C 的直线 y＝2x ＋b 交 x 轴于点 D，且⊙P 的半径为 5，AB＝4. (1)求点 B，P，C 的坐标； (2)求证：CD 是⊙P 的切线． (第 21 题) 22．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度 AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为 20 m. (1)求桥拱的半径． (2)现有一艘宽 60 m，顶部截面为长方形且高出水面 9 m 的轮船要经过这座拱桥，这艘5 轮船能顺利通过吗？请说明理由． (第 22 题) 23．如图，已知在△ABP 中，C 是 BP 边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O 是△ABC 的外接圆， AD 是⊙O 的直径，且交 BP 于点 E. (1)求证：PA 是⊙O 的切线； (2)过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AG·AB＝12，求 AC 的长； (3)在满足(2)的条件下，若 AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O 的半径及 sin∠ACE 的值． (第 23 题)6 24．如图①，AB 是⊙ O 的直径，且 AB＝10，C 是⊙O 上的动点，AC 是弦，直线 EF 和⊙ O 相切于点 C，AD⊥EF，垂足为 D. (1)求证：∠DAC＝∠BAC； (2)若 AD 和⊙O 相切于点 A，求 AD 的长； (3)若把直线 EF 向上平行移动，如图②，EF 交⊙O 于 G，C 两点，题中的其他条件不变， 试问这时与∠DAC 相等的角是否存在，并说明理由． (第 24 题)7 答案 一、1.C　2.A　3.B　4.B　5.B　6.B 7．C　8.C　9.B 10．D　点拨：∵正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 2＝ （ 3）1－1 21－2 ，∴正六边形 A2B2C2D2E2F2 的外接圆的半径为 3，则正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长为 3＝ （ 3）2－1 22－2 ，同理，正六边 形 A3B3C3D3E3F3 的边长为 3 2＝ （ 3）3－1 23－2 ，…，正六边形 AnBnCnDnEnFn 的边长为 （ 3）n－1 2n－2 ，则 当 n＝10 时，正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长为 （ 3）10－1 210－2 ＝ （ 3）8· 3 28 ＝ 34· 3 28 ＝ 81 3 28 ，故选 D. 二、11.∠BAE＝∠C 或∠CAF＝∠B 12．99°　点拨：易知 EB＝EC.又∠E＝46°，所以∠ECB＝67°.从而∠BCD＝180°－ 67°－32°＝81°.在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A＝180°－81°＝99°. 13．147°　点拨：因为 DB 是⊙O 的切线，所以 OA⊥DB.由∠AOM＝66°，得∠OAM＝ 1 2 (180°－66°)＝57°.所以∠DAM＝90°＋57°＝147°. 14．∠6，∠2，∠5　点拨：本题中由弦 AB＝CD 可知＝，因为同弧或等弧所对的圆周角 相等，所以∠1＝∠6＝∠2＝∠5. 15．48 cm 16. 3 2 ＋ π 12　点拨：连接 OE.∵点 C 是 OA 的中点，∴OC＝ 1 2OA＝1.∵OE＝OA＝2，∴OC＝ 1 2OE.∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°.∴∠COE＝60°.在 Rt△OCE 中，CE＝ OE2－OC2＝ 3，∴S △ OCE ＝ 1 2OC·CE ＝ 3 2 . ∵ ∠ AOB ＝ 90° ， ∴ ∠ BOE ＝ ∠ AOB － ∠ COE ＝ 30°. ∴ S 扇 形 BOE ＝ 30π × 22 360 ＝ π 3 .又 S 扇形 COD ＝ 90π × 12 360 ＝ π 4 .因此 S 阴影＝S 扇形 BOE＋S△OCE－S 扇形 COD＝ π 3 ＋ 3 2 － π 4 ＝ π 12＋ 3 2 . 17．10.5 18．①②④　点拨：连接 OM，ON，易证 Rt△OMC≌ Rt△OND，可得 MC＝ND，故①正 确．在 Rt△MOC 中，CO＝ 1 2MO.得∠CMO＝30°，所以∠MOC＝60°.易得∠MOC＝∠NOD＝∠MON ＝60°，所以＝＝，故②正确．易得 CD＝ 1 2AB＝OA＝OM，∵MC＜OM，∴四边形 MCDN 是矩形， 故③错误．易得 MN＝CD＝ 1 2AB，故④正确．8 三、19.解：AC 与半圆 O 相切． 理由如下：∵是∠BED 与∠BAD 所对的弧， ∴∠BAD＝∠BED. ∵OC⊥AD， ∴∠AOC＋∠BAD＝90°. ∴∠BED＋∠AOC＝90°. 即∠C＋∠AOC＝90°. ∴∠OAC＝90°. ∴AB⊥AC，即 AC 与半圆 O 相切． 20．解：∵这条小于直径的弦所对的弧有两条：劣弧与优弧，∴对应的弓形也有两 个． 如图，HG 为⊙O 的直径， 且 HG⊥AB，AB＝16 cm， HG＝20 cm，连接 BO. ∴OB＝OH＝OG＝10 cm，BC＝ 1 2AB＝8 cm. ∴OC＝ OB2－BC2＝ 102－82＝6(cm)． ∴CH＝OH－OC＝10－6＝4(cm)， CG＝OC＋OG＝6＋10＝16(cm)． 故所求弓形的高为 4 cm 或 16 cm. (第 20 题) 21．(1)解：如图，连接 CA. (第 21 题)9 ∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2. ∵OP2＋BO2＝BP2， ∴OP2＝5－4＝1，OP＝1. ∵BC 是⊙P 的直径， ∴∠CAB＝90°. ∵CP＝BP，OB＝OA， ∴AC＝2OP＝2. ∴B(2，0)，P(0，1)，C(－2，2)． (2)证明：∵直线 y＝2x＋b 过 C 点， ∴b＝6.∴y＝2x＋6. ∵当 y＝0 时，x ＝－3， ∴D(－3，0)．∴AD＝1. ∵OB＝AC＝2，AD＝OP＝1， ∠CAD＝∠POB＝90°， ∴△DAC≌△POB. ∴∠DCA＝∠ABC. ∵∠ACB＋∠CBA＝90°， ∴∠DCA＋∠ACB＝90°，即 CD⊥BC. ∴CD 是⊙P 的切线． 22．解：(1)如图，点 E 是桥拱所在圆的圆心． (第 22 题) 过点 E 作 EF⊥AB 于点 F， 延长 EF 交于点 C，连接 AE， 则 CF＝20 m．由垂径定理知， F 是 AB 的中点， ∴AF＝FB＝ 1 2AB＝40 m. 设半径是 r m，由勾股定理， 得 AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2， 即 r2＝402＋(r－20)2.解得 r＝50.10 ∴桥拱的半径为 50 m. (2)这艘轮船能顺利通过．理由如下： 当宽 60 m 的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN 为轮船顶部的位置． 连接 EM，设 EC 与 MN 的交点为 D， 则 DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝ EM2－DM2＝ 502－302＝40(m)． ∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)， ∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)． ∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过． 23．(1)证明：如图，连接 CD，∵AD 是⊙O 的直径．∴∠ACD＝90°. ∴∠CAD＋∠ADC＝90°. 又∵∠PAC＝∠PBA， ∠ADC＝∠PBA，∴∠PAC＝∠ADC. ∴∠CAD＋∠PAC＝90°. ∴PA⊥DA.而 AD 是⊙O 的直径， ∴PA 是⊙O 的切线． (2)解：由(1)知，PA⊥AD， 又∵CF⊥AD， ∴CF∥PA.∴∠GCA＝∠PAC. 又∵∠PAC＝∠PBA， ∴∠GCA＝∠PBA. 而∠CAG＝∠BAC， ∴△CAG∽△BAC. ∴ AG AC＝ AC AB， 即 AC2＝AG·AB. ∵AG·AB＝12， ∴AC2＝12.∴AC＝2 3. (3)解：设 AF＝x，∵AF∶FD＝1∶2， ∴FD＝2x.∴AD＝AF＋FD＝3x. 在 Rt△ACD 中，∵CF⊥AD， ∴AC2＝AF·AD，即 3x2＝12， 解得 x＝2 或 x＝－2(舍去)． ∴AF＝2，AD＝6.∴⊙O 的半径为 3. 在 Rt△AFG 中，AF＝2，GF＝1， 根据勾股定理得 AG＝ AF2＋GF2＝ 22＋12＝ 5，由(2)知 AG·AB＝12，11 ∴AB＝ 12 AG＝ 12 5 5 .连接 BD，如图． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°. 在 Rt△ABD 中，∵sin∠ADB＝ AB AD， AD＝6，AB＝ 12 5 5 ，∴sin∠ADB＝ 2 5 5 . ∵∠ACE＝∠ADB，∴sin∠ACE＝ 2 5 5 . 　(第 23 题) 24．(1)证明：如图①，连接 OC. ∵直线 EF 和⊙O 相切于点 C ， ∴OC⊥EF.∵AD⊥EF， ∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠BAC. (2)解：∵AD 和⊙O 相切于点 A， ∴OA⊥AD. ∵AD⊥EF，OC⊥EF， ∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°. ∴四边形 OADC 是矩形． ∵OA＝OC， ∴矩形 OADC 是正方形． ∴AD＝OA. ∵AB＝2OA＝10 ， ∴AD＝OA＝5. (第 24 题)12 (3)解：存在，∠BAG＝∠DAC.理由如下：如图②，连接 BC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90°. ∴∠ACD＋∠BCG＝90°. ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°. ∴∠DAC＝∠BCG. ∵∠BCG＝∠BAG， ∴∠BAG＝∠DAC.