广深珠三校2020届高三上学期第一次联考试题数学（文）（Word版带答案）.docx

广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 1 页 / 共 4 页 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试卷 时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分． 1．集合 ，集合 ，则 = A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递增的是 A． B． C． D． 3．1748 年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 ， 这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知， 表示的复数所对 应的点在复平面中位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．过点 的直线 被圆 所截得的弦长最短时，直线 的斜率为 A．1 B． C． D． 5．下列说法中，错误的是 A．若命题 ， ，则命题 B．“ ”是“ ”的必要不充分条件 C．“若 ，则 ， 中至少有一个不小于 2”的逆否命题是真命题 D．函数 的图象关于 对称 6．已知各项均为正数的等差数列 的公差为 2，等比数列 的公比为 ，则 A． B． C． D． 7．函数 的图象大致是 { | ( 1)( 2) 0}A x x x= − + < { | lg 0}B x x= ≤ A B ( )2 1,− ( ]0 1, ( )0 1, ( ]2 1,− 0, 2 π     2 sinxy x= − 12 2 x xy  = −   siny x x= − cosy x x= − cos sinixe x i x= + 2ie (0,1) l 2 2( 1) 4x y− + = l 1− 2 2− :p x R∀ ∈ 2 0x  2 0 0: , 0p x R x¬ ∃ ∈ < 1sin 2x = 5 6x π= 4a b+  a b 2sin(2 )3y x π= + 3x π= { }na { }nb 2− 1 4n na ab b − − = 1 4n na ab b − − = − 1 4n n a a b b − = 1 4n n a a b b − = − 2( ) ( ) xf x x x e= − +广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 2 页 / 共 4 页 A． B． C． D． 8．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的值为 A. 768 B. 384 C. 192 D. 96 9．等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， ，则 A. . B． C． D． 10．过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若 ，则△AOB 的 面积为 A. B. C. D． 11．函数 ，正确的命题是 A．值域为푅 B．在 (1， + ∞)是增函数 C．푓(푥)有两个不同的零点 D．过点(1,0)的切线有两条 12．如图，在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，且 , ， ．设 是底面 内一点，定义 ， ， ，其中 、 、 分别是三棱锥 、三棱锥 、三棱锥 的体积．若 ， ， ，且 恒成立，则正实数 的最小值 为 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知函数 ，则 __________ 14．已知双曲线 ： 的左右焦点分别是 ，过 的直线 与 的左右两支分别交于 两 点，且 ，则 =_____________ { }na n nS 1 1a = 1 2n na S+ = + 9a { }na n nS 0d > 8 5 9 5( )( ) 0S S S S− − < 7 0a = 7 8a a= 7 8a a> 7 8a a< 2 4y x= 3AF = 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) lnf x x x= P ABC− PA PB PC 3PA = 2PB = 1PC = M ABC ( ) (f M m= n )p m n p M PAB− M PBC− M PCA− 1( ) (2f M = x )y 1 8a x y +  a 1 2 3 5,( 1) ( ) 1,( 1) x x f x log x x + 0 2 πα< < 1C 2C A B α OB OA ( ) | 1| | |f x x x a= − + − 2x =广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 5 页 / 共 4 页 （1）求 的值； （2）若 的解集非空，求实数 的取值范围． 广东省三校协作体 2020 届高三联考 文科数学参考答案 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B A D C A B D C B A 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13． 14．4 15． 16． 三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分） 17． 【解答】（本题满分为 12 分） 解：（1） ， 分 由正弦定理 ，可得： ，整理可得 ， ， ， 为等腰三角形，得证 分 （2）设 ，则 ， 由余弦定理可得： ， ， 分 ， ，解得： ， ． 分 a 2( )f x x m+ m 5 2 − 3 5 ( ],e−∞ ( )sin 2 sin( ) 2 sina b A b A C b B+ = + = 1… ∴ sin sin a b A B = 2( ) 2a a b b+ = ( 2 )( ) 0a b a b+ − = 2 0a b+ > a b∴ = ABC∆ 6… BD x= 2AD x= 24 17 25cos 2 2 17 xCDA x + −∠ = × × 2 17 25cos 2 17 xCDB x + −∠ = × × 10… CDA CDBπ∠ = − ∠ ∴ 2 24 17 25 17 25 2 2 17 2 17 x x x x + − + −= − × × × × 2x = 6AB∴ = 12…广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 6 页 / 共 4 页 18【解答】（本题满分为 12 分） .（1） ， 所以，这 50 名学生本周使用手机的平均时间长为 9 小时．　…3 分 （2）时间长为 的有 7 人，记为 、 、 、 、 、 、 ，其中女生记为 、 、 、 ，从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 21 个．…5 分 设事件 表示恰有一位女生符合要求的事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 12 个．…6 分 所以恰有一个女生的概率为 ．…7 分 （3） 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 15 5 20 男生 20 10 30 总计 35 15 50 …9 分 ，…11 分 不能在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．…12 分 1 (2.5 7 7.5 28 12.5 9 17.5 5 22.5 1) 950 × + × + × + × + × = [0,5) A B C D E F G A B C D { },A B { },A C { },A D { },A E { },A F { },A G { },B C { },B D { },B E { },B F { },B G { },C D { },C E { },C F { },C G { },D E { },D F { },D G { },E F { },E G { },F G M { },A E { },A F { },A G { },B E { },B F { },B G { },C E { },C F { },C G { },D E { },D F { },D G 2 4( ) 21 7P M 1= = 2 2 50(15 10 5 20) 0.397 2.07215 35 20 30K × − ×= ≈ > 2 2 1 2 5( 3 , )( 3 , ) 3 4PF PF x y x y x y⋅ = − − − − − = + − = −  2 2 14 x y+ = 2 2 2 2 7 4 14 x y x y  + =  + = 2 2 11 3 3 4 2 xx y y = = ⇒ = =   3(1, )2P 0x = l 2y kx= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2 2 2 21 4( 2) 4 (1 4 ) 16 12 04 2 x y x kx k x kx y kx  + = ⇒ + + = ⇒ + + + =  = + 1 2 2 12 1 4x x k = + 1 2 2 16 1 4 kx x k + = − + 2 2(16 ) 4 (1 4 ) 12 0k k∆ = − ⋅ + ⋅ > 2 216 3(1 4 ) 0k k− + > 24 3 0k − > 2 3 4k > AOB∠ cos 0 0AOB OA OB⇔ ∠ > ⇔ ⋅ >  1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + >  2 1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4y y kx kx k x x k x x= + + = + + + 1 2 1 2x x y y+ 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x= + + + + 2 2 2 12 16(1 ) 2 ( ) 41 4 1 4 kk kk k = + ⋅ + ⋅ − ++ + 2 2 2 12(1 ) 2 16 41 4 1 4 k k k k k + ⋅= − ++ + 2 2 4(4 ) 01 4 k k −= >+ 21 44 k− < ∴ ( )f x (0,1) (1, )+∞ ……………… 1a = − 1( ) ( ) ( 1)x xf x bx b e x b x e lnxx + − − − = − − ( 1) 0xb x e lnx− −  [1 )+∞ 0b 1x ( 1) 0xb x e lnx− −  ……………… 0b > ( ) ( 1) xh x b x e lnx= − − 1( ) xh x bxe x ′ = − ……………… ( )h x′ [1 )+∞ 1b e 1x ( )h x h′ ′ 1 0be= −  [1x∴ ∈ )+∞ ( )h x h 0= ……………… 10 b e < < h′ 1be= − < 11( ) 1 0bh e b eb ′ = − > − > ∴ 0 1x > ( ) 0h x′ = ……………… 0(1, )x x∈ ( ) 0h x′ < 0(x x∈ )+∞ ( ) 0h x′ > ( )h x∴ 0(1, )x 0(x )+∞ ……………… ∴ 0(1, )x x∈ ( )h x h< 0= ……………… b 1[ , )e +∞ ………………广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 10 页 / 共 4 页 22. [参数方程]（本题满分为 10 分） 解：（Ⅰ）因为 ， ， ， 的极坐标方程为 ，…2 分 的普通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 .…4 分 （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 （ ， ） 设 ， ，则 ， ，…5 分 所以 ，…8 分 又 ， ， 所以当 ，即 时， 取得最大值 .…10 分 23.[不等式选讲] （本题满分为 10 分） 解：（Ⅰ）由函数 的图象关于直线 对称，则 恒成立， 令 得 （4），即 ， 等价于 ，或 ，或 ； 解得 ， 此时 ， 满足 ，即 ；…5 分 （Ⅱ）不等式 的解集非空，等价于存在 使得 成立， 即 ，设 ， cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x y ρ+ = 1C 3 cos sin 4 0ρ θ ρ θ+ − = 2C ( )22 1 1x y+ − = 2 2 2 0x y y+ − = 2sinρ θ= 3C θ α= 0ρ > 0 2 πα< < ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α 1 4 3 cos sin ρ α α = + 2 2sinρ α= 2 1 OB OA ρ ρ= = ( )1 2sin 3 cos sin4 α α α× + ( )1 3sin 2 cos2 14 α α= − + 1 2sin 2 14 6 πα  = − +     0 2 πα< < 526 6 6 π π πα− < − < 2 6 2 π πα − = 3 πα = OB OA 3 4 ( ) | 1| | |f x x x a= − + − 2x = ( ) (4 )f x f x= − 0x = (0)f f= | | 2 | 4 |a a= + − 0 2 4 a a a  − = + −  0 4 2 4 a a a <