2019年人教版九年级下《第26章反比例函数》单元测试卷含答案解析.doc

‎2019年春新人教版九年级数学下《第26章 反比例函数》单元测试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎1．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（　　）‎ A．图象必经过点（﹣3，2） ‎ B．图象位于第二、四象限 ‎ C．若x＜﹣2，则0＜y＜3 ‎ D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小 ‎2．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（　　）‎ A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y‎1 ‎C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3‎ ‎3．反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系（　　）‎ A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y‎3 ‎C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3‎ ‎4．如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　　）‎ A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎5．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y＝﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　）‎ A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y‎2 ‎C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1‎ ‎7．在下图中，反比例函数的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y‎1 ‎C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2‎ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎9．写一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限：　 　．‎ ‎10．若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为　 　．‎ ‎11．双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．‎ ‎12．如图，点A（m，2），B（n，2）分别是反比例函数y＝﹣，y＝在x轴上方的图象上的点，点P是x轴上的动点，则PA+PB的最小值为　 　．‎ ‎13．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（4，2），BO＝4，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为　 　．‎ ‎14．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　 　．‎ ‎15．反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），则k的值为　 　．‎ ‎16．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　．‎ 三．解答题（共3小题）‎ ‎17．已知变量y与x成反比例函数关系，并且当x＝2时，y＝﹣3．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求当y＝2时，x的值．‎ ‎18．如图，过点P（2，）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作PM⊥AN交双曲线于点M，连接AM，若PN＝4．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）设直线MN解析式为y＝ax+b，求不等式的解集．‎ ‎19．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．‎ ‎（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．‎ ‎（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．‎ ‎（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．‎ ‎2019年春新人教版九年级数学下册《第26章 反比例函数》单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎1．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（　　）‎ A．图象必经过点（﹣3，2） ‎ B．图象位于第二、四象限 ‎ C．若x＜﹣2，则0＜y＜3 ‎ D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小 ‎【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可．‎ ‎【解答】解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；‎ B、图象位于第二、四象限，故B正确；‎ C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；‎ D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键．‎ ‎2．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（　　）‎ A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y‎1 ‎C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3‎ ‎【分析】首先确定反比例函数的系数与0的大小关系，然后根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．‎ ‎【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，‎ ‎∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∵x1＜0＜x2＜x3，‎ ‎∴y2＜y3＜y1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的函数值的大小，同学们要灵活掌握．‎ ‎3．反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系（　　）‎ A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y‎3 ‎C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3‎ ‎【分析】由反比例函数图象可知，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大，由此进行判断．‎ ‎【解答】解：由反比例函数的增减性可知，当x＞0时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x1＞x2＞0时，则0＞y1＞y2，‎ 又C（x3，y3）在第二象限，y3＞0，‎ ‎∴y2＜y1＜y3，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是根据反比例函数的增减性解题．‎ ‎4．如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　　）‎ A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎【分析】直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，‎ ‎∴M，N两点关于原点对称，‎ ‎∵点M的坐标是（1，2），‎ ‎∴点N的坐标是（﹣1，﹣2）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．‎ ‎5．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y＝﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（，﹣2），‎ ‎∴k＝×（﹣2）＝﹣1，‎ ‎∴反比例函数解析式为：y＝﹣，‎ ‎∴图象过第二、四象限，‎ ‎∵k＝﹣1，‎ ‎∴一次函数y＝x﹣1，‎ ‎∴图象经过第一、三、四象限，‎ 联立两函数解析式可得：﹣＝x﹣1，‎ 则x2﹣x+1＝0，‎ ‎∵△＝1﹣4＜0，‎ ‎∴两函数图象无交点，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数与反比例函数图象的性质，关键是根据k的值正确确定函数图象所在象限．‎ ‎6．已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　）‎ A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y‎2 ‎C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1‎ ‎【分析】反比例函数y＝（k≠0，k为常数）中，当k＞0时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小判定则可．‎ ‎【解答】解：∵k＝2＞0，‎ ‎∴函数为减函数，‎ 又∵x1＞0＞x2，‎ ‎∴A，B两点不在同一象限内，‎ ‎∴y2＜0＜y1；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．‎ ‎7．在下图中，反比例函数的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】由于y＝，比例系数2＞0，根据反比例函数的性质，可得图象在第一和第三象限．‎ ‎【解答】解：∵k＝2，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；‎ ‎∴在每个象限内，y随x的增大而减小．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①k＜0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；②k＞0，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．‎ ‎8．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y‎1 ‎C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2‎ ‎【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．‎ ‎【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，‎ ‎∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∴y3＜y1＜y2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．‎ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎9．写一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限：　　．‎ ‎【分析】反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）‎ ‎【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，‎ ‎∴k＞0，‎ 只要是大于0的所有实数都可以．例如：2．‎ 故答案为：y＝等．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．‎ ‎10．若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为　6　．‎ ‎【分析】设反比例函数解析式为y＝，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3×（﹣4）＝﹣‎2m，然后解关于m的方程即可．‎ ‎【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，‎ 根据题意得k＝3×（﹣4）＝﹣‎2m，‎ 解得m＝6．‎ 故答案为6．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．‎ ‎11．双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m＜1　．‎ ‎【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，‎ ‎∴m﹣1＜0，‎ 解得：m＜1．‎ 故答案为：m＜1．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出反比例系数k的取值范围是关键．‎ ‎12．如图，点A（m，2），B（n，2）分别是反比例函数y＝﹣，y＝在x轴上方的图象上的点，点P是x轴上的动点，则PA+PB的最小值为　5　．‎ ‎【分析】作A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于P，则P即为使PA+PB有最小值的点，根据轴对称的性质求得C的坐标，然后求得BC即可．‎ ‎【解答】解：∵点A（m，2），B（n，2）分别是反比例函数y＝﹣，y＝在x轴上方的图象上的点，‎ ‎∴2＝﹣，解得m＝﹣2，‎ ‎2＝，解得n＝1，‎ ‎∴A（﹣2，2），B（1，2），‎ 作A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于P，则P即为使PA+PB有最小值的点，此时PA+PB＝BC；‎ ‎∴C（﹣2，﹣2），‎ ‎∴BC＝＝5；‎ ‎∴PA+PB的最小值为5；‎ 故答案为5．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．‎ ‎13．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（4，2），BO＝4，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为　﹣32　．‎ ‎【分析】根据∠AOB＝90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．‎ ‎【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA＝∠BDO＝90°，‎ ‎∴∠DBO+∠BOD＝90°，‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠AOC+∠BOD＝90°，‎ ‎∴∠DBO＝∠AOC，‎ ‎∴△DBO∽△COA，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵点A的坐标为（4，2），‎ ‎∴AC＝2，OC＝4，‎ ‎∴AO＝＝2，‎ ‎∴＝＝‎ 即BD＝8，DO＝4，‎ ‎∴B（﹣4，8），‎ ‎∵反比例函数y＝的图象经过点B，‎ ‎∴k的值为﹣4×8＝﹣32．‎ 故答案为﹣32‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形，注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横、纵坐标的积是定值k，即xy＝k，这是解决问题的关键．‎ ‎14．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　t＝　．‎ ‎【分析】根据蓄水量＝每小时排水量×排水时间，即可算出该蓄水池的蓄水总量，再由防水时间＝蓄水总量÷每小时的排水量即可得出时间t（小时）与Q之间的函数表达式．‎ ‎【解答】解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，‎ ‎∴该水池的蓄水量为8×6＝48（立方米），‎ ‎∵Qt＝48，‎ ‎∴t＝．‎ 故答案为：t＝．‎ ‎【点评】本题考查了根据实际问题列出反比例函数关系式，解题的关键是根据数量关系列出t关于Q的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．‎ ‎15．反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），则k的值为　﹣6　．‎ ‎【分析】把（﹣3，2）代入函数解析式即可求k的值．‎ ‎【解答】解：由题意知，k＝﹣3×2＝﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．‎ ‎16．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　9　．‎ ‎【分析】要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），可得点D的坐标为（﹣3，2），代入双曲线可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．‎ ‎【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），‎ ‎∴点D的坐标为（﹣3，2），‎ 把（﹣3，2）代入双曲线，‎ 可得k＝﹣6，‎ 即双曲线解析式为y＝﹣，‎ ‎∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），‎ ‎∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y＝﹣，‎ y＝1，‎ 即点C坐标为（﹣6，1），‎ ‎∴AC＝3，‎ 又∵OB＝6，‎ ‎∴S△AOC＝×AC×OB＝9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．‎ 三．解答题（共3小题）‎ ‎17．已知变量y与x成反比例函数关系，并且当x＝2时，y＝﹣3．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求当y＝2时，x的值．‎ ‎【分析】（1）设出反比例函数解析式，把（2，﹣3）代入即可；‎ ‎（2）把函数值代入所求的解析式即可．‎ ‎【解答】解：（1）y与x成反比例，设y＝，‎ 把x＝2，y＝﹣3代入，有一3＝，‎ 解得：k＝﹣6．‎ ‎∴函数关系式为y＝﹣．‎ ‎（2）当y＝2时，2＝﹣，∴x＝﹣3．‎ ‎【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，只需把在解析式上的点的坐标代入即可．‎ ‎18．如图，过点P（2，）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作PM⊥AN交双曲线于点M，连接AM，若PN＝4．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）设直线MN解析式为y＝ax+b，求不等式的解集．‎ ‎【分析】（1）首先根据点P（2，）的坐标求出N点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出；‎ ‎（2）利用图形两函数谁在上上面谁大，交点坐标即是函数大小的分界点，可以直接判断出函数的大小关系．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，则AN＝4+2＝6，‎ ‎∴N（6，2），‎ 把N（6，2）代入y＝得：‎ xy＝12，‎ ‎∴k＝12；‎ ‎（2）∵M点横坐标为2，‎ ‎∴M点纵坐标为：＝6，‎ ‎∴M（2，6），‎ ‎∴由图象知，≥ax+b的解集为：‎ ‎0＜x≤2或x≥6．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求解析式和利用图形判断函数的大小关系，数形结合解决比较函数的大小关系是初中阶段的难点问题，同学们重点学习．‎ ‎19．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，‎ ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．‎ ‎（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．‎ ‎（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．‎ ‎（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由角平分线求出∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，再证出∠OAP＝∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2＝OA•OB，即可得出结论；‎ ‎（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP＝∠OPB，即可得出∠APB＝180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB＝OB•AH，即可得出S△AOB＝2sinα；‎ ‎（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：‎ ‎①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：＝，得出OB＝3b，OA＝，求出OA•OB＝，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；‎ ‎②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB＝CA，由AAS证明△ACH≌△ABO ‎，得出OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，得出OA•OB＝，求出OP，即可得出点P的坐标．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，‎ ‎∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，‎ ‎∴∠OAP+∠APO＝135°，‎ ‎∵∠APB＝135°，‎ ‎∴∠APO+∠OPB＝135°，‎ ‎∴∠OAP＝∠OPB，‎ ‎∴△AOP∽△POB，‎ ‎∴，‎ ‎∴OP2＝OA•OB，‎ ‎∴∠APB是∠MON的智慧角；‎ ‎（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，‎ ‎∴OA•OB＝OP2，‎ ‎∴，‎ ‎∵P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴∠AOP＝∠BOP＝α，‎ ‎∴△AOP∽△POB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OPB，‎ ‎∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°﹣α，‎ 即∠APB＝180°﹣α；‎ 过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：‎ 则S△AOB＝OB•AH＝OB•OAsinα＝OP2•sinα，‎ ‎∵OP＝2，‎ ‎∴S△AOB＝2sinα；‎ ‎（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：‎ ‎①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：‎ BC＝2CA不可能；‎ 当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：‎ ‎∵BC＝2CA，‎ ‎∴，‎ ‎∵CH∥OB，‎ ‎∴△ACH∽△ABO，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OB＝3b，OA＝，‎ ‎∴OA•OB＝•3b＝＝，‎ ‎∵∠APB是∠AOB的智慧角，‎ ‎∴OP＝＝＝，‎ ‎∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，‎ ‎∴点P的坐标为：（，）；‎ ‎②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：‎ ‎∵BC＝2CA，‎ ‎∴AB＝CA，‎ 在△ACH和△ABO中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACH≌△ABO（AAS），‎ ‎∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，‎ ‎∴OA•OB＝a•b＝，‎ ‎∵∠APB是∠AOB的智慧角，‎ ‎∴OP＝＝＝，‎ ‎∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，‎ ‎∴点P的坐标为：（，﹣）；‎ 综上所述：点P的坐标为：（，），或（，﹣）．‎ ‎【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．‎