吉林市普通中学 2019－2020 学年度高中毕业班第－次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡和试
题卷一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准
考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用 28 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选
择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求。
1.设 A＝{x|－20 时，f(x)＝x(1－x)；则当 x0 且 a≠1)在 R 上为减函数，则函数 y＝loga(|x|－1)的图象可以是
10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2n＝3(a1＋a3＋a5＋······＋a2n－1)(n∈N*)，a1a2a3
＝8，则 S8＝
A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540
11.已知向量 OA、OB 满足 OA•OB＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝300，设 OC＝mOA＋
nOB(m，n∈R)若 ，则
A. B.4 C. D.
12.设函数 f(x)的定义域为 D，若满足条件：存在[m，n] D，使 f(x)在[m，n]上的值域为[km，
kn](k∈R 且 k>0)，则称 f(x)为“k 倍函数”，若函数 f(x)＝ax(a>l)为“3 倍函数”，则实数 a 的取值
范围是
A.(1，ee) B.(1，e3) C.(ee，e) D.(e，e3)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。
13.已知函数 ，则 。
14.己知向量 ， 的夹角为 60°，| |＝1，| |＝2，则|2 －b|＝ 。
3
π
12
π
12x
π=
4x
π= 5
24x
π=
24x
π=
a b a b a b
1
2
OA
OB
= n
=
3
6 2 3 1
4
⊆
1
ln , 0( )
2 , 0x
x xf x
x+
>= ≤
1( ( ))f f e
=
a b a b a15.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu
ǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小署、大
暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影
子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为 16.5 尺，这
十二节气的所有日影子长之和为 84 尺，则夏至的日影子长为 尺。
16.己知函数 f(x)＝sin(πx＋φ)－2cos(πx＋φ)，若 f(l＋x)＝f(1－x)，则 sin2φ＝ 。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)AB 是底部 B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物 AB 的高度，
先把高度为 1 米的测角仪放置在 CD 位置，测得仰角为 45°，再把测角仪放置在 EF 位置，测
得仰角为 75°，已知 DF＝2 米，D，F，B 在同一水平线上，求建筑物 AB 的高度。
18.己知数列{an}为等差数列，公差 d≠0，前 n 项和为 Sn，a3＝6，且 a2，a4，a8 成等比数列。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝ ，记数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：Tn0 时，f(x) 2b =
1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S ab C= = × × × =
2( 1) + *2nx n n N
ππ= − ∈，
-----------------------------------------------------------------------6 分
（2） ------------------------------------------------------------8 分
当 时，
-------------10 分
当 时，
------12 分
21．（12 分）
解：（1） ----------------------3 分
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；---------------------------------------5 分
所以 的递增区间是 、 ；递减区间是 -----------------6 分
（2）由（1）知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
所以 -----------------------------------8 分
又因为 ----------------------------------------------------------10 分
所以 的最大值是 ，最小值是 --------------------------------------------12 分
22．（12 分）
解：（1）当 时， ， ------------------------2 分
所以 ，因为
所以切线方程为 ， 整理得： -----------------------4 分
（2） ，因为 ，所以 （ ）恒成立
设 ，则 ---------6 分
(2 ) (4 ) [2( 1) ]2 2 2 2nS n
π π π ππ π π= + + + + + + − +
2 [1 2 3 ( 1)] 2
nn
ππ= + + + + − +
( 1) 2
nn n
ππ= − +
( 1)4 4
n
n
Sa nn
π ππ= − = − +
2 1, *n k k N= − ∈
2sin sin[(2 2) ] sin[2( 1) ] sin4 4 4 2na k k
π π ππ π= − + = − + = =
2 , *n k k N= ∈
3 2sin sin[(2 1) ] sin(2 ) sin( )4 4 4 2na k k
π π ππ π π= − + = − + = − = −
2 2( ) 3 6 9 3( 2 3) 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + −
( , 3)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x
( 3,1)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
(1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)−
( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]−
( ) ( 3) 28, ( ) (1) 4f x f f x f= − = = = −极大 极小
( 4) 21, (4) 77f f− = =
( )f x 77 4−
0m = ( ) xf x xe= − ( ) ( 1)x x xf x e xe x e′ = − − = − +
(1) 2k f e′= = − (1)f e= −
2 ( 1)y e e x+ = − − 2 0ex y e+ − =
( ) 3xm x e x− < + 0xe > 3
x
xm xe
+< + 0x >
3( ) x
xh x x e
+= +
2
( 3) 2 ( 2)( ) 1 1
x x x
x x x
e x e x e xh x e e e
− + − − − +′ = + = + =设 则
所以 在 上单调递增，又
所以存在 使得 ， 时， ； 时，
所以 在 上单调递减， 上单调递增
所以 ----------------------------------------------------------8 分
又
所以 ----------------------10 分
当 时， ，所以 在 上单调递增
所以 ，即
因为 ，所以 ，所以 的最大值为 2 -------------------------------------12 分
( ) ( 2),xs x e x= − + ( ) 1xs x e′ = − 0>
( )s x (0, )+∞
3
3 223 7(1) 3 0, ( ) 3.5 02 2s e s e e= − < = − = − >
0
3(1, )2x ∈ 0( ) 0s x = 0(1, )x x∈ ( ) 0s x < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0s x >
( )h x 0(1, )x 0( , )x +∞
0
0
min 0 0
3( ) ( ) x
xh x h x x e
+= = +
0 0
0 0 0( ) 0, 2 0, 2x xs x e x e x= − − = = +
0
0 0
min 0 0 0 0
0 0
3 3 1( ) ( ) 12 2x
x xh x h x x x xx xe
+ += = + = + = + ++ +
0
3(1, )2x ∈ 0( )h x′
2
0
11 0( 2)x
= − >+ 0( )h x 3(1, )2
0
3(1) ( ) ( )2h h x h< < 0
7 39( )3 14h x< <
m Z∈ 2m ≤ m
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