辽师大附中高三理科数学 第 1 页 共 8 页
辽宁师大附中 2019----2020 学年上学期第一次模块考试
高三理科数学试题
考试时间：90 分钟 满分：120 分
第 Ⅰ 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题：（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在 中， 所对应的边分别为 ,若
，则∠B等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 的
值为（）
A． 或 B． C． D． 或
3．已知数列 为等差数列， 为其前 项和， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公
差为 的等差数列，要得到函数 的图象，只需将 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位辽师大附中高三理科数学 第 2 页 共 8 页
5．已知等差数列 满足 ，则 前 12 项之和为
（ ）
A． B．80 C．144 D．304
6．如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且
，连接 交于 点，若 ，则点 在 上
的位置为（ ）
A. 中点 B. 上靠近点 的三等分点
C. 上靠近点 的四等分点 D. 上靠近点 的五等分点
7．在 中，퐴퐵 ∙ 퐵퐶
5 = 퐵퐶 ∙ 퐶퐴
4 = 퐶퐴 ∙ 퐴퐵
3
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 在 上的值域为 ，则
实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
9．在 中， ，向量 在 上的正射影的数量为-2，S∆ABC=3，
则 ( )
A． B． C． D．
ABCD ,M N ,AB AD
4
5AM AB= ,AC MN P 4
11AP AC= N AD
AD AD D
AD D AD D
ABC∆ sin :sin :sinA B C =
9:7 :8 9 : 7 : 8 6:8:7 6 : 8 : 7辽师大附中高三理科数学 第 3 页 共 8 页
10.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，
苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿
之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人
要求赔偿 5 斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我
马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问
题中，1 斗为 10 升，则马主人应偿还( )升粟？
A． B． C． D．
11.已知在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 满足 ，设数列
满足： ，数列 的前 项和为 ，若
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 Ⅱ 卷非选择题（共 64 分）
二、填空题：（本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．若 ，则 ________.
14. 函数 在[0,2π]的单调递增区间是__________.
{ }na 2 *
1 2 3
1 1 1 ( )2 3 na a a a n n n Nn
+ + + + = + ∈
{ }nb
1
2 1
n
n n
nb a a +
+= { }nb n nT *( )1n n NT n
n λ< ∈+
λ
1[ , )4
+∞ 1( , )4
+∞ 3[ , )8
+∞ 3( , )8
+∞辽师大附中高三理科数学 第 4 页 共 8 页
15.已知数列 的前 项和为 ，且 ，若
对一切 恒成立，则实数 的取值范围是
__________．
16. 已知点 为线段 上一点， 为直线 外一点， 是 的角
平分线， 为 上一点，满足 ，
， ，则 的值为__________.
三、解答题：（本大题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.(本小题满分 10 分)
已知 的最小正周
期为푇 = 휋．
(1)求 的值；
(2)在 中，角 ， ， 所对的边分别是为 ， ， ，若
，求角 的大小以及 的取值范围．
{ }na n nS 12 3 3n
nS += −
( ) ( )2 1 36 3na nλ − > − *n N∈ λ
C AB P AB PC APB∠
I PC BI BA = +
| | | |
AC AP
AC AP
λ +
( 0)λ >
4PA PB− = 10PA PB− = BI BA
BA
⋅
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18.(本小题满分 10 分)
设公差大于 0 的等差数列{푎푛}的前푛项和为푆푛.已知푆3 = 15，且푎1,푎4,푎13成等比
数列，记数列{ 1
푎푛푎푛+1}的前푛项和为푇푛.
（1）求푇푛；
（2）若对于任意的푛 ∈ N∗， 恒成立，求实数푡的取值范围.
19.(本小题满分 10 分)
的内角 ， ， 的对边分别为 ， , 已知 ，
.
（1）求 ；
（2）若 的面积 ，求 .
20.(本小题满分 10 分)
已知正项数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，且푎1 = 1，푆푛+1 + 푆푛 = (푎푛+1)2，数列{푏푛}满
足푏푛 ⋅ 푏푛+1 = 2푎푛，且푏1 = 2
（I）求数列{푎푛}，{푏푛}的通项公式；
（II）设푐푛 = 푙표푔2푏2푛+1
푏2푛+2
，푛 ∈ 푁∗，求数列{푐푛}的前푛项和푇푛．
13+< nn atT辽师大附中高三理科数学 第 6 页 共 8 页
答案：
一、选择题
CDCAD BBACB AD
二、填空题
13．2
3 14.[0, 휋
12],[7휋
12，13휋
12 ]，[19휋
12 ，2휋] 15. ，16.3
三、解答题
17.(1)∵
，由函数 的最小正
周期为 ，即 ，得 ，∴ ，∴
．
（2）∵ ，∴由正弦定理可得
，∴
．∵ ，∴ ．∵ ， ．∵
，∴ ，∴ ，∴
，∴ ．
18. （Ⅰ）设{an}的公差为 d(d>0)，
13 ,18
+∞ 辽师大附中高三理科数学 第 7 页 共 8 页
由 S3=15 有 3a1+ =15，化简得 a1+d=5，①
又∵a1，a4，a13 成等比数列，
∴a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简 3d=2a1，②
联立①②解得 a1=3，d=2，
∴an=3+2(n-1)=2n+1． ∴ ，
∴ ．
(Ⅱ)n=3,t
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