高三年文科数学第二次月考试卷 第 1 页（共 6 页）
龙海二中 2019—2020 学年第一学期第二次月考
高三年文科数学试卷
（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
一、选择题（每题 4 分，共 60 分）
1、若全集 集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
2、小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时
间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是
（A） （B）
（C） （D）
3、已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
（A）若 ， ，则 （B）若 ， ，则
（C）若 ， ，则 （D）若 ， ，则
4、在空间直角坐标系 中，点 关于
平面的对称点是
（A） （B）
（C） （D）
5、阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出 的
值为 4，则输入 的值为
（ A ） 2 （ B ） 0 （ C ）
（D）
时间
距学校的距离
O 时间
距学校的距离
O
时间
距学校的距离
O 时间
距学校的距离
O
{1,2,3,4},U = {1,2}, {2,3}M N= = ( )U M N =
{ }1,2,3 { }2 { }1,3,4 { }4
m n α
m α∥ n α∥ m n∥ m α⊥ n α⊂ m n⊥
m α⊥ m n⊥ n α∥ m α∥ m n⊥ n α⊥
O xyz− ( )1,2,3P xOy
( )1,2,3− ( )1, 2,3− −
( )1,2, 3− ( )1, 2, 3− −
y
x
1−
4−高三年文科数学第二次月考试卷 第 2 页（共 6 页）
6、从甲、乙、丙三人中任选 2 人，分别担任周一和周二的值日生，则甲被选中的概
率为
（A） （B） （C） （D） 1
7、函数 ， 的单调递增区间是
（A） （B） （C） （D）
8、若 则
（A） （B） （C） （D）
9、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今
有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”
意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的
2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布
多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不
少于 30，该女子所需的天数至少为
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
10、某几何体的三视图如图所示(单位： )，则该
几何体的表面积(单位： )是
（A） （B） （C） （D）
11、不等式6푥2 +푥 ― 2 ≤ 0的解集是
（A）{푥│ ― 2
3 ≤ 푥 ≤ 1
2} （B）{푥│푥 ≤ ― 2
3或 x ≥ 1
2}
（C）{푥│ ― 1
2 ≤ 푥 ≤ 2
3} （D）{푥│푥 ≤ ― 1
2或 x ≥ 2
3}
12、过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为 ．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
13、为估计 的近似值，可以用随机模拟方法近似计算．先产生两组（每组 个）区
1
2
1
3
2
3
( ) sin 3cosf x x x= − [ ]π,0x∈ −
5ππ, 6
− −
5π π,6 6
− −
π ,06
−
π ,03
−
1sin ,3 4
απ − = cos 23
απ + =
7
8
− 1
4
− 1
4
7
8
cm
2cm
36 24 2+ 36 12 5+ 40 24 2+
40 12 5+
60° 2 2 4 0x y x+ − =
π N高三年文科数学第二次月考试卷 第 3 页（共 6 页）
间 上 的 均 匀 随 机 数 和 ， 由 此 得 到 个 点
（ ）．再数出其中满足푥푖
2 + 푦푖
2 ≤ 1（ ）的点数 ，那么由随机模
拟方法可得 的近似值为
（A）
2N1
N （B）
4N1
N （C）
N1
4N （D）
N1
2N
14、角 的面积是 ， , ，则 =
（A） 3 （B） 5 （C）2 （D）3
15、方体 中， ， ， ，点 O 为长方形
对角线的交点，E 为棱 的中点，则异面直线 与 所成的角为（）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
二、填空题（每题 4 分，共 20 分）
16 、 已 知 向 量 ． 若 ， 则 ，
．
17、已知 ，且 ，则 的值为________．
18、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A
处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后
到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30° ，则此
山的高度 ＝________m．
19、设 满足约束条件 则 的最小值为________．
20、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产 x 件，则平均
仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与
仓储费用之和最小，每批应生产产品 件．
三、解答题（每题 12 分，选做题 10 分，共 70 分）
21、 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2
[ ]1,1− 1 2, , , Nx x x 1 2, , , Ny y y N ( ),i ix y
1,2, ,i N= 1,2, ,i N= 1N
π
ABC△ 1
2 1AB = 2BC = AC
1 1 1 1ABCD A B C D− 3AB = 1AD = 1 2AA = ABCD
1CC 1AD OE
( ) ( ) ( )1,1 , 1, 1 , 1,2− −a = b = c = m n= +c a b m =
n =
0 2x
π< < 1sin cos 5x x− = 24sin cos cosx x x−
CD
,x y
2 1 0,
2 1 0,
1,
x y
x y
x
− +
− −
2 3z x y= +
ABC△ D BC AD BAC∠ ABD△ ADC△高三年文科数学第二次月考试卷 第 4 页（共 6 页）
倍．（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 和 的长．
22、已知数列 的前 n 项和 ，其中 ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
23、某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 立方米的部分按 4
收费，超出 立方米的部分按 10 收费．从该市随机调查了 位
居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）如果 为整数，那么根据此次调查，为使 以上居民在该月的用水价格为 4
， 至少定为多少？
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 时，估计该市居
民该月的人均水费．
sin
sin
B
C
1AD = 2
2DC = BD AC
{ }na 1n nS aλ= + 0λ ≠
{ }na
5
31
32S = λ
w
/元 立方米 w /元 立方米 10 000
w 80%
/元 立方米 w
3w =高三年文科数学第二次月考试卷 第 5 页（共 6 页）
24、如图，已知四棱锥 的底面 是菱形，
， ， 为 边的中点，点 在线段 上．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ∥平面 ，求四棱锥 的体
积．
25、在平面直角坐标系 中，圆 ，过点 的动直线 与圆
交于 两点，线段 的中点为 ．
（Ⅰ）求 的轨迹方程；
（Ⅱ）当 时，求 的方程及 的面积．
P ABCD− ABCD
60BAD∠ = ° PA PD= O AD M PC
POB ⊥ PAD
2 3, 7, 13AB PA PB= = = PA MOB M BODC−
xOy 2 2: 8 0C x y y+ − = ( )2,2P l C
,A B AB M
M
| | | |OP OM= l POM△
C
O
A B
D
P
M高三年文科数学第二次月考试卷 第 6 页（共 6 页）
选考题：共 10 分，请考生在第 26、27 题中任选一题作答。
26、[选修 4－4：坐标系与参数方程]10 分
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{푥 = 6 ― 3
2 푡，
푦 = 3 + 1
2푡，
（t 为参数），曲线C2的参
数方程为{푥 = 2 + 2푐표푠휑，
푦 = 2푠푖푛휑， （φ为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标
系。
（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）若射线l：θ = α(ρ ≥ 0)分别交C1，C2于 A,B 两点，求|푂퐵|
|푂퐴|的最大值。
27、[选修 4－5：不等式选讲]10 分
已知f(x) = |1
2푥 ― 푎|
（1）若不等式f(x) ≤ 1的解集为{푥│2 ≤ 푥 ≤ 6}，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若f(2x) +2f(x) ≥ 푚2 +4푚 ― 3对任意x ∈ R恒成立，求 m 的取
值范围。高三年文科数学第二次月考试卷 第 7 页（共 6 页）
龙海二中 2019—2020 学年第一学期第二次月考
高三年文科数学参考答案
一、选择题（每题 4 分，共 60 分）
1-5：DCBCB 6-10：CCABB 11-15：ABBBC
二、填空题（每题 4 分，共 20 分）
16、 ． 17、 ． 18、 ． 19、－5 20、80
三、解答题（每题 12 分，共 70 分）
21、【解】（Ⅰ）由于 ， ，且
， ，
所以 ．
在 中，由正弦定理可得 ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
在 和 中，由余弦定理得，
①，
②．
由于 ，从而 ；
由①+2 × ②得， ．
由（Ⅰ）知 ，所以 ．
22、【解】（Ⅰ）由题意得 ，故 ， ，故 ．
由 ， 得 ，
即 ．
由 ， 得 ，所以 ．
1 3,2 2
− 39
25 100 6
1 sin2ABDS AB AD BAD= ⋅ ∠△
1 sin2ADCS AC AD CAD= ⋅ ∠△
2ABD ADCS S=△ △ BAD CAD∠ = ∠
2AB AC=
ABC△ sin 1
sin 2
B AC
C AB
= =
: :ABD ADCS S BD DC=△ △ 2BD =
ABD△ ADC△
2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠
2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠
πADB ADC∠ + ∠ = cos cosADB ADC∠ = − ∠
2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC+ = + + =
2AB AC= 1AC =
1 1 11a S aλ= = + 1λ ≠ 1
1
1a λ= − 1 0a ≠
1n nS aλ= + 1 11n nS aλ+ += + 1 1n n na a aλ λ+ += −
1( 1)n na aλ λ+ − =
1 0a ≠ 0λ ≠ 0na ≠ 1
1
n
n
a
a
λ
λ
+ = −高三年文科数学第二次月考试卷 第 8 页（共 6 页）
因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，
于是 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及 得 ．
由 得， ，解得 ．
23、【解】（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间
内的频率依次为 ．
所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 ，用水量不超过 2 立方米的居民占
．
依题意， 至少定为 3．
（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水量费用的数据分组与频率
分布表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组
频率
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
（元）．
24、【解】（Ⅰ）连接 ，因为底面 是菱形， ，
所以 是正三角形，所以 ．
因为 为 的中点， ，
所以 ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（Ⅱ）连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为 ∥平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ∥
，
{ }na 1
1 λ− 1
λ
λ −
11
1 1
n
na
λ
λ λ
− = − −
1n nS aλ= + 1 1
n
nS
λ
λ
= − −
5
31
32S =
5 311 1 32
λ
λ
− = − 1λ = −
[ ]0.5,1 ,
( ]1,1.5 , ( ]1.5,2 , ( ]2,2.5 , ( ]2.5,3 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15
85%
45%
w
[ ]2,4 ( ]4,6 ( ]6,8 ( ]8,10 ( ]10,12 ( ]12,17 ( ]17,22 ( ]22,27
0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
4 0.1× + 6 0.15× + 8 0.2× + 10 0.25× + 12 0.15× + 17 0.05× + 22 0.05× + 27 0.05× = 10.5
BD ABCD 60BAD∠ = °
ABD△ AD BO⊥
O AD PA PD=
AD PO⊥ PO BO O=
AD ⊥ POB
AD ⊂ PAD POB ⊥ PAD
AC OB N MN
PA MOB PA ⊂ PAC PAC MOB MN= PA
MN
N
C
O
A B
D
P
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因为 ，所以 ，所以 ，故 ，
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ，且 ，所以 平面 ．
由 知 ，故点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以四棱锥 的体积为 ．
25、【解】（Ⅰ）圆 的方程可化为 ，所以圆心为 ，半径为
4．
设 ，则 ， ，由平面几何知识可知 ，
故 ，即 ．
由于点 在圆 的内部，所以 的轨迹方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆．
由 于 ， 故 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 ， 又 在 圆 上 ， 从 而
．
因为 的斜率为 ，所以 的斜率为 ，直线 的方程为： ．
所以点 到 的距离为 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为
AO BC∥ 1
2
AN AO
CN CB
= = 1
3AN AC= 1
3PM PC=
2 3AB = 7PA PD= = 3OB = 2OP =
13PB = 2 2 2OB OP PB+ = 90POB∠ = ° OP OB⊥
AD PO⊥ OB AD O= OP ⊥ BODC
1
3PM PC= 2
3CM CP= M BODC 2 4
3 3PO =
23 3 12 (2 3) sin604 4 2BODC ABCDS S= = × × × × ° 9 3
2
=
M BODC− 1 9 3 4 2 33 2 3
× × =
C ( )22 4 16x y+ − = (0 4)C ,
( , )M x y ( , 4)CM x y= − (2 ,2 )MP x y= − − 0CM MP⋅ =
( ) ( )( )2 4 2 0x x y y− + − − = ( ) ( )2 21 3 2x y− + − =
P C M ( ) ( )2 21 3 2x y− + − =
M (1,3)N 2
OP OM= O PM P N
ON PM⊥
ON 3 l 1
3
− l 1 8
3 3y x= − +
O l
3
4 108
511 9
d = =
+
2 2OM OP= = 2 2 160 4 102 2 8 25 5PM OP d= − = − =
POM△ 16
5
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