四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（文）试题（Word版带答案）.doc

四川省棠湖中学高 2020 届一诊模拟考试 文科数学试题 第 I 卷 (选择题 共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．复数 ，其中 是虚数单位，则 A． B． C． D． 2．设集合 ， ，则 A． B． C． D． 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 A． B． C． D． 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的 a 的值是 A． B． C．1 D．2 5．在△ABC 中， ，c=4， ，则 b= A． B．3 C． D． 6．设 是非零向量，则“存在实数 ，使得 ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不 必要条件 7．已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线交于 ， 两点，与其准线交于点 .若 点 是 的中点，则线段 的长为 A． B． C． D． 8．已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 A． B． C． D． 2z i= + i =z 5 1 3 5 { }2, 1,0,1,2M = − − { }2 2 0N x x x= − − < M N = { }2, 1− − { }1,0− { }0,1 { }1,2 3 2 3 4 3 8 3 1− 1 2 6B π= 5 3cosC = 3 3 3 2 4 3 ,a b  λ a bλ=  a b a b+ = +    l 2 8y x= F A B C F AC BC 8 3 3 16 3 6 { }na n nS 2 3 10 9a a a+ + = 9S = 3 9 18 279．已知 是 上的奇函数,且 为偶函数,当 时, ,则 A． B． C． D． 10．在正方体 中，动点 在棱 上，动点 在线段 上， 为底面 的中心，若 ，则四面体 的体积 A．与 都有关 B．与 都无关 C．与 有关，与 无关 D．与 有关，与 无关 11．已知数列 满足： ， ，则下列关 于 的判断正确的是 A． 使得 B． 使得 C． 总有 D． 总有 12．已知函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，若函数 有 6 个零点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．若实数 满足 ，则 的最大值是 . 14．双曲线 的一条渐近线方程为 ，则离心率等于 . 15．函数 的定义域为 ，则值域为___________． ( )f x R ( 1)y f x= + 1 0x− ≤ ≤ 2( ) 2f x x= 7( )2f = 1 2 1 2 − 1 1− 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1BB F 1 1AC O ABCD 1,BE x A F y= = O AEF− ,x y ,x y x y y x { }na 1a a= 1 1 ( )2 n n n aa na ∗ + = + ∈N { }na 0, 2,a n∀ > ∃ ≥ 2na < 0, 2,a n∃ > ∃ ≥ 1n na a +< 0, ,a m ∗∀ > ∃ ∈N ( )m na a m n< ≠ 0, ,a m ∗∃ > ∃ ∈N m n na a+ = ( )f x R 2 (0 1),2( ) 1( 1)x xx x f x x xe  − ≤ > 2y x= cos cos( )2 = +y x x π 0, 4      π16．点 , , , 在同一个球面上, , ,若球的表面积为 ,则四 面体 体积的最大值为 ． 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12 分） 已知 中， ， ， . （Ⅰ）求 的面积；（Ⅱ）求 边上的中线 的长. 18．（12 分）省环保厅对 、 、 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城 市空气质量为优或良的数据共有 180 个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所 示： 城 城 城 优（个） 28 良（个） 32 30 已知在这 180 个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录 城市空气质量为优的数据的概率为 0.2. （I）现按城市用分层抽样的方法，从上述 180 个数据中抽取 30 个进行后续分析，求在 城 中应抽取的数据的个数； （II）已知 ， ，求在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概 率. 19．（12 分）如图，在四棱锥 ABCD 中， 和 都是等边三角形，平面 PAD 平面 ABCD，且 ， ． （I）求证：CD PA； （II）E，F 分别是棱 PA，AD 上的点，当平面 BEF//平面 PCD 时， A B C D 2AB BC= = 2AC = 25 4 π ABCD ABC∆ 4A π= 3cos 5B = 8AC = ABC∆ AB CD A B C A B C x y z B C 23y ≥ 24z ≥ C −P ∆PAD ∆BCD ⊥ 2 4= =AD AB 2 3=BC ⊥ P D A E B C F求四棱锥 的体积． 20．（12 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，长轴长为 ． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程及离心率； （Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若点 满足 ，求 证：由点 构成的曲线 关于直线 对称． 21．（12 分）已知函数 . （Ⅰ）求证：对任意实数 ，都有 ； （Ⅱ）若 ，是否存在整数 ，使得在 上，恒有 成立？ 若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理由.（ ） （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） −C PEFD C ( ) ( )1 21,0 , 1,0F F− 2 3 C ( )0,1 l C A B M 0MA MB MO+ + =    M L 1 3y = ( ) ln 1f x x x ax a= + + − a min[ ( )] 1f x ≤ 2a = k (2, )x∈ +∞ ( ) ( 1) 2 1f x k x k> + − − k 2.71828e = 已知直线 l： (t 为参数), 曲线 ( 为参数)． （Ⅰ）设 l 与 C1 相交于 AB 两点,求|AB|； （Ⅱ）若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点 P 是曲线 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值． 23．已知函数 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）令 ， 的图象与两坐标轴的交点分别为 ， ， ，若三角形 的面积为 ，求 得值. 11 2 3 2 x t y t  = +  = 1 : x cosC y sin θ θ =  = θ 1 2 3 2 2C 2C ( ) 2 1 ( 0)f x x x m m= + − − > 2m = ( ) 1f x ≤ ( ) ( ) 2g x f x= − ( )g x A B C ABC 12 m棠湖中学高 2020 届一诊模拟考试 文科数学试题参考答案 1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．C 13．2 14． 15． 16． 17．解：（1） 且 ， ∴ ． 在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ． 所以 的面积为 （2）在 中， ， 所以由余弦定理得 ，所以 ． 18.解：（1）由题意得 ，即 . ∴ ， ∴在 城中应抽取的数据个数为 . （2）由（1）知 ， 且 ， ， ∴满足条件的数对 可能的结果有 ， ， ， ， ， ， ， 共 8 种. 其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有 ， ， 5 1 ,02  −   3 2 3cos ,5B = (0, )B π∈ 2 4sin 1 cos 5B B= − = sin sin( ) sin( )C A B A Bπ∴ = − − = + 2 3 2 4 7 2sin cos cos sin 2 5 2 5 10A B A B= + = ⋅ + ⋅ = ABC∆ sin sin AC AB B C = 8 4 7 2 5 10 AB= 7 2AB = ABC∆ 1 1 2sin 7 2 8 282 2 2S AB AC A= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ACD∆ 7 2 2AD = 2 2 27 2 7 2 2 658 ( ) 2 82 2 2 2CD = + − × × × = 130 2CD = 0.2180 x = 36x = 180 28 32 36 30 54y z+ = − − − − = C 30 54 9180 × = 54y z+ = ,y z N∈ 23y ≥ 24z ≥ ( , )y z (23,31) (24,30) (25,29) (26,28) (27,27) (28,26) (29,25) (30,24) (28,26) (29,25)共 3 种. ∴在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为 . 19．证明：（I）因为 ， ， ，所以 ， ，且 ．又 是等边三角形，所以 ，即 ．…3 分 因 为 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， 平 面 所以 平面 ． 所以 CD PA． ……6 分 （II）因为平面 BEF//平面 PCD，所以 BF//CD， EF//PD，且 ． ……8 分 又在直角三角形 ABD 中，DF= ，所以 ． 所以 ． ……10 分 由（I）知 平面 ，故四棱锥 的体积 ．…12 分 20．（Ⅰ）由已知，得 ，所以 ， 又 ，所以 所以椭圆 的标准方程为 ，离心率 . （Ⅱ）设 ， ， ， ①直线 与 轴垂直时，点 的坐标分别为 ， ． 因为 ， ， ， 所以 ． 所以 ，即点 与原点重合; ②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， AB BD⊥ 90ADC∠ = ° PAD ⊥ ABCD ABCD AD= ABCD CD ⊥ PAD CD ⊥ PAD (30,24) C 3 8 4=AD 2=AB 2 3=BD 2 2 2+ =AB BD AD 30°∠ =ADB BCD ⊥CD AD PAD ⊂CD ⊥ ⊥BF AD 2 3 cos30 3° = 1= =AE AF 1 1 15 34 4 sin60 1 1 sin602 2 4 = × × × ° − × × × ° =PEFDS四边形 −C PEFD 1 15 3 2 = =  PEFDV S CD 3, 1a c= = 1 3 33 ce a = = = 2 2 2a b c= + 2b = C 2 2 13 2 x y+ = 3 3e = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ),m mM x y l x ,A B ( )0, 2− ( )0, 2 ( )0 , 2m mMA x y= − − − ( )0 , 2m mMB x y= − − ( )0 ,0m mMO x y= − − ( )3 , 3 0m mMA MB MC x y+ + = − − =    0, 0m mx y= = M l x l 1y kx= + P D A E B C F由 得 ， ． 所以 .，则 ， 因为 ， ， ， 所以 ． 所以 ， ． ， ， 消去 得 ． 综上，点 构成的曲线 的方程为 对于曲线 的任意一点 ，它关于直线 的对称点为 ． 把 的坐标代入曲线 的方程的左端： ． 所以点 也在曲线 上．所以由点 构成的曲线 关于直线 对称. 21．解：（1）证明：由已知易得 ，所以 令 得： 显然， 时， 0，函数 f（x）单调递增 所以 令 ，则由 得 时， >0，函数 t（ ）单调递增； 时， 1 2 2 6 3 2 kx x k −+ = + 1 2 2 4 03 2y y k + = >+ ( )1 1,m mMA x x y y= − − ( )2 2,m mMB x x y y= − − ( ),m mMO x y= − − ( )1 2 1 20 3 , 0 3 0m mMA MB MO x x x y y y+ + = + + − + + − =    1 2 3 mx x x+ = 1 2 3 my y y+ = 2 2 3 2m kx k −= + 2 4 3 03 2my k = >+ k ( )2 22 3 2 0 0m m m mx y y y+ − = > M L 2 22 3 2 0x y y+ − = L ( ),M x y 1 3y = 2, 3M x y ′ −   2, 3M x y ′ −   L 2 2 2 2 2 22 2 4 42 3 2 2 4 3 2 2 3 2 03 3 3 3x y y x y y y x y y   + − − − = + − + − + = + − =       M ′ L M L 1 3y = ( ) ( 1) ln 1f x a x x x= − + + ( ) 1 lnf x a x′ = + + ( ) 1 ln 0f x a x′ = + + = ( 1)ax e− += ( 1)(0, )ax e− +∈ ( )f x′ ( 1)( , )ax e− +∈ +∞ ( )f x′ min[ ( )]f x ( 1) ( 1)( ) 1a af e a e− + − += = − − min( ) [ ( )]t a f x= ( 1)( ) 1 0at a e− +′ = − + = 1a = − ( , 1)a ∈ −∞ − ( )t a′ a ( 1, )a ∈ − +∞ ( )t a′ a max[ ( )] ( 1) 1 1 1 1t a t= − = + − =结论成立. （2）由题设化简可得 令 ，所以 由 =0 得 ①若 ，即 时，在 上，有 ，故函数 单调 递增 所以 ②若 ，即 时，在 上，有 ，故函数 在 上单调递减 在 上，有 .故函数 在 上单调递增 所以，在 上， 故欲使 ，只需 即可 令 ，由 得 所以， 时， ，即 单调递减 又 ， ，故 22.（1） 的普通方程为 ， 的普通方程为 联立方程组 解得 与 的交点为 , ,则 . （2） 的参数方程为 （ 为参数).故点 的坐标是 ,从 而点 到直线 的距离是 , ln ( 2)x x x k x+ > − ( ) ln (1 ) 2t x x x k x k= + − + ( ) ln 2t x x k′ = + − ( ) ln 2t x x k′ = + − 2kx e −= 2 2ke − ≤ 2 ln 2k ≤ + (2, )x∈ +∞ ( ) 0t x′ > 2 7PCDS∆ = ( ) (2) 2 2ln 2 0t x t> = + > 2 2ke − > 2 ln 2k > + 2(2, )kx e −∈ ( ) 0t x′ < 2 7PCDS∆ = 2(2, )kx e −∈ 2( , )kx e −∈ +∞ ( ) 0t x′ > 2 7PCDS∆ = 2( , )kx e −∈ +∞ (2, )x∈ +∞ 2 2 min( ) ( ) 2k kt x t e k e− −= = − ln ( 2)x x x k x+ > − 2 2 min( ) ( ) 2 0k kt x t e k e− −= = − > 2 2( ) 2 , ( ) 2k km k k e m k e− −′= − ∴ = − 2( ) 2 0km k e −′ = − = 2 ln2k = + 2 ln 2k > + ( ) 0m k′ < ( )m k 4 2 2(4) 2 4 8 0m e e−= × − = − > 4 2 3(5) 2 5 10 0m e e−= × − = − < max 4k =  ( )3 1y x= − 1C 2 2 1x y+ = ( ) 2 2 3 1 1 y x x y  = − + =  1C ( )1,0A 1 3,2 2B  −    1AB = 2C 1 2 3 2 x cos y sin θ θ  =  = θ P 1 3cos , sin2 2 θ θ      P  3 3cos sin 32 2 3 2sin 22 4 4 θ θ πθ − −   = − +    由此当 时, 取得最小值,且最小值为 . 23．(1)当 时，不等式 可化为 ， ①当 时，不等式化为 ，解得： ； ②当 时，不等式化为 ，解得： ； ③当 时，不等式化为 ，解集为 ，综上，不等式的解集为 . (2)由题设得 ， 所以 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为 ， ， ， 于是三角形 的面积为 ， 得 ，或 （舍去），故 . sin 14 πθ − = −   d ( )6 2 14 − 2m = ( ) 1f x ≤ 2 1 2 1x x+ − − ≤ 1x < − 5 0x + ≥ 5 1x− ≤ < − 1 2x− ≤ ≤ 3 1x ≤ 11 3x− ≤ ≤ 2x > 3 0x + ≤ φ { 15 3x x − ≤ ≤  4 1 ( ) 3 1 x m x g x x m x m x m x m − − − < − = − − ≤ ≤  + > ( )g x ( 4,0)A m− − (0, )B m− ( ,0)3 mC ABC 2 ( 3) 123S m m= + = 3m = 6m = − 3m =