四川省绵阳南山中学2019-2020高二上学期期中考试数学（理）（Word版带答案）.doc

1 绵阳南山中学 2019 年秋高 2018 级半期考试 数学（理科） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 8 页，满分 l50 分，考试时间 l20 分 钟。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效。 一、选择题：（本题共 12 小 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）。 1.空间直角坐标系中，点 与 间的距离是(　　) A. B. C. D. 2 若直线 平行，那么系数 等于( ) A． B． C． D． )0,4,3(−A )6,1,2( −B 86 9 212 432 023022 =−−=++ yxyax 与直线 a 3− 6− 2 3− 3 22 3.圆 与圆 的位置关系是（ ） A.外切 B.相交 C.内切 D.外离 0124622 =++−+ yxyx 36)1()7( 22 =−+− yx3 4.已知双曲线 的离心率 为 ，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. )0,012 2 2 2 >>=− bab y a x （ 2 6 xy 2±= xy 2 2±= xy 2 1±= xy 2±=4 5. 已知过点 的直线 与圆 相切,则直线 的斜率为(　　) A. B. C. D. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则 M 处可填入的 条件为(　　) A． B． C． D． 7.已知点 在抛物线 上， 为抛物线的准线 上的一点， 为 抛物线的焦点，若 ，则直线 的斜率为(　　). A. B. C. D. )2,2(P l 5)1( 22 =+− yx l 1 2 1 2 2 1− 31≥k 15≥k 31>k 15>k M xy 62 = N l F MFFN = MN 2± 1± 2± 3±5 8.过点 的直线与椭圆 交于 两点，且点 平分弦 ，则直线 的方程为（ ） )1,1(M 134 22 =+ yx BA, M AB AB6 A. B. C. D. 9.已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两个焦点，若 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 0734 =−+ yx 0743 =−+ yx 0143 =+− yx 0134 =−− yx ),( 00 yxM 12: 2 2 =− yxC 21, FF C 021 >=+ bab y a xC )1,2(P 2 3=e C l 2 1 l C BA、 PAB∆14 21. 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦 的长为 . （Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程； （Ⅱ）已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与轨迹 交于不同的两点 ，若 轴是 的角平分线，证明直线 过定点。 22.如图，椭圆 的离心率是 ，点 在 短轴 上，且 . （1）求椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点.是否 存在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由. 绵阳南山中学 2019 年秋高 2018 级半期考试 数学（理科）参考答案 一、选择题： 1~5：ABCBD 6~10:BDBAD 11~12:CC 11.设 ，则由 ，即 为 的重心，得 . 又 ， 即 为 的 外 心 ， 所 以 点 在 轴 上 ， 又 ∥ ， 则 有 . )0,4(A y MN 8 C )0,1(−B x l C QP, x PBQ∠ l 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 (0,1)P CD 1PC PD⋅ = −  C O P A B、 λ OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    λ )0)(,( ≠yyxC 0=++ GCGBGA G ABC∆ )3,3( yxG MCMBMA == M ABC∆ M y GM AB )3,0( yM15 所以 ，化简得 . 所以顶点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆(除去短轴端点). 12. ，焦点 ，准线 ，由圆： 圆心 ，半径为 ； 由抛物线的定义得： ， 又∵ ，∴ ，同理： ， 当 轴时，则 ，∴ ． 当 的斜率存在且不为 ，设 时，代入抛物线方程，得： ， ， ， ∴ ． 当且仅当 ，即 时取等号， 综上所述 的最小值为 . 二、填空题： 13. 14. 15. 16. 15.解析： ， 两点关于原点对称，由题意易得 ， 不妨设直线 ，则直线 ， ， 16.设直线 的方程为 ，点 .又点 ，直线 与 轴的交点 ，不妨设 ，由 ，消 得 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 因为点 在该抛物线上且位于 轴的两侧,所以 ，故 ， 5 BA、 94)3( 2 22 yyyx +=−+ 0,1124 22 ≠=+ yyx C y xy 42 = )0,1(F 1:0 −=xl 4 1)1( 22 =+− yx )0,1( 2 1 1+= AxAF 2 1+= ABAF 2 1+= AxAB 2 1+= DxCD xAB ⊥ 1== AD xx 2 154 =+ CDAB AB 0 )1(: −= xkyAB 0)42( 2222 =++− kxkxk 1=∴ DA xx 2 2 42 k kxx DA +=+ DADA xxxxCDAB 42 5)2 1(4)2 1(4 ++=+++=+ 2 13422 5 =+≥ DA xx DA xx 4= 2 1,2 == DA xx CDAB 4+ 2 13 2 2 3 )0,2(P BA, 2 1−=⋅ PBPA kk )2(: −= xkyPA )2(2 1: −−= xkyPB )2 1,3(),,3( kFkE −∴ 22 122 1 =≥+= kkEF AB mtyx += ),(),,( 2211 yxByxA )0,4 1(F AB x )0,(mM 01 >y    = += xy mtyx 2 x 02 =−− mtyy myy −=21 2=⋅OBOA 22121 =+ yyxx 02)( 21 2 21 =−+ yyyy x 221 −=yy 2=m16 所以 ， 当且仅当 即 时取“ ”.所以 与 面积之和的最小值是 . 三、解答题： 17.解：由方程组 解得点 的坐标为 ， 又直线 的斜率 ， 轴是 的平分线，所以 ， 则 边所在的直线方程为 ．① 又已知 边上的高所在直线的方程为 ，故直线 的斜率 ， 所以 边所在的直线方程为 ．② 解①②组成的方程组得 ，即顶点 的坐标为 ． 18.解：（1）因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ，即 . 又点 是双曲线的一个顶点， ，得 ， 双曲线的方程为 （2）由（1）知，双曲线 的右焦点为 ， 经过双曲线的右焦点 且倾斜角为 的直线 的方程为 ， 联立直线与双曲线方程消 得 ， 设 ，则 ， 所以 19.解：（1）由题意设圆心 ，则 到直线 的距离等于 ， ，解得 ， 其半径 ， 圆 的方程为 ABO∆ 121 4 1 2 1)(22 1 yyySS AFOABO ××+−××=+ ∆∆ 32 8 922 8 9 1 1 1 1 =⋅≥+= yyyy 1 1 2 8 9 yy = 3 4 1 =y = AFO∆ 3    = =+− 0 012 y yx A )0,1(− AB 1=ABk x A∠ 1−=ACk AC )1( +−= xy BC 012 =+− yx BC 2−=BCk BC )1(22 −−=− xy    −= = 6 5 y x C )6,5( − C xy 2= 2= a b 22 2ab = ）（ 0,3 3=∴a 62 =b ∴ 163 22 =− yx 163 22 =− yx )0,3(2F ∴ 2F °30 l )3(3 3 −= xy y 02765 2 =−+ xx )(),,( 2211 yxByxA 5 27,5 6 2121 −=−=+ xxxx 5 316)5 27(4)5 6(3 11 2 =−×−−⋅+=AB ),( aaC − C 04 =−− yx CO 22 )( 2 42 aaad −+=−=∴ 1=a ∴ 22 2 == ar ∴ C 2)1()1( 22 =++− yx17 （2）由题知，圆心 到直线 的距离 当 的斜率不存在时， 成立， 若 的斜率存在时，设 ，由 ，得 ，解得 ， 综上，直线 的方程为 或 20. (1)因为 ，所以 . 又椭圆 过点 ， 所以 ，所以 ， 故所求椭圆方程为 . (2)设 的方程为 ，点 ，联立 消去 整理， 得 . 所以 . 又直线 与椭圆相交，所以 ，解得 . 则 . 点 到直线 的距离 . C l 1)2( 22 =−= ABrd l 2: =xl l )2(2: −=− xkyl 1=d 1 1 3 2 = + − k k 3 4=k 0234: =−−∴ yxl l 2=x 0234 =−− yx 2 3=e 22 4ba = )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC )1,2(P 114 22 =+ ba 2,8 22 == ba 128 22 =+ yx l mxy += 2 1 )(),,( 2211 yxByxA       =+ += 128 2 1 22 yx mxy y 0422 22 =−++ mmxx 42,2 2 2121 −=−=+ mxxmxx l 01684 22 >+−=∆ mm 2+−=∆ kb 2 2 21221 ,28 k bxxk bkxx =−=+ x PBQ∠ 11 2 2 1 1 +−=+ x y x y 0)1()1( 1221 =+++ xyxy 0)1)(()1)(( 1221 =+++++∴ xbkxxbkx 02))((2 2121 =++++∴ bxxbkxkx 02)28)((2 22 =+−++∴ bkbkbkkb bk −=∴ 0>∆ l kkxy −= l )0,1( )(),,( 2211 yxQyxP 021 ≠+ yy 021 1 2 2 4 2 1 kx x k + = − + 1 2 2 2 2 1x x k = − + OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    1 2 1 2 1 2 1 2[ ( 1)( 1)]x x y y x x y yλ= + + + − − 2 1 2 1 2(1 )(1 ) ( ) 1k x x k x xλ= + + + + + 2 2 ( 2 4) ( 2 1) 2 1 k k λ λ− − + − −= + 2 1 22 1k λ λ−= − − −+ 1λ = 2 1 2 32 1k λ λ−− − − = −+ 3OA OB PA PBλ⋅ + ⋅ = −    AB AB CD OA OB PA PBλ⋅ + ⋅ =    OC OD PC PD⋅ + ⋅    2 1 3= − − = − 1λ = OA OB PA PBλ⋅ + ⋅   