四川省绵阳南山中学2019-2020高二上学期期中考试数学（文）（Word版带答案）.docx

第 1 页 共 9 页 2019 年 11 月 绵阳南山中学 2019 年秋高 2018 级半期考试 数学（文科）试题 满分:150 分 时间:120 分钟 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 1、已知直线 的斜率的绝对值为 ，则 的倾斜角为（ ） 2、圆 的半径为（ ） A.1 B.3 C.2 D.5 3、曲线 C： 的准线方程为（ ） 4、直线 用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ） A. B. C. D. 5、在空间直角坐标系中，点 M（-1，-4,2）关于平面 YOZ 对称的点的坐标是（ ） 6、经过直线 和 的交点，且与中直线 垂直的直线 方程是（ ） 7、设村庄外围所在曲线的方程可用 表示，村外一小路方程可用 表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ） 8、椭圆 与 具有相同的（ ） A.长轴 B.焦点 C.离心率 D.顶点 9、已知圆 的圆心为 C 及点 M(1，-2），则过 M 且使圆心 C 到它的距 离最大的直线方程为（ ） l 3 l 0A.30 0B.60 0C.120 00 120D.60 或 012222 =+−−+ yxyx 22xy −= 4 1.A =x 8 1. =xB 4 1. =yC 8 1. =yD 032 =−+ yx 13 2 3 =+ yx 32 +−= xy )0(23 −−=− xy 2 3 2 1 +−= yx )2,4,1(.A −M )2,4,1(. −MB )2,4,1(. −−MC )2,4,1(. −−−MD 022 =−+ yx 01=−− yx 0223 =−+ yx 0123A. =−− yx 0132.B =−− yx 0232.C =−− yx 0223.D =−− yx 4)3()2( 22 =++− yx 02 =+− yx 2 27.A 2-2 27B. 22 27C. + 2 7D. 12 2 2 2 =+ b x a y ）且 1,0(2 2 2 2 ≠>=+ λλλ b x a y 9)3()3( 22 =++− yx第 2 页 共 9 页 10、设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为 坐标原点，则△OAB 的面积为(　　) A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 11、 已知 F1、F2 分别为双曲线 的左、右焦点,若双曲线左支上存 在一点 P，使得 =8a,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）. 12、已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 ，直线 与抛物线 交于 点 （ 在第一象限内)，与其准线交于点 ，若 ，则点 到 轴距离为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13、如果直线 与直线 垂直，则直线 的斜率为 14、已知(4，2)是直线 l 被椭圆x2 36 ＋y2 9 ＝1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是 15、从点 作圆 的切线，切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 16、设 F1，F2 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与 C 交于 A，B 两 点．若 AB⊥AF1，且|AB|∶|AF1|＝4∶3，则椭圆的离心率为 三、解答题：本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （10 分） 已知圆过两点 A（2,3），B（-1,3），且圆心在直线 上，求此圆的标准方程。 18、（12 分） 已知直线 l1：x＋a2y＋1＝0 和直线 l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若 l1∥l2，求 b 的取值范围； 042A. =−− yx 042B. =−− yx 0123C. =−− yx 0132D. =−− yx 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 1 | |PF PF ( )3,1.A [ ]3,1B. [ )3,1C. ( ]3,1D. C ( )2 2 0x py p= > F ( )1,0A FA C P P Q 2PQ FP=  P y 2 2 1− 2 2 2− 3 2 1− 3 2 2− l 0453 =−+ yx l )6,3(P 422 =+ yx 023 =−− yx第 3 页 共 9 页 (2)若 l1⊥l2，求|ab|的最小值． 19、（12 分） 已知抛物线 C 的顶点在原点，且其准线为 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）如果直线 的方程为： ，且其与抛物线 C 交于 A,B 两点，求 的面积。 20、（12 分） 已知双曲线 C: 的上焦点为 F（0，c) (1) 若双曲线 C 是等轴双曲线，且 c=2,求双曲线的标准方程； (2) 若经过原点且倾斜角为 的直线 与双曲线 C 的上支交于点 A,O 为坐标原点， 是以线段 AF 为底边的等腰三角形，求双曲线 C 的离心率及渐近线方程。 21、（12 分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C 是由圆弧 和圆弧 相接而成，两相接点 M,N 1−=y l 42 += xy AFB∆ )0,0(,12 2 2 2 >>=− bab x a y °30 l OAF∆ 1C 2C第 4 页 共 9 页 均在直线 上。圆弧 的圆心是坐标原点 O，半径长 ；圆弧 过点 A(29，0）。 （1）求圆弧 所在圆的方程； （2）曲线 C 上是否存在点 P，满足 ?若存在，指出有几个这样的点；若不存 在，请说明理由。 22、（12 分） 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ，且点 在椭圆 上. （1）求椭圆 的标准方程； （2）设椭圆 的左顶点为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于异于 的不同两 点 ，求 的面积 的最大值. 绵阳南山中学 2019 年秋高 2018 级半期考试 5=x 1C 131 =r 2C 2C POPA 30=第 5 页 共 9 页 数学（文科）答案 一、选择题 1-5 DADBB 6-10 CBCAD 11-12DB 11.解：∵P 为双曲线左支上一点,∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a,∴|PF2|=|PF1|+2a ①, 又 =8a ②, ∴由①②可得,|PF1|=2a,|PF2|=4a. ∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即 2a+4a≥2c,∴ ≤3 ③, 又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|,∴2a+2c＞4a,∴ ＞1 ④. 由③④可得 1＜ ≤3. 12.解：由题意得抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，如图，设准线与 y 轴交 于点 ，过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 ， ∴ ， ∴ ,∴直线 的倾斜角为 ， ∴ ，解得 ． 又由 得 ，即 ， ∴ ． 设 ，则 ，∴ ， ∴ ， 又点 在第一象限，∴ ，即点 到 轴距离为 ． 二、填空题 2 2 1 | |PF PF c a c a c a 0, 2 pF      2 py = − 1F P 1P 1 1∥PP FF 1 | | | | 2| | | | QP QP FP PP = = 1 45PQP∠ = ° FA 135° 02 10 1 2FA p pk − = = − = −− 2p = 1 1∥PP FF 1 1 | || | 2 | | | | 2 1 PPQP QF FF = = + 1| | 2 2 2 1 PP = + ( )1| | 2 2 2 1 4 2 2PP = − = − ( ),P x y 1 4 2 2y + = − 3 2 2y = − ( ) ( )22 4 3 2 2 4 2 1x = − = − P ( )2 2 1 2 2 2x = − = − P y 2 2 2−第 6 页 共 9 页 16.解：设|AB|＝3l，|AF1|＝4l，因 AB⊥AF1，则|BF1|＝5l，由椭圆的定义得|AB|＋|AF1|＋|BF1| ＝4a，即 12l＝4a，a＝3l，所以|AF2|＝2l，2c＝|F1F2|＝ |AF1|2＋|AF2|2＝2 5l，则椭圆的离心 率为 e＝c a＝ 5 3 . 三、解答题 17. 解：由已知得：AB 的垂直平分线方程为： …………3 分 代入直线 得圆心： …………5 分 又半径 …………8 分 则圆的方程为： …………10 分 18.解：(1)因为 l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即 b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－(a2＋1 2)2＋ 1 4，因为 a2≥0，所以 b≤0.又因为 a2＋1≠3，所以 b≠－6. 故 b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．…………6 分 (2)因为 l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然 a≠0，所以 ab＝a＋ 1 a，|ab|＝|a＋1 a |≥2，当且 仅当 a＝±1 时等号成立，因此|ab|的最小值为 2. …………12 分 19.解：(1)由抛物线的准线方程为 的 P=2…………2 分 则抛物线方程为： …………5 分 (2)联立 得： …………8 分 设直线 与 y 轴的交点为 D,则 ，又抛物线的焦点坐标为 5 3-13. 08214. =−+ yx 046315. =−+ yx 3 516. 2 1=x 023 =−− yx      2 1,2 1 2 17)32 1()22 1( 222 =−+−=r 2 17)2 1()2 1( 22 =−+− yx 1−=y yx 42 = { yx xy 4 42 2 = += 01682 =−− xx 821 =+ xx 1621 −=• xx 284)( 21 2 2121 =−+=− xxxxxx 42 += xy )4,0(D )1,0(F第 7 页 共 9 页 则 …………12 分 20.解：(1)由双曲线为等轴双曲线，则 a=b 又 c=2，则 ， 故双曲线方程为： …………4 分 (2) 由题意得 ，又 OA 的倾斜角为 ，则 …………6 分 代入双曲线方程得， ，结合 ，得 ，解得 故 …………10 分 又 ，则 ，则渐近线方程为： ………12 分 21.解：(1)圆弧 所在圆的方程为： ，令 解得： ，则 AM 的中垂线方程为： …3 分 令 ，得圆弧 所在圆的圆心 ，又 则 的方程为： ………6 分 (2)假设存在这样的点 ，由 得 由 解得 ………9 分 由 解得 综上所知，这样的点 P 不存在。………12 分 22.解： 2122832 1 =••=∆AFBS 4222 ==+ cba 222 ==∴ ba 122 22 =− xy cOA = 030 )2 1,2 3(A cc 1 4 3 4 2 2 2 2 =− b c a c 222 bac += 048 4224 =+− acac )(324324 22 舍或 −=+= ee 13 +=e 2 2 2 1 a be += 3232 2 += a b xy 323 1 + ±= 1C 16922 =+ yx 5=x )12,5(M )12,5( −N )17(26 −=− xy 0=y 2C )0,14(2O 1514292 =−=r 2C )5(225)14( 22 ≥=+− xyx ),( yxp POPA 30= 029222 =−++ xyx { 0292 )513(169 22 22 =−++ ≤≤−=+ xyx xyx )(70 舍−=x { 0292 )295(225)14( 22 22 =−++ ≤≤=+− xyx xyx )(0 舍=x第 8 页 共 9 页 ………………4 分 （2）由（1），得点 由题意，直线 的斜率不等于 0，设直线 的方程为 ， . 联立 消去 ，得 . ∴ ， ， ， ∵ ， 化简，得 ………………8 分第 9 页 共 9 页 ………………12 分