四川省绵阳南山中学2020届高三上学期10月月考试题数学（文）（Word版带答案）.doc

2019 年 10 月 绵阳南山中学 2019 年秋季高 2017 级 10 月月考 文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的。） 1.设集合 A = { }，B = { }，则 A. B. (0, 4) C. (4,-∞) D. (0,- ∞) 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间 上是单调递减的函数是 A. B. C. D. 3.函数 的图象可能是(　　) 4.已知非零向量 与 ，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的 .充分不必要条件 . 必要不充分条件 . 充要条件 .既不充分也不必要条件 5.已知向量 ，且 ，则实数 等于 . . . . 6.设等差数列 的前 项和为 ，若 是方程 的两个根，则 = . 18 . 19 . 20 .36 7.已知 ，则 . . . . 8.设 满足约束条件 ，且 的最小值为 7，则实数 0⋅ba a b A B C D )2,0(),,1( −== bma bba ⊥+ )( m A 2− B 1− C 1 D 2 }{ na n nS 82,aa 0342 =−− xx 9S A B C D 5 3)3sin( =− x π =+ )6cos( π x A 5 3− B 5 4− C 5 4 D 5 3 yx,    −≤− ≥+ 1yx ayx ayxz += =a. . . 或 . 或 9.将函数 的图像向左平移 个单位后，所得图像对应的函数在区间 上无极值点，则实数 的最大值为 . . . . 10.若函数 ，则 的值为 . . . . 11. 函 数 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 的最小值是 A． B． C． D． 12.已知平面向量 满足 , , 。若 为平面单位向量，则 的 最大值是 . . . . 第Ⅱ卷 （非选择题 满分 90 分） 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡的横线上） 13.平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 =________． 14.函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 ． 15.已知等差数列 的前 项为 ， 且 , ，则 ______． 16.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且 ，则 面积的最大值是___ 三．解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分为 12 分）已知函数 部分图象 如图所示． A 5− B 3 C 5− 3 D 5 3− )42sin( π−= xy 4 π ),( mm− m A 8 π B 4 π C 8 3π D 2 π ( ) 31 xxxf ++= ( ) ( )     ++    + 5 1lg5lg2 1lg2lg ffff A 2 B 4 C 6 D 8 ( ) ( )0,01032 23 >>+−= nmnxmxxf ( ) 22 )(lg9lg5 nm + 6 9 5 9 13 1 ba, 1=a 2=b 1=⋅ba e ebea ⋅+⋅ A 7 B 7 C 5 D 5 a b 2 π 1=a 1=b ba 23 − axxxf −= ln)( [ )∞+，1 a { }na n nS na nb 2= 1731 =+ bb 6842 =+ bb =6S ABC∆ A B C cba ,, D AB 1=CD ( )( )BCbcAba sinsinsin2 1 −+=     − ABC∆ )2||,0,0)(sin()( πϕωϕω >+= AxAxf（1）求 的最小正周期及解析式； （2）设 ，求函数 在区 间 上的最大值和最小值． 18．（本小题满分为 12 分） 单调递增的等比数列 满足 ，且 是 和 的等差中项． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 19. （本小题满分为 12 分） 在 中， .设内角 的对边分别为 （1）证明： 为等腰三角形. （2）若 的面积为 ， 为 边上一点，且 求线段 的长. 20.（本小题满分为 12 分） 设函数 （ ） （1）求 的单调区间和极值； （2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点． 21．（本小题满分为 12 分）已知函数 . （1）若函数 在 处的切线方程是 ，求 的值； （2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围； （3）证明： ． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果 多做，则按所作的第一个题目计分。 ( )f x ( ) ( ) cos2g x f x x= − ( )g x ]2,0[ π { }na 28432 =++ aaa 23 +a 2a 4a { }na nnn aab 2 1log⋅= { }nb n nS ABC∆ 22tan,sin2sin3 == CBA CBA ,, cba ,, ABC∆ ABC∆ 22 D AC CDBD 3= CD xkxxf ln2)( 2 −= 0>k ( )f x ( )f x ( )f x (1, e ( ) 1ln +−= kxxxf ( )xf ( )( )00 , xfx 01=−− yx k ( ) 0≤xf k ( )( )1,4 1ln 4 3ln 3 2ln >∈−xf ba、 ( ) abbaxf 8 333 22 ++< x M xoy M ( )为参数αα α    += += sin31 cos31 y x x l m=     + 4cos2 πθρ M M l M BA, 4=AB m CDABDA DBACBC 045, =ba ( )0,1=a ( )1,1=b ( )αα sin,cos=e αααααααα sincos2sincoscossincoscos +=++≤++=⋅+⋅ ebea αcos αsin ( ) 5sin5sincos2sincos2 ≤+=+=+ θααααα 2 πθα =+ ( )θα +sin α αα cos,sin 513. 14. 15. 16.【解】如图，设 ，则 , 在 和 中 ， 分 别 由 余 弦 定 理 可 得 ， 两式相加，整理得 ， ．① 由 及正弦定理得 ， 整 理 得 ， ② 由 余 弦 定 理 的 推 论 可 得 ， 所 以 ． 把①代入②整理得 ，又 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，故得 ．所以 ． 即 面积的最大值是 ．故答案为 ． 三．解答题（共 70 分） 17．【解】：（Ⅰ）由图可得 ， ，∴ ∴ 当 时， ，可得 ， ∵ ∴ ∴ ( Ⅱ ) ∵ ，∴ 1A = 2 2 3 6 2 T π π π= − = T = π 2ω = 6x π= ( ) 1f x = sin(2 ) 16 ϕπ⋅ + = | | 2 ϕ π< 6 ϕ π= ( ) sin(2 )6f x x π= + ( ) ( ) cos2 sin(2 ) cos26g x f x x x x π= − = + − sin 2 cos cos2 sin cos26 6x x x π π= + − 3 1sin 2 cos22 2x x= − sin(2 )6x π= − 0 2x π≤ ≤ 526 6 6x π π π− ≤ − ≤ 13 [ )+∞,1 30 16 5 15 θ=∠CDA θπ −=∠CDB CDA∆ CDB∆ ( ) c ac c bc 2 2 2 2 14cos, 14cos −+ =− −+ = θπθ ( ) 022 22 2 =+−+ bac ( ) 42 222 −+=∴ bac ( )( )BCbcAba sinsinsin2 −+=     − ( )( )bcbcaba −+=     − 2 2 222 abcba =−+ 4 1 2cos 222 =−+= ab cbaC 4 15sin =C 42 22 =++ abba abba 222 ≥+ ba = 2 5 224 ababab =+≥ 5 8≤ab 5 15 4 15 5 8 2 1sin2 1 =⋅⋅≤=∆ CabS ABC ABC∆ 5 15 5 15当 ，即 时， 有最大值为 ； 当 ，即 时， 有最小值 ． 18．【解】（1）设等比数列的公比为 ，则有 解得 ， 或 所以 . （2） ， ， 。 两式相减，得 19. 【解】（1）证明： ， 。 ， 由余弦定理可得 即 ，则 为等腰三角形. （ 2 ） 则 的 面 积 解得 .设 ，则 ，由余弦定理可 得 ， 解得 （负根舍去），从而线段 的长为 . 20．【解】 得 由 解得 当 变化时， 与 在区间 的变化如下表： 2 6 2x π π− = 3x π= ( )g x 1 2 6 6x π π− = − 0x = ( )g x 1 2 − ( 1)q q > ( )   +=+ =++ 22 28 2 1 3 11 2 1 2 11 qaqaqa qaqaqa    = = 2 21 q a    = = 2 1 321 q a 12 2 2n n na −= = 1 2 log 2n n n nb a a n= = −  2 3(1 2 2 2 3 2 2 )n nS n= − + + + +     2 2 12 [1 2 2 2 ( 1) 2 2 ]n n nS n n += − + + + − +     2 3 1 1 12(1 2 )2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 21 2 n n n n n nS n n n+ + +−= + + + + − = − = − − −−    BA sin2sin3 = ba 23 =∴ 22tan =C 3 1cos =∴ C 222222 cos2 32cos2 bCaabaCabbac =⋅−+=−+= cb = ABC∆ 3 22sin,22tan =∴= CC ABC∆ 223 22 2 3 2 1sin2 1 2 =⋅⋅== aCabS 2=a xCD = xBD 3= ( ) 3 1423 222 ⋅−+= xxx 12 731+−=x CD 12 731+−=x )(Ι ( ) ( )0,ln2 2 >−= kxkxxf ( ) x kx x kxxf −=−=′ 2 ( ) 0=′ xf kx = ∴ x ( )xf ′ ( )xf ( )+∞,0所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； 在 处取得极小值 .无极大值 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在区间 上的最小值为 . 因为 存在零点，所以 ，从而 . 当 时， 在区间 上单调递减，且 ， 所以 是 在区间 上的唯一零点. 当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ， 所以 在区间 上仅有一个零点. 综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点. 21．【解】（1）设切点为 ，则有 。又 ，解 得 ，从而 。 （2）当 时， 在 上是增函数，而 不成立，故 ，又知 的最大值为 ，要使 恒成立，则 即可， 即 ，得 . （3）由（2）知，当 时，有 在 恒成立，且 在 上是减函数， ，即 ，在 上恒成立，令 ，则 ， 即 ，从而 ， 得证. ( )f x (0, )k ( , )k +∞ ( )f x x k= (1 ln )( ) 2 k kf k −= ( )f x (0, )+∞ (1 ln )( ) 2 k kf k −= ( )f x (1 ln ) 02 k k− ≤ k e≥ k e= ( )f x (1, )e ( ) 0f e = x e= ( )f x (1, ]e k e> ( )f x (0, )e 1(1) 02f = > ( ) 02 e kf e −= < ( )f x (1, ]e ( )f x ( )f x (1, ]e ( )1, 00 −xx 1ln1 000 +−=+ kxxx ( ) 11 0 0 =−=′ kxxf ex 1 0 = 1−= ek 0≤k ( )xf ( )+∞,0 ( ) ,011 >−= kf ( ) 0≤xf 0>k ( )xf      kf 1 ( ) 0≤xf 01 ≤     kf 0ln ≤− k 1≥k 1=k ( ) 0≤xf ( )+∞,0 ( )xf ( )+∞,1 ( ) 01 =f 1ln −< xx [ )+∞∈ ,2x 2nx = 1ln 22 −< nn ( )( )11ln2 +−< nnn 2 1 1 ln −