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山大附中 2019～2020 学年第一学期期中考试
高二年级数学试题（理）
考试时间：90 分钟 满分：100 分
一．选择题：(本题有 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分)
1．直线 的倾斜角大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ,
， ,则下列叙述正确的是( )
A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形
C．原图形的面积是 D．原图形的面积是
3.已知 ， ，则直线 不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．点 ， ，直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是
( )
A． 或 B．
C． D． 或
6．如图，在四面体 中，点 分别是棱 的中点，
截面 是正方形，则下列结论错误的为( )
A. B. 截面
C. D.异面直线 与 所成的角为 45°
7．已知点 ， ，若直线 过原点，且 、 两点
到直线 的距离相等， 则直线 的方程为( )
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
8．在直三棱柱 中， ， ，则点 到平面
的距离为( )
A． B． C． D．
O A B C′ ′ ′ ′
2O C′ ′ = 30A O C °′ ′ ′∠ =
8 2 8 3
3 1 0x y− + =
6
π 5
6
π 2
3
π
3
π
4O A′ ′ =
0ab > 0bc < 0ax by c+ + =
l ,α β
/ /l α / /l β / /α β l α⊥ l β⊥ / /α β
l α⊥ / /l β / /α β α β⊥ / /l α l β⊥
( )3,2A − ( )3,2B 1 0ax y− − = AB a
1a ≥ 1a ≤ − 1 1a− ≤ ≤
4 1
3 2a− ≤ ≤ 4
3a ≥ 1
2a ≤
ABCD P Q M N、 、 、 AB BC CD AD、 、 、
PQMN
AC CD= / /AC PQMN
AC BD⊥ PM BD
( )1,2A − ( )1,4B l A B
l l
y x= 1
2y x= y x= 0y =
y x= 4y x= − y x= 0x =
1 1 1ABC A B C− 2AB AC BC= = = 1 1AA = A 1A BC
3
4
3
2
3 3
4 32（共 4 页）
9．用一块圆心角为 、半径为 的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不
计），则该容器的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．当点 到直线 的距离最大时， 的值为（ ）
A.3 B.0 C. D.1
11．如图，在棱长为 的正方体 中, 为 的中点, 为 上
任意一点, 为 上任意两点,且 的长为定值,则下面四个值中不为定值
的是（ ）
A．点 到平面 的距离
B．直线 与平面 所成的角
C．三棱锥 的体积
D．二面角 的大小
12．在棱长为 的正方体 中， 点 分别是棱 的中点，
过 三点作该正方体的截面，则截面多边形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题：(本题有 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分)
13．圆台的两个底面面积之比为 ，母线与底面的夹角是 ，轴截面的面积为
，则圆台的侧面积为 .
14. 正三棱柱的底面边长为 2，高为 2，则它的外接球表面积为 ．
15.平行六面体 中，棱 的长均为 1，
则对角线 的长为________.
4
3
π
R
34 5
81
Rπ 34 5
27
Rπ 33
27
Rπ 34 3
27
Rπ
(3,2)P 1 2 0mx y m− + − = m
1−
a 1111 DCBAABCD − P 11DA Q 11BA
FE、 CD EF
P QEF
PQ PEF
QEFP −
QEFP −−
6 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1 1 1,C D B C
, ,A E F
10 3 2 4 10+ + 18 3 2+
6 5 9 2+ 6 13 3 2+
4:9 60
180 3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB AD AA、 、
1 1= = = 3A AD A AB DAB
π∠ ∠ ∠ ， 1AC
C1
D1
B1
A1
C
D
A B
E F
Q
P3（共 4 页）
16．若点 为直线 上的动点，则 的最小值__．
17．如图所示，在正方体 中， 分别是棱 的中点，
的顶点 在棱 与棱 上运动，有以下四个命题：
①平面 ；
②平面 ；
③ 在底面 上的射影图形的面积为定值；
④ 在侧面 上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是___________
三．解答题：（本题有 4 个小题，共 44 分，请将推理、计算过程写在答题卡上。）
18．（本小题满分 10 分）己知直线 与直线 交于点 ．
（1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程；
（2）求过点 并且在两坐标轴上截距相等的直线 方程.
（注:结果都写成直线方程的一般式）
19. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 如 图 ， 在 中 ， ， 斜 边
． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．
动点 在斜边 上．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的最大角的正切值．
Rt AOB△ π
6OAB∠ =
4AB = Rt AOC△ Rt AOB△ AO
B AO C− −
D AB
COD ⊥ AOB
CD AOB
( ),M m n :3 4 2 0l x y+ + = 2 2m n+
1 1 1 1ABCD A B C D− M N、 1AB CC、
1MB P∆ P 1CC 1 1C D
1 1MB P ND⊥
1 1 1MB P ND A⊥
1MB P∆ ABCD
1MB P∆ 1 1DD C C
2 1 0x y− − = 2 +1 0x y− = P
P 3 4 15 0x y+ − = 1l
P 2l
O
C
A
D
B4（共 4 页）
20．（本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ，
与 是边长为 的等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且
点 在平面 上的射影落在 的平分线上．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
21．（本小题满分 12 分）如图 1，四棱锥 中， 底面 ，面
是直角梯形， 为侧棱 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图 2 所
示．
（1）证明： 平面 ；
（2）线段 上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ？若存在，
找到所有符合要求的点 ，并求 的长；若不存在，说明理由．
⊥ACD ABC ACD∆
ACB∆ 2 2=BE BE ABC °60
E ABC ABC∠
//DE ABC
ABCE −−
ABCDP − ⊥PD ABCD ABCD
M PD
⊥BC PBD
CD N AM BN 4
3
N CN5（共 4 页）
山大附中 2019～2020 学年第一学期期中考试
高二年级数学试题(理)评分细则
考试时间：90 分钟 满分：100 分
一、选择题（3×12=36 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C C B A A D B A C B D
二、填空题（4×5=20 分）
13. 14. 15. 16.
17. ②③
三.解答题（满分 44 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
18. （本小题满分 10 分）己知直线 与直线 交于点 ．
（1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程；
（2）求过点 并且在两坐标轴上截距相等的直线 方程.
（注:结果都写成直线方程的一般式）
18.解：
联立 ，解得 ，得点 ． ……………1 分
（1）设平行于直线 的直线 的方程为 ，
把 代入可得： 解得 ． ……………3 分
∴过点 且平行于直线 的直线 的方程为 ．
……………4 分
（2）当直线 经过原点时，可得方程为： ． ……………6 分
当直线 不过原点时，可设方程为： 把 代入可得 可得
……………8 分
∴直线 的方程为 ……………9 分
综上可得：直线 的方程为 或 ……………10 分
19．（本小题满分 10 分）
如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过
以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角．动点 在斜边 上．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的最大角的正切值．
3
28π 6
4
25
Rt AOB△ π
6OAB∠ = 4AB = Rt AOC△ Rt AOB△
AO B AO C− − D AB
COD ⊥ AOB
CD AOB
360π
2 1 0x y− − = 2 +1 0x y− = P
P 3 4 15 0x y+ − = 1l
P 2l
2 1 0
2 +1 0
x y
x y
− − =
− =
1
1
x
y
=
=
(1,1)P
3 4 15 0x y+ − = 1l 3 4 + 0x y m+ =
(1,1)P 3 4+ 0m+ = ， 7m = −
P 3 4 15 0x y+ − = 1l 3 4 7 0x y+ − =
2l y x=
2l + ,x y a= (1,1)P 1 1 ,a+ = 2.a =
2l + 2.x y =
2l + 2 0x y − = 0.x y− =
O
C
A
D
B6（共 4 页）
19.解：（1）证明：由题意，
∴ 是二面角 的平面角， ……………1 分
又二面角 是直二面角，
∴ ， ……………2 分
又∵ ，
∴ 平面 。 ……………4 分
（2）解：由（1）知， 平面 ，
∴ 是 与平面 所成的角， ……………5 分
且 ， ……………6 分
当 最小时， 最大， ……………7 分
这时， ，垂足为 ， ……………9 分
∴ 与平面 所成的角最时的正切值为 . ……………10 分
20. （本小题满分 12 分）
在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为
的等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的
射影落在 的平分线上．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意知， ， 都是边长为 2 的等边三角形，取 中点 ，
连接 ，则 ， ，……………………2 分
又∵平面 ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，作 ⊥平面 ，
那么 ，根据题意，点 落在 上，
∴ ，易求得 ，…………4 分
∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 …………6 分
（2）解法一：作 ，垂足为 ，连接 ，
∵ ⊥平面 ，∴ ，又 ，
∴ 平面 ，∴ ，
∴ 就是二面角 的平面角．…………9 分
中， ， ， ．
,CO AO⊥ ,BO AO⊥
BOC∠ B AO C− −
B AO C− −
CO BO⊥
BO AO O=
CO ⊥ AOB
CO ⊥ AOB
CDO∠ CD AOB
2tan OCCDO OD OD
∠ = =
OD CDO∠
OD AB⊥ D 3.OA OBOD AB
⋅= =
2 3tan 3CDO∠ =
CD AOB
⊥ACD ABC ACD∆ ACB∆ 2
2=BE BE ABC °60 E ABC
ABC∠
//DE ABC
ABCE −−
ABC∆ ACD∆ AC O
DOBO, ACBO ⊥ ACDO ⊥
ACD ABC DO ABC EF ABC
DOEF // F BO
°=∠ 60EBF 3== DOEF
DEFO OFDE // //DE ABC
BCFG ⊥ G EG
EF ABC BCEF ⊥ FFGEF =⊥BC EFG BCEG ⊥
EGF∠ ABCE −−
EFGRt∆
2
130sin =°⋅= FBFG 3=EF 2
13=EG7（共 4 页）
∴ ．即二面角 的余弦值为 .………12 分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，可知平面 的一个法向量为
………………7 分
设平面 的一个法向量为
则， 可求得 ． ………………9 分
所以 ， ………………11 分
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
所以二面角 的余弦值为 ． ………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
如图 1，四棱锥 中， 底面 ，面 是直角梯形， 为侧棱
上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图 2 所示．
（1）证明： 平面 ；
（2）线段 上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ？若存在，找到
所有符合要求的点 ，并求 的长；若不存在，说明理由．
21.解：（1）证明：由俯视图可得， ，
13
13cos ==∠
EG
FGEGF ABCE −−
13
13
xyzO − ABC
)1,0,0(1 =n
BCE ),,(2 zyxn =
=⋅
=⋅
0
0
2
2
BEn
BCn )1,3,3(2 −=n
13
13
||||
,cos
21
21
21 =
⋅
⋅>=<
nn
nnnn
ABCE −−
13
13
ABCDP − ⊥PD ABCD ABCD M
PD
⊥BC PBD
CD N AM BN 4
3
N CN
2 2 2BD BC CD+ =8（共 4 页）
所以 ． …………2 分
又因为 平面 ，
所以 ， …………3 分
所以 平面 ． …………4 分
（2）解：线段 上存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ．
证明如下：
因为 平面 ， ，所以 两两垂直，建立如图所示的
空间直角坐标系．
…………5 分
所以 ．
设 ，其中 ． …………6 分
所以 ， ． …………7 分
要使 与 所成角的余弦值为 ，则有 ， …………9 分
所以 ，解得 或 ， …………11 分
均适合 ．
故点 位于 点处，此时 ；或 中点处，此时 ，有 与 所成
角的余弦值为 ． …………12 分
BDBC ⊥
⊥PD ABCD
PDBC ⊥
BDPD
⊥BC PBD
CD N AM BN 4
3
⊥PD ABCD DCDA ⊥ DA DC DP、 、
)3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0( MCBAD
)0,,0( tN 40 ≤≤ t
)3,0,3(−=AM )0,1,3( −−= tBN
AM BN 4
3 | | 3
4| || |
AM BN
AM BN
⋅ =
4
3
)1(332
|3|
2
=
−+⋅ t
0=t 2
40 ≤≤ t
N D 4CN = CD 2CN = AM BN
4
3
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