山西大学附中2019-2020高二上学期期中考试数学（文）（Word版带答案）.docx

1（共 4 页） 山大附中 2019～2020 学年第一学期期中考试 高二年级数学试题（文） 考试时间：90 分钟 满分：100 分 一．选择题：(本题有 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分) 1．直线 的倾斜角大小是（ ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 , ， ,则下列叙述正确的是( ) A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 C．原图形的面积是 D．原图形的面积是 3.已知 ， ，则直线 不通过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 5．点 ， ，直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是 ( ) A． 或 B． C． D． 或 6．如图，在四面体 中，点 分别是棱 的中点， 截面 是正方形，则下列结论错误的为(　　) A. B. 截面 C. D.异面直线 与 所成的角为 45° 7．已知点 ， ，若直线 过原点，且 、 两点 到直线 的距离相等， 则直线 的方程为( ) A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 8．在直三棱柱 中， ， ，则点 到平面 的距离为( ) A． B． C． D． O A B C′ ′ ′ ′ 2O C′ ′ = 30A O C °′ ′ ′∠ = 8 2 8 3 3 1 0x y− + = 6 π 5 6 π 2 3 π 3 π 4O A′ ′ = 0ab > 0bc < 0ax by c+ + = l ,α β / /l α / /l β / /α β l α⊥ l β⊥ / /α β l α⊥ / /l β / /α β α β⊥ / /l α l β⊥ ( )3,2A − ( )3,2B 1 0ax y− − = AB a 1a ≥ 1a ≤ − 1 1a− ≤ ≤ 4 1 3 2a− ≤ ≤ 4 3a ≥ 1 2a ≤ ABCD P Q M N、 、 、 AB BC CD AD、 、 、 PQMN AC CD= / /AC PQMN AC BD⊥ PM BD ( )1,2A − ( )1,4B l A B l l y x= 1 2y x= y x= 0y = y x= 4y x= − y x= 0x = 1 1 1ABC A B C− 2AB AC BC= = = 1 1AA = A 1A BC 3 4 3 2 3 3 4 32（共 4 页） 9．用一块圆心角为 、半径为 的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不 计），则该容器的体积为（　　） A． B． C． D． 10．当点 到直线 的距离最大时， 的值为（ ） A.3 B.0 C. D.1 11．正方体 中， 分别是棱 和 上的点， ，那么正方体中过 的截面图形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 12．如图，在棱长为 的正方体 中, 为 的中点, 为 上任意一点, 为 上任意两点,且 的长为定值,则下面四个值 中不为定值的是（ ） A．点 到平面 的距离 B．直线 与平面 所成的角 C．三棱锥 的体积 D．二面角 的大小 二．填空题：(本题有 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分) 13．圆台的两个底面面积之比为 ，母线与底面的夹角是 ，轴截面的面积为 ，则圆台的侧面积为 . 14. 正三棱柱的底面边长为 2，高为 2，则它的外接球表面积为　　　　　　． 15．空间中点 关于 轴的对称点 ，点 ，则 连线的长度 为 . 4 3 π R 34 5 81 Rπ 34 5 27 Rπ 33 27 Rπ 34 3 27 Rπ (3,2)P 1 2 0mx y m− + − = m 1− 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1DD 1BB 1 1 1 1,3 3MD DD NB BB= = 1, ,M N C a 1111 DCBAABCD − P 11DA Q 11BA FE、 CD EF P QEF PQ PEF QEFP − QEFP −− 4:9 60 180 3 ( )3,3,1A X A′ ( )1,1,5B − A B′、 C1 D1 B1 A1 C D A B E F Q P3（共 4 页） 16．若点 为直线 上的动点，则 的最小值为________． 17．如图所示，在正方体 中， 分别是棱 的中点， 的顶点 在棱 与棱 上运动，有以下四个命题： ①平面 ； ②平面 ； ③ 在底面 上的射影图形的面积为定值； ④ 在侧面 上的射影图形是三角形． 其中正确的命题序号是___________. 三．解答题：（本题有 4 个小题，共 44 分，请将推理、计算过程写在答题卡上。） 18．（本小题满分 10 分）己知直线 与直线 交于点 ． （1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程； （2）求过点 并且在两坐标轴上截距相等的直线 方程. （注:结果都写成直线方程的一般式） 19. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 如 图 ， 在 中 ， ， 斜 边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角． 动点 在斜边 上． （1）求证：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的最大角的正切值． Rt AOB△ π 6OAB∠ = 4AB = Rt AOC△ Rt AOB△ AO B AO C− − D AB COD ⊥ AOB CD AOB ( ),M m n :3 4 2 0l x y+ + = 2 2m n+ 1 1 1 1ABCD A B C D− M N、 1AB CC、 1MB P∆ P 1CC 1 1C D 1 1MB P ND⊥ 1 1 1MB P ND A⊥ 1MB P∆ ABCD 1MB P∆ 1 1DD C C 2 1 0x y− − = 2 +1 0x y− = P P 3 4 15 0x y+ − = 1l P 2l O C A D B4（共 4 页） 20．（本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为 的等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且 点 在平面 上的射影落在 的平分线上． （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥体 的体积． 21．（本小题满分 12 分）如图 1，四棱锥 中， 底面 ，面 是直角梯形， 为侧棱 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图 2 所 示． （1）证明： 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ？若存在， 找到所有符合要求的点 ，并求 的长；若不存在，说明理由． ⊥ACD ABC ACD∆ ACB∆ 2 2=BE BE ABC °60 E ABC ABC∠ //DE ABC A CDE− ABCDP − ⊥PD ABCD ABCD M PD ⊥BC PBD CD N AM BN 4 3 N CN5（共 4 页） 山大附中 2019～2020 学年第一学期期中考试 高二年级数学试题(文)评分细则 考试时间：90 分钟 满分：100 分 一、选择题（3×12=36 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C C B A A D B A C C B 二、填空题（4×5=20 分） 13. 14. 15. 16. 17. ②③ 三.解答题（满分 44 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分 10 分）己知直线 与直线 交于点 ． （1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程； （2）求过点 并且在两坐标轴上截距相等的直线 方程. （注:结果都写成直线方程的一般式） 18.解： 联立 ，解得 ，得点 ． ……………1 分 （1）设平行于直线 的直线 的方程为 ， 把 代入可得： 解得 ． ……………3 分 ∴过点 且平行于直线 的直线 的方程为 ． ……………4 分 （2）当直线 经过原点时，可得方程为： ． ……………6 分 当直线 不过原点时，可设方程为： 把 代入可得 可得 ……………8 分 ∴直线 的方程为 ……………9 分 综上可得：直线 的方程为 或 ……………10 分 19．（本小题满分 10 分） 如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角．动点 在斜边 上． （1）求证：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的最大角的正切值． 3 28π 4 25 Rt AOB△ π 6OAB∠ = 4AB = Rt AOC△ Rt AOB△ AO B AO C− − D AB COD ⊥ AOB CD AOB 360π 2 17 2 1 0x y− − = 2 +1 0x y− = P P 3 4 15 0x y+ − = 1l P 2l 2 1 0 2 +1 0 x y x y − − =  − = 1 1 x y =  = (1,1)P 3 4 15 0x y+ − = 1l 3 4 + 0x y m+ = (1,1)P 3 4+ 0m+ = ， 7m = − P 3 4 15 0x y+ − = 1l 3 4 7 0x y+ − = 2l y x= 2l + ,x y a= (1,1)P 1 1 ,a+ = 2.a = 2l + 2.x y = 2l + 2 0x y − = 0.x y− = O C A D B6（共 4 页） 19.解：（1）证明：由题意， ∴ 是二面角 的平面角， ……………1 分 又二面角 是直二面角， ∴ ， ……………2 分 又∵ ， ∴ 平面 。 ……………4 分 （2）解：由（1）知， 平面 ， ∴ 是 与平面 所成的角， ……………5 分 且 ， ……………6 分 当 最小时， 最大， ……………7 分 这时， ，垂足为 ， ……………9 分 ∴ 与平面 所成的角最时的正切值为 . ……………10 分 20. （本小题满分 12 分） 在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为 的等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的 射影落在 的平分线上． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意知， ， 都是边长为 2 的等边三角形，取 中点 ， 连接 ，则 ， ， ……………………2 分 又∵平面 ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，作 ⊥平面 ， 那么 ，根据题意，点 落在 上， ∴ ，易求得 ，…………4 分 ∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ………6 分 （2）因为 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 所以 平面 ,即 平面 , …………7 分 由（1）知， 故 . …………9 分 ,CO AO⊥ ,BO AO⊥ BOC∠ B AO C− − B AO C− − CO BO⊥ BO AO O= CO ⊥ AOB CO ⊥ AOB CDO∠ CD AOB 2tan OCCDO OD OD ∠ = = OD CDO∠ OD AB⊥ D 3.OA OBOD AB ⋅= = 2 3tan 3CDO∠ = CD AOB ⊥ACD ABC ACD∆ ACB∆ 2 2=BE BE ABC °60 E ABC ABC∠ //DE ABC ABCE −− ABC∆ ACD∆ AC O DOBO, ACBO ⊥ ACDO ⊥ ACD ABC DO ABC EF ABC DOEF // F BO °=∠ 60EBF 3== DOEF DEFO OFDE // //DE ABC ACBO ⊥ ⊥ACD ABC BO ⊂ ABC ABC  ,ACD AC= BO ⊥ ACD FO ⊥ ACD / / ,FE DO 1 3A CDE E ACD F ACD ACDV V V S FO− − − ∆= = = ⋅7（共 4 页） 又 ， …………10 分 . …………11 分 …………12 分 21．（本小题满分 12 分） 如图 1，四棱锥 中， 底面 ，面 是直角梯形， 为侧棱 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图 2 所示． （1）证明： 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ？若存在，找到 所有符合要求的点 ，并求 的长；若不存在，说明理由． 21.解：（1）证明：由俯视图可得， ， 所以 ． …………2 分 又因为 平面 ， 所以 ， …………3 分 所以 平面 ． …………4 分 （2）解：线段 上存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ． 证明如下： ABCDP − ⊥PD ABCD ABCD M PD ⊥BC PBD CD N AM BN 4 3 N CN 2 2 2BD BC CD+ = BDBC ⊥ ⊥PD ABCD PDBC ⊥ BDPD ⊥BC PBD CD N AM BN 4 3 23= 2 = 34ACDS∆ × 3 1= cos60 2 2 3 12 2FO OB BF− × = × − × = − 1 33 ( 3 1) 13 3A CDEV −∴ = × × − = −8（共 4 页） 因为 平面 ， ，所以 两两垂直，建立如图所示的 空间直角坐标系． …………5 分 所以 ． 设 ，其中 ． …………6 分 所以 ， ． …………7 分 要使 与 所成角的余弦值为 ，则有 ， …………9 分 所以 ，解得 或 ， …………11 分 均适合 ． 故点 位于 点处，此时 ；或 中点处，此时 ，有 与 所成 角的余弦值为 ． …………12 分 ⊥PD ABCD DCDA ⊥ DA DC DP、 、 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0( MCBAD )0,,0( tN 40 ≤≤ t )3,0,3(−=AM )0,1,3( −−= tBN AM BN 4 3 | | 3 4| || | AM BN AM BN ⋅ =     4 3 )1(332 |3| 2 = −+⋅ t 0=t 2 40 ≤≤ t N D 4CN = CD 2CN = AM BN 4 3