中考一轮基础复习试卷专题十六：等腰三角形与直角三角形.docx

备考2018年中考数学一轮基础复习：专题十六 等腰三角形与直角三角形 一、单选题（共15题；共30分）‎ ‎1.（2017•聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（   ）‎ ‎ ‎ A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个 ‎2.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A，点B为圆心，大于 ‎1‎‎2‎ AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（   ） ‎ A. 1.5                                        B. 2                                        C. 2.4                                        D. 2.5‎ ‎3.（2017•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（   ） ‎ ‎ ‎ A. ‎3‎‎2‎                                          B. ‎4‎‎3‎                                          C. ‎5‎‎3‎                                          D. ‎‎8‎‎5‎ ‎4.（2017•包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（   ） ‎ A. 2cm                                     B. 4cm                                     C. 6cm                                     D. 8cm ‎5.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（   ）‎ ‎ ‎ A. ∠ECD=112.5°                   B. DE平分∠FDC                   C. ∠DEC=30°                   D. AB= ‎2‎ CD 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论： ① DEBC‎=‎‎1‎‎2‎ ；② S‎△ODES‎△COB‎=‎‎1‎‎2‎ ；③ OEOB‎=‎‎1‎‎2‎ ；④ S‎△ODES‎△OEC‎=‎‎1‎‎2‎ 其中正确的个数有（   ） ‎ A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 ‎7.（2017•大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（   ）‎ ‎ ‎ A. 2a                                     B. 2 ‎2‎ a                                     C. 3a                                     D. ‎‎4‎‎3‎‎3‎a ‎8.（2017•毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（   ）‎ ‎ ‎ A. △AEE′是等腰直角三角形         B. AF垂直平分EE'         C. △E′EC∽△AFD         D. △AE′F是等腰三角形 ‎9.（2017•河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（   ） ‎ A. 3                                           B. 4                                           C. 8                                           D. 9‎ ‎10.（2017•荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（   ）‎ ‎ ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 30°                                       B. 45°                                       C. 50°                                       D. 75°‎ ‎11.（2017•天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（   ） ‎ A. BC                                        B. CE                                        C. AD                                        D. AC ‎12.（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（   ） ‎ A. ‎5‎‎2‎                                        B. ‎8‎‎3‎                                        C. ‎10‎‎3‎                                        D. ‎‎15‎‎4‎ ‎13.（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（   ） ‎ A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7‎ ‎14.（2017•泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（   ）‎ ‎ ‎ A. 18                                       B. ‎109‎‎5‎                                       C. ‎96‎‎5‎                                       D. ‎‎25‎‎3‎ ‎15.（2017•无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（   ）‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. 2                                          B. ‎5‎‎4‎                                          C. ‎5‎‎3‎                                          D. ‎‎7‎‎5‎ 二、填空题（共6题；共6分）‎ ‎16.（2017•长春）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为________． ‎ ‎17.（2017•绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= ‎1‎‎2‎ BC，则△ABC的顶角的度数为________． ‎ ‎18.（2017•青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．‎ ‎ ‎ ‎19.（2017•东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（2017•宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME= ‎1‎‎3‎ DM．当AM⊥BM时，则BC的长为________． ‎ ‎21.（2017•抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1 ， 在C1C2的延长线上取点C3 ， 使D1C3=D1C1 ， 连接D1C3 ， 以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2 ， 在C2C3的延长线上取点C4 ， 使D2C4=D2C2 ， 连接D2C4 ， 以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1 ， A2 ， A3 ， …都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2 ， △A2C2C3 ， △A3C3C4 ， …，△AnCnCn+1的周长和为________．（n≥2，且n为整数） ‎ 三、综合题（共4题；共34分）‎ ‎22.（2017•宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足． ‎ ‎（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； ‎ ‎（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值． ‎ ‎23.（2017•连云港）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F． ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由； ‎ ‎（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC． ‎ ‎24.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4， ‎ ‎（1）试说明△ABC是等腰三角形； ‎ ‎（2）已知S△ABC=40cm2 ， 如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ‎ ‎25.在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= ‎1‎‎3‎ AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点． ‎ ‎（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为________． ‎ ‎（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2， ①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为________； ②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；________ ③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 A‎'‎BA‎'‎N 的值．________ ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】B ‎ ‎2.【答案】D ‎ ‎3.【答案】A ‎ ‎4.【答案】A ‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎7.【答案】B ‎ ‎8.【答案】D ‎ ‎9.【答案】C ‎ ‎10.【答案】B ‎ ‎11.【答案】B ‎ ‎12.【答案】C ‎ ‎13.【答案】D ‎ ‎14.【答案】B ‎ ‎15.【答案】D ‎ 二、填空题 ‎16.【答案】10 ‎ ‎17.【答案】30°或150°或90° ‎ ‎18.【答案】32 ‎ ‎19.【答案】25 ‎ ‎20.【答案】8 ‎ ‎21.【答案】‎2‎n‎-1‎‎2‎n-1‎ ‎ 三、综合题 ‎22.【答案】（1）解：连接AP，过C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵S△ABC=S△ABP+S△ACP ， ∴ ‎1‎‎2‎ AB•CD= ‎1‎‎2‎ AB•PM+ ‎1‎‎2‎ AC•PN， ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴PM+PN=CD， 即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）解：设BP=x，则CP=2﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵PM⊥AB，PN⊥AC， ∴BM= ‎1‎‎2‎ x，PM= ‎3‎‎2‎ x，CN= ‎1‎‎2‎ （2﹣x），PN= ‎3‎‎2‎ （2﹣x）， ∴四边形AMPN的面积= ‎1‎‎2‎ ×（2﹣ ‎1‎‎2‎ x）• ‎3‎‎2‎ x+ ‎1‎‎2‎‎×‎ [2﹣ ‎1‎‎2‎ （2﹣x）]• ‎3‎‎2‎ （2﹣x）=﹣ ‎3‎‎4‎ x2+ ‎3‎‎2‎ x+ ‎3‎‎2‎ =﹣ ‎3‎‎4‎ （x﹣1）2+ ‎3‎‎3‎‎4‎ ， ∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是 ‎3‎‎3‎‎4‎ ‎ ‎23.【答案】（1）解：∠ABE=∠ACD； 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD； （2）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 由（1）可知∠ABE=∠ACD， ∴∠FBC=∠FCB， ∴FB=FC， ∵AB=AC， ∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC． ‎ ‎24.【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x， 则AB=5x， 在Rt△ACD中，AC= =5x， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形 （2）解：S△ABC= ×5x×4x=40cm2 ， 而x＞0， ∴x=2cm， 则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm． ①当MN∥BC时，AM=AN， 即10﹣t=t， ∴t=5； 当DN∥BC时，AD=AN， 得：t=6； ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6 ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE； 当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形 当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能． 如果DE=DM，则t﹣4=5， ∴t=9； 如果ED=EM，则点M运动到点A， ∴t=10； 如果MD=ME=t﹣4， 过点E做EF垂直AB于F， 因为ED=EA， 所以DF=AF= AD=3， 在Rt△AEF中，EF=4； 因为BM=t，BF=7， 所以FM=t﹣7 则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42 ， ∴t= ． 综上所述，符合要求的t值为9或10或 ‎ ‎25.【答案】（1）‎13‎ （2）1；解：②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB， ∵∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠CAB=30°， ∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN， ∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，； ∴∠AMN=∠ANM=60°， ∴AM=AN， ∴AM=A′M=AN=A′N， ∴四边形AM A′N是菱形；；③在菱形ABCD中，AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD=60°， ∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB， ∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°， ∴∠NA′B=∠DMA′， ∴△DMA′∽△BA′N， ∴ DMA‎'‎M = A‎'‎BA‎'‎N ， ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵MD= ‎1‎‎3‎ AD=1，A′M=2， ∴ A‎'‎BA‎'‎N = ‎1‎‎2‎ ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ ‎ ‎ ‎