数学（理科）试题
第 I 卷（选择题)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有一项是
符合要求的.
1．已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 z 的实部为 3 B．复数 z 的共轭复数为：
C．复数 z 部虚部为： D．复数 z 的模为 5
3．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4．记 为等比数列 的前 n 项和，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018 年全年总收入与 2017 年全年总收
入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给
出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）
A．该企业 2018 年设备支出金额是 2017 年设备支出金额的一半
B．该企业 2018 年支付工资金额与 2017 年支付工资金额相等
{ }2 3 4| 0A x x x= − − ≤ { }2| 2B x x= − < ≤ A B
{ }1| 4x x− ≤ ≤ { }| 2 4x x− ≤ ≤
{ }2| 1x x− ≤ ≤ { }1| 2x x− ≤ ≤
1
3 4z i
= +
3 4
25 25i+
4
25i−
0.32=a 20.3b = ( )2log 0.3mc m= + ( 1)>m a b c
a b c< < b a c< < c b a< < b c a< <
nS { }na 2 3
8
9a a = 5
16
3a =
2
3
n
na = 13 −= n
na 3 1
2
n
nS
−= 2 1
3
n
nS
−=C．该企业 2018 年用于研发的费用是 2017 年用于研发的费用的五倍
D．该企业 2018 年原材料的费用是 2017 年原材料的费用的两倍
6．函数 的图象可能是下面的图象（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ，则 的值等于（ ）
A． 或 B． C． D．
9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为 ， ， ， ，只有通过前一
关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节
目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）
( ) ( )2
3
ln 4 4
( 2)
x x
f x x
− +
= −
4k = s =
3
4
4
5
5
6
6
7
( ) 3
2
log , 0
, 0
x xf x x x
>= ≤
( ) ( )1 2f f a− = a
3 2
2
− 3 2
2
− 2
2
±
5
6
4
5
3
5
1
2A． B． C． D．
10．关于函数 有下述三个结论：
①函数 的图象既不关于原点对称，也不关于 轴对称；
②函数 的最小正周期为 ；
③ ， ．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设椭圆 ： 的两焦点分别为 ， ，以 为圆心， 为半
径的圆与 交于 ， 两点，若 为直角三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，方程 有 4 个不同的实数根，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．函数 的图象在点 处的切线方程是 _________．
14．已知平面向量 满足 ，且 ，则 ________．
15．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国
学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能
排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有_________种．
16．已知四面体 内接于球 O，且 ，若四面体 的体积为
7
25
2
5
12
25
14
25
( ) sin cos2 2
x xf x = +
( )f x y
( )f x π
0x∃ ∈R ( )0 2 1f x = −
E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F 1F 1 2F F
E P Q 1 2PF F∆ E
5 1
2
−
2 1− 2
2 2 1+
( )
2 4 , 0
, 0
x
x x x
f x e xx
+ ≤= >
( ) 0f x ax− = a
2
,44
e
,44
e
,4
e +∞
2
,4
e +∞
( ) sin (1 cos )= + −f x x x x ( )π, (π)f
,a b ( ) 3b a b⋅ + = 1, 2a b= = a b+ =
ABCD 2, 2AB BC AC= = = ABCD，球心 O 恰好在棱 DA 上，则球 O 的表面积是_________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21 题为必答题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 的外接圆的半径为 ，面积为 ，求 的周长．
18．（12 分）某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2 小时内（含 2 小时）每辆每次
收费 5 元；超过 2 小时不超过 5 小时，每增加一小时收费增加 3 元，不足一小时的按一小时
计费；超过 5 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 15 元封顶．超过 24 小时，按前述标准重
新计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计 1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天
内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：
T（小时）
频数（车次）
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．
（1）X 表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率分布列及期望 ；
（2）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用少于 的车辆数，
求 的概率．
19．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，
为正三角形，且侧面 底面 ， 为线段 的中点， 在线段 上．
（1）当 是线段 的中点时，求证： 平面 ；
2 3
3
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos 2a B c b= +
A∠
ABC∆ 2 3 3 3 ABC∆
( ]0,2 ( ]2,3 ( ]3,4 ( ]4,5 ( ]5,24
600 120 80 100 100
( )E X
ξ ( )E X
( 2)P ξ
P ABCD− ABCD 60ABC∠ = °
PAB△ PAB ⊥ ABCD E AB M PD
M PD PB∥ ACM（2）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ，若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
20．（12 分）已知点 是椭圆 C： 上的一点，椭圆 C 的离心率
与双曲线 的离心率互为倒数，斜率为 直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点，且 A、B、
D 三点互不重合．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 分别为直线 AB，AD 的斜率，求证： 为定值．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明：对任意的 , ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
以平面直角坐标系的原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐
标为 ，若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，
（ 为参数）．
（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 ．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
O M
(1,0) l 2 cos( ) 1 04
πρ θ + − = C
24
4
x m
y m
=
=
m
l C
l C ,A B 1 1
MA MB
+
M M EC D− − 60° PM
PD
( )1, 2A
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > >
2 2 1x y− = 2
1 2,k k 1 2k k+
( ) ( ) ( )2 2 lnf x x a x a x a R= − − − ∈
( )y f x=
1a = 0x > 2( ) 2xf x e x x+ > + +
Ra b c +∈， ， 2 2 2 1a b c+ + =
1ab bc ac+ + ≤
4 4 4
2 2 2 1a b c
c a b
+ + ≥数学（理科）参考答案
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
1．【答案】D
【解析】 ，则 ．
所以本题答案为 D．
2．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 z 的实部为 3 B．复数 z 的共轭复数为：
C．复数 z 部虚部为： D．复数 z 的模为 5
2．【答案】B
【解析】 ，则实部为 ，虚部为 ，共
轭复数为： ，模为 ．选 B．
3．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
3．【答案】B
【解析】B 根据指数函数的单调性可得： ，即 ， ，
即 ，由于 ，根据对数函数的单调性可得： ，即 ，
所以 ，故答案选 B.
4．记 为等比数列 的前 n 项和，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
{ }2 3 4| 0A x x x= − − ≤ { }2| 2B x x= − < ≤ A B
{ }1| 4x x− ≤ ≤ { }| 2 4x x− ≤ ≤
{ }2| 1x x− ≤ ≤ { }1| 2x x− ≤ ≤
{ } { }2| | 1 43 4 0A x x x x x= − − ≤ = − ≤ ≤ { }| 1 2A B x x= − ≤ ≤
1
3 4z i
= +
3 4
25 25i+
4
25i−
( )( )
1 3 4 3 4 3 4
3 4 3 4 3 4 25 25 25
i iz ii i i
− −= = = = −+ + −
3
25
4
25
3 4
25 25i+ 1
5
0.32=a 20.3b = ( )2log 0.3mc m= + ( 1)>m a b c
a b c< < b a c< < c b a< < b c a< <
0 0.3 12 2 2< < 1 2a< < 2 00 0.3 0.3 1< < =
1m > ( )2 2log 0.3 log 2m mm m+ > = 2>c
nS { }na 2 3
8
9a a = 5
16
3a =
2
3
n
na = 13 −= n
na 3 1
2
n
nS
−= 2 1
3
n
nS
−=4．【答案】D
【解析】设公比为 q，有 解得 则 ．故选 D．
5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018 年全年总收入与 2017 年全年总收
入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给
出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）
A．该企业 2018 年设备支出金额是 2017 年设备支出金额的一半
B．该企业 2018 年支付工资金额与 2017 年支付工资金额相当
C．该企业 2018 年用于研发的费用是 2017 年用于研发的费用的五倍
D．该企业 2018 年原材料的费用是 2017 年原材料的费用的两倍
5．【答案】C
【解析】由折线图可知：不妨设 2017 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t，
对于选项 A，该企业 2018 年设备支出金额为 0．2×2t＝0．4t，2017 年设备支出金额为 0．4×t
＝0．4t，故 A 错误，
对于选项 B，该企业 2018 年支付工资金额为 0．2×2t＝0．4t，2017 年支付工资金额为 0．2×t
＝0．2t，故 B 错误，
对于选项 C，该企业 2018 年用于研发的费用是 0．25×2t＝0．5t，2017 年用于研发的费用是
0．1×t＝0．1t，故 C 正确，
对于选项 D，该企业 2018 年原材料的费用是 0．3×2t＝0．6t，2017 年原材料的费用是 0．15×t
＝0．15t，故 D 错误，故选：C．
6．函数 的图象可能是下面的图象（ ）
2 3
1
4
1
8 ,9
16 ,3
a q
a q
=
=
1
1 ,3
2,
a
q
=
=
1 (1 2 ) 2 13
1 2 3
n
n
nS
− −= =−
( ) ( )2
3
ln 4 4
( 2)
x x
f x x
− +
= −A． B． C． D．
6．【答案】C
【解析】因为 ，所以函数 的图象关于点 对
称，排除 ．当 时， ，所以 ，排除 。选 。
7．执行如图所示程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
7．【答案】C
【解析】根据程序框图的循环语句可知
第一次循环， ，此时 ， ， ；
第二次循环， ，此时 ， ， ；
第三次循环， ，此时 ， ， ；
第四次循环， ，此时 ， ，
( ) ( )
( )
( )
( )
22
3 3
ln 4 4 ln 2
2 2
x x xf x
x x
− + −= =
− −
( )f x (2,0)
,A B 0x < ( ) ( )2 3ln 2 0, 2 0x x− > − < ( ) 0f x < D C
4k = s =
3
4
4
5
5
6
6
7
4, 0, 0k n s= = = n k≤ 1n = 1
1 2s = ×
14, 1, 1 2k n s= = = × n k≤ 2n = 1 1+1 2 2 3s = × ×
1 14, 2, +1 2 2 3k n s= = = × × n k≤ 3n = 1 1 1+ +1 2 2 3 3 4s = × × ×
1 1 14, 3, + +1 2 2 3 3 4k n s= = = × × × n k≤ 4n =；
第五次循环， ，此时 ， ，
；
第六次循环， ，不满足 ，循环停止，
输出
.故选 项．
8．已知函数 ，若 ，则 的值等于（ ）
A． 或 B． C． D．
8．【答案】A
【解析】由题意有 ，当 时，则 ，解得 ，
当 时，则 ，解得 ，综上可得 或 ，故选 A．
9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为 ， ， ， ，只有通过前一
关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节
目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．【答案】D
【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以 ,
第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，
所以 ．
所以该选手能进入第四关的概率为 ．故选：D
1 1 1 1+ + +1 2 2 3 3 4 4 5s = × × × ×
1 1 1 14, 3, + + +1 2 2 3 3 4 4 5k n s= = = × × × × n k≤ 5n =
1 1 1 1 1+ + + +1 2 2 3 3 4 4 5 5 6s = × × × × ×
4, 5k n= = n k≤
1 1 1 1 1+ + + +1 2 2 3 3 4 4 5 5 6s = × × × × ×
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
= − + − + − + − + −
5= 6 C
( ) 3
2
log , 0
, 0
x xf x x x
>= ≤
( ) ( )1 2f f a− = a
3 2
2
− 3 2
2
− 2
2
±
( ) 21 ( 1) 1f − = − = 0a > 32log 1a = 3a =
0a ≤ 22 1a = 2
2a = − 3a = 2
2a = −
5
6
4
5
3
5
1
2
7
25
2
5
12
25
14
25
1
5 4 3 2
6 5 5 5P = × × =
1
5 4 3 3 41 )6 5 5 5 25P = × × − × =（
5 4 3 5 4 3 3 1416 5 5 6 5 5 5 25
× × + × × − × = 10．关于函数 有下述三个结论：
①函数 的图象既不关于原点对称，也不关于 轴对称；
②函数 的最小正周期为 ；
③ ， ．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．【答案】B
【解析】依题意， ，
故函数 的图象关于 轴对称，故①错误；
因为
故 是函数 的一个周期，且当 时
，故②正确，③错误．故选 B．
11．设椭圆 ： 的两焦点分别为 ， ，以 为圆心， 为半
径的圆与 交于 ， 两点，若 为直角三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．【答案】B
【解析】如图所示，因为 为直角三角形，所以 ，
所以 ，则 ，解得 ，故选 B．
( ) sin cos2 2
x xf x = +
( )f x y
( )f x π
0x∃ ∈R ( )0 2 1f x = −
( ) ( )( ) sin cos sin cos ( )2 2 2 2
x x x xf x f x
− −− = + = + =
f x（ ） y
( ) sin cos cos sin ( )2 2 2 2 2 2
x x x xf x f x
π ππ + = + + + == + =
x π= f x（ ） [0, )x π∈
( ) sin cos 2 sin [1, 2]2 2 2 4
x x xf x
π = + = + ∈
E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F 1F 1 2F F
E P Q 1 2PF F∆ E
5 1
2
−
2 1− 2
2 2 1+
1 2PF F∆ 0
1 2 90PF F∠ =
1 22 , 2 2PF c PF c= = 2 2 2 2c c a+ = 2 1ce a
= = −
12．已知函数 ，方程 有 4 个不同的实数根，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．【答案】A
【解析】
由图像分析可知，当 时 应有两解，即 ，解得
，此时应满足 ，解得
当 ，若 与 图像相切，设切点坐标为 ，由
①，又 ，即 ②
联立①②可得 ， ， 综上所述， ．答案选 A
第 II 卷（非选择题)
( )
2 4 , 0
, 0
x
x x x
f x e xx
+ ≤= >
( ) 0f x ax− = a
2
,44
e
,44
e
,4
e +∞
2
,4
e +∞
0x ≤ ( ) 0f x ax− = 2 4 0x x ax+ − =
1 20, 4x x a= = − 4 4 0a− < − < ( )0,4a∈
0x > ( )g x ax= ( )f x ( )0 0,x y 00
0
2
0
0
xx
y ax
ax eey x
=
⇒ = =
( )0
0 2
0
1'
xe xf x ax
−= = ( )02
0 0 1xax e x= −
0 2x = 2
4
ea =
2
4
ea∴ >
2
,44
ea
∈ 二、填空题
13．函数 的图象在点 处的切线方程是 _________．
13．【答案】
【解析】 ，所以 ，切线方程为 ，即
．
14．已知平面向量 满足 ，且 ，则 ________．
14．【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，则 ，故答案为
．
15．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国
学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能
排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有______种．
15．【答案】504
【解析】第一种情况，当“射”排最后一位时，共有 种方法
第二种情况，当“射”排中间 4 个位置中的 1 个时共有 种方法
不同的排列方式共有 种
所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有 504 种
16．已知四面体 内接于球 O，且 ，若四面体 的体积为
，球心 O 恰好在棱 DA 上，则球 O 的表面积是_____．
16．【答案】
【解析】如图:在三角形 ABC 中,因为 ,所以△ 为直角三角形,所以三
角形 ABC 的外接圆的圆心为 AC 的中点 ,连 ,根据垂径定理,可得 平面 ,因
为 为 的中点可知 平面 ,所以 为四面体 的高．
( ) sin (1 cos )= + −f x x x x ( )π, (π)f
2 0+ − =x y π
( ) 1 cos2 cos′ = − +f x x x ( ) 1′ = −f π ( )− = − −y xπ π
2π 0+ − =x y
,a b ( ) 3b a b⋅ + = 1, 2a b= = a b+ =
3
( ) 3b a b⋅ + = 2
3b a b⋅ + =
1a = 2b = 1a b⋅ = − 2 2
2 1 2 4 3a b a a b b+ = + ⋅ + = − + =
3
5
5 120A =
1 1 4
4 4 4 384A A A⋅ ⋅ =
384 120 504+ =
ABCD 2, 2AB BC AC= = = ABCD
2 3
3
16π
2 2 2AB BC AC+ = ABC
1O 1OO 1OO ⊥ ABC
1,O O ,AD AC DC ⊥ ABC DC ABCD所以 ,解得 ．所以 ．
所以四面体 的外接球的半径为 ,表面积为 = ．
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 的外接圆的半径为 ，面积为 ，求 的周长．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得， ，......................................................1 分
由三角形内角和定理和诱导公式可得，
，...........................................................2 分
代入上式可得， ，.......................3 分
所以 ．
因为 ，所以 ，即 ．................................................4 分
由于 ，所以 ．.......................................................................................5 分
（2）因为 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得，
．......................................................................................6 分
又 的面积为 ，
1 1 2 32 23 2 3DC × × × = 2 3DC = 2 2(2 3) 2 4AD = + =
ABCD 2 24 Rπ 24 2 16π π× =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos 2a B c b= +
A∠
ABC∆ 2 3 3 3 ABC∆
2
3
π
6 4 3+
2 cos 2a B c b= +
2sin cos 2sin sinA B C B= +
sin sin( )C A B= + sin cos cos sin= +A B A B
2sin cos 2sin cos 2cos sin sinA B A B A B B= + +
2cos sin sin 0A B B+ =
sin 0B > 2cos 1 0A+ = 1cos 2A = −
0 A π< < 2
3A = π
ABC∆ 2 3
34 3sin 4 3 62a A= = × =
ABC∆ 3 3所以 ，即 ，所以 ．...................................7 分
由余弦定理得 ，........................................................................8 分
则 ，...................................................10 分
所以 ，即 ．............................................................................11 分
所以 的周长 ．....................................................................12 分
18．某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2 小时内（含 2 小时）每辆每次收费 5 元；
超过 2 小时不超过 5 小时，每增加一小时收费增加 3 元，不足一小时的按一小时计费；超过 5
小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 15 元封顶．超过 24 小时，按前述标准重新计费．为了
调查该停车场一天的收费情况，现统计 1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场
仅停车一次），得到下面的频数分布表：
T（小时）
频数（车次）
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．
（1）X 表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率分布列及期望 ；
（2）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用少于 的车辆数，
求 的概率．
18．【答案】(1)见解析； (2)
【解析】（1）由题意知，X 的可取值为 5，8，11，14，15，因此，
， ， ，
， ..............................................4 分
所以 X 的分布列为：
X 5 8 11 14 15
1 sin 3 32 bc A = 1 3 3 32 2bc× = 12bc =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2 236 ( ) ( ) 12b c bc b c bc b c= + + = + − = + −
2( ) 48b c+ = 4 3b c+ =
ABC∆ 6 4 3a b c+ + = +
( ]0,2 ( ]2,3 ( ]3,4 ( ]4,5 ( ]5,24
600 120 80 100 100
( )E X
ξ ( )E X
( 2)P ξ
( ) 7.74E X = 81
125
( ) 600 35 1000 5P X = = = ( ) 120 38 1000 25P X = = = ( ) 80 211 1000 25P X = = =
( ) 100 114 1000 10P X = = = ( ) 100 115 1000 10P X = = = ........................6 分
（2）依题意得 ....................................................................................8 分
所以
....................................................................................................................................12 分
19．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， 为
正三角形，且侧面 底面 ， 为线段 的中点， 在线段 上．
（1）当 是线段 的中点时，求证： 平面 ；
（2）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ，若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
19．【答案】（1）见解析；（2）存在 ．
【解析】（1）证明：连接 交 于 点，连接 ，
∵四边形 是菱形，∴点 为 的中点，
又∵ 为 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．........................4 分
( )P X 3
5
3
25
2
25
1
10
1
10
( ) 3 3 2 1 1 3875 8 11 14 15 7.745 25 25 10 10 50E X = × + × + × + × + × = =
3~ 3, 5Bξ
( ) ( ) ( ) 2 3
2
3
3 2 3 9 2 27 812 2 3 35 5 5 25 5 125 125P P P Cξ ξ ξ ≥ = = + = = + = × × + =
P ABCD− ABCD 60ABC∠ = ° PAB△
PAB ⊥ ABCD E AB M PD
M PD PB∥ ACM
M M EC D− − 60° PM
PD
1
3
PM
PD
=
BD AC H MH
ABCD H BD
M PD MH BP∥
BP ⊄ ACM MH ⊂ ACM PB∥ ACM（2）∵ 是菱形， ， 是 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ，
以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，
................................................................................................................................................5 分
则 ， ， ， ， ．..................6 分
假设棱 上存在点 ，设点 坐标为 ， ，
则 ，∴ ，
∴ ， ，........................7 分
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ．
令 ，则 ，得 ．................................................8 分
∵ 平面 ，∴平面 的法向量 ，.........................................9 分
∴ ，....................................10 分
∵二面角 的大小为 ，
∴ ，即 ，解得 ，或 （舍去）...........11 分
∴在棱 上存在点 ，当 时，二面角 的大小为 ．...........12 分
20．已知点 是椭圆 C： 上的一点，椭圆
ABCD 60ABC∠ = ° E AB CE AB⊥
PE ⊥ ABCD
E EB EC EP x y z E xyz−
( )0,0,0E ( )1,0,0B ( )0,0, 3P ( )0, 3,0C ( )2, 3,0D −
PD M M ( ), ,x y z ( )0 1PM PDλ λ= ≤ ≤
( ) ( ), , 3 2, 3, 3x y z λ− = − − ( )( )2 , 3 , 3 1M λ λ λ− −
( )( )2 , 3 , 3 1EM λ λ λ= − − ( )0, 3,0EC =
CEM ( ), ,x y z=n
( )2 3 3 1 0
3 0
EM x y z
EC y
λ λ λ ⋅ = − + + − =
⋅ = =
n
n ( )
0
2 3 1
y
x zλ λ
= = −
2z λ= ( )3 1x λ= − ( )( )3 1 ,0,2λ λ= −n
PE ⊥ ABCD ABCD ( )0,0,1=m
( )2 22
2 2cos ,
7 6 34 3 1
λ λ
λ λλ λ
⋅= = =⋅ − ++ −
n mn m n m
M EC D− − 60°
2
2 1
27 6 3
λ
λ λ
=
− +
23 2 1 0λ λ+ − = 1
3
λ = 1λ = −
PD M 1
3
PM
PD
= M EC D− − 60°
( )1, 2A
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > >C 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，斜率为 直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两
点，且 A、B、D 三点互不重合．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 分别为直线 AB，AD 的斜率，求证： 为定值．
20．【答案】（1） （2）详见解析
【解析】（1）由题意，可得 e= = ，代入 A（1， ）得 ，..........2 分
又 ，解得 ，.......................................................................3 分
所以椭圆 C 的方程 ．......................................................................................4 分
（2）证明：设直线 BD 的方程为 y= x+m，
又 A、B、D 三点不重合，∴ ，
设 D（x1，y1），B（x2，y2），
则由 得 4x2+2 mx+m2-4=0...................6 分
所以△=-8m2+64＞0，所以 ＜m＜ ．
x1+x2=- m， ....................7 分
设直线 AB、AD 的斜率分别为：kAB、kAD，
则 kAD+kAB= ...................................9 分
= ......................................................11 分
所以 kAD+kAB=0，即直线 AB，AD 的斜率之和为定值...................................................12 分
21．已知函数 ．
2 2 1x y− = 2
1 2,k k 1 2k k+
2 2
14 2
y x+ =
c
a
2
2 2 2 2
2 1 1a b
+ =
2 2 2a b c= + 2, 2a b c= = =
2 2
14 2
y x+ =
2
0m ≠
2 2
2
2 4
y x m
x y
= + + = 2
2 2− 2 2
2
2
2
1 2
4
4
mx x
−⋅ =
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 22 21 1 1
y y x xmx x x x x x
− − + −+ = + ⋅− − − − +
2
2 222 2 2 2 2 2 0
4 2 14 2
m
m
m m
− −
+ ⋅ = − =
− + +
( ) ( ) ( )2 2 lnf x x a x a x a R= − − − ∈（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明：对任意的 , ．
21．【答案】（1）函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．（2）见解析
【解析】解：（1）由题意知，函数 f（x）的定义域为（0，+∞），
由已知得 ．.............1 分
当 a≤0 时，f'（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数 f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．.......................................................................3 分
当 a＞0 时，由 f'（x）＞0，得 ，由 f'（x）＜0，得 ，
所以函数 f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
综上，当 a≤0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当 a＞0 时，函数 f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． ...5 分
（2）证明：当 a=1 时，不等式 f（x）+ex＞x2+x+2 可变为 ex﹣lnx﹣2＞0，
令 h（x）=ex﹣lnx﹣2，则 ，可知函数 h'（x）在（0，+∞）单调递
增，...............................................................................................................................................7 分
而， ...............................................................................8 分
所以方程 h'（x）=0 在（0，+∞）上存在唯一实根 x0，即 ．..............................9 分
当 x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数 h（x）单调递减；
当 x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数 h（x）单调递增； ...........................................10 分
所以 ．..........11 分
即 ex﹣lnx﹣2＞0 在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意 x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2 成立．......................................................................12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
以平面直角坐标系的原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐O M
( )y f x=
1a = 0x > 2( ) 2xf x e x x+ > + +
( , )2
a +∞ (0, )2
a
( ) 1xh x e x
′ = −
( )1
31 3 0, 1 1 03h e h e = − < = −
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