数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2.已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 为（ ）
A. 或 B. C. D. 不存在
3.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.“ ”是“关于 的方程 有解”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知具有线性相关的变量 x，y，设其样本点为 Ai(xi，yi)(i=1，2.....，6)，回归直线方程为
，若 =(9，6)(O 为坐标原点)，则 b=（ ）
A.3 B. C. D.-
6.若变量 x，y 满足约束条件 ,则 的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离
心率是（）
A. B. C. 或 D. 或
8.执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
{ }0 2M x x= ∈ ≤ ≤R { }1 3N x x= ∈ − < x sin x m=
3
xy b= + 1 2 6...OA OA OA+ + +
4
3
− 1
2
1
2
1
1
y x
x y
y
+
−
yxz −=
2y x=
3 5 5 6
2 3 6
2
57S =
4k > 5k > 6k > 7k >9．函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
10、为得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位。
C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位
11.在 中， 分别是角 的对边,若 ,且 ，则
的值为( )
A．2 B． C． D．4
12.设 ， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面
积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.设向量 , 满足 , 则 __________.
14.已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 __________．
15.过点 的直线 被曲线 截得的弦长为 2，则直线 的方程为_____.
16.对于三次函数 有如下定义：设 是函
数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”.若点 是函数 的
2
sin
1
x xy x
+= +
cos 2 3y x
π = − sin 2 3y x
π = +
6
π
6
π
12
π
12
π
ABC∆ , ,a b c , ,A B C sin 3 cos 0b A a B− = 2b ac=
a c
b
+
2 2
2
A B C D ABC△
9 3 D ABC−
12 3 18 3 24 3 54 3
a b 4a b+ = 1a b⋅ = a b− =
2( ) xf x e x= − (1, (1))f (0, )a a =
( )3,1 l 2 2 2 4 0x y x y+ − − = l
( ) ( )3 2 , , , , 0f x ax bx cx d a b c d a= + + + ∈ ≠R ( )f x¢
( )f x ( )f x′′ ( )f x¢ ( ) 0f x′′ = m
( )( ),m f m ( )y f x= ( )1, 3− ( ) 3 2 5( , )g x x ax bx a b= − + − ∈R“拐点”，也是函数 图象上的点，则函数 的最大值是______.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一）必考题：共 60 分.
17.设数列 是公差为 2 的等差数列，数列 满足 ， ，
．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
18.如图,四边形 为矩形,且 平面 , , 为 的中
点.
（1）求证: ；
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.
19.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，
坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售，为了更好
地销售，现从该村的蜜柚上随机摘下了 100 个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500，3000]
内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（1）按分层抽样的方法从质量落在 的蜜柚中随机抽取 5 个，再
从这 5 个蜜柚中随机抽 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜
柚树上大约还有 5000 个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以 40 元/千克收购；
B.低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 的以 80 元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
20.已知函数 .
( )g x ( ) 21 sin cos3h x a x b x= +
{ }na { }nb 1 1b = 2 2b =
( ) 11n n n na b b n b ++ = +
{ }na { }nb
{ }n na b n nS
ABCD 2, 1,AD AB PA= = ⊥ ABCD 1PA = E BC
PE DE⊥
F PD P AFE−
[ ) [ )1750,2000 , 2000,2250
2 1( ) x
x xf x e
− +=（I）求函数 的单调区间；
（II）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
21.已知椭圆 ： 过点 ，且离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于两个不同点 ，点 的坐标为 ，设直线
与 的倾斜角分别为 ，证明： ．
(二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.
22．以平面直角坐标系的原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直
角坐标为 ，若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是
，（ 为参数）．
（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 ．
23．已知 ， ．
（1）求证： ；
（2） 求证： ．
O M
(1,0) l 2 cos( ) 1 04
πρ θ + − = C
24
4
x m
y m
=
=
m
l C
l C ,A B 1 1
MA MB
+
( )f x
[ ]0,2x∈ 2( ) 2f x x x m≥ − + + m
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 71 2
， 3
2e =
C
1
2 l C A B， P ( )2 1，
PA PB α β， α β π+ =
*Ra b c∈， ， 2 2 2 1a b c+ + =
1ab bc ac+ + ≤
4 4 4
2 2 2 1a b c
c a b
+ + ≥数学（文科）试卷参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D A C B D A B D A B
一、填空题
13. 14.1 15． 或 16.
三、解答题
17．解：（1）令 ，得 ，所以 ........3 分
将 代入 ，得
所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即 ............6 分
（2）
..............................8 分
两式相减得到
................................10 分
化简得到 ..........................................................12 分
18.解：(1)连结 ,∵ 为 的中点, ,又四边形 ABCD 是矩形，
∴ 为等腰直角三角形,
则 ,........................2 分
同理可得 ,∴ ,∴ , ..........3 分
又 ,且 , ∴ ,
又∵ ,∴ ,又 ,∴ .......6 分
(2) 取 PE 的中点 G，连接 FG.又 F 为 PD 的中点， 且
32 3x = 3 4 5 0x y− − =
16
65
1n = 1 3a = ( )3 2 1 2 1na n n= + − = +
2 1na n= + ( ) 11n n n na b b n b ++ = + 1 2n nb b+ =
{ }nb 12n
nb −=
1(2 1)2n
n n na b −= +
0 1 2 13 2 5 2 7 2 ... (2 1) 2n
nnS −= × + × + × + + + ×
1 2 33 2 5 2 7 2 ... (2 1)2 2n
n nS = × + × + × + + + ×
0 2 33 2 2 2 ... 2 (2 1) 2n n
n nS = × + + + + − + ×−
( )2 1 2 1n
nS n= − ⋅ +
AE E BC 1EC CD= =
DCE∆
45DEC∠ =
45AEB∠ = 90AED∠ = DE AE⊥
PA ABCD平面⊥ DE ABCD⊂ 平面 PA DE⊥
AE PA A∩ = DE PAE⊥ 平面 PE PAE⊂ 平面 DE PE⊥
,1=CD ∴ DEFG // 2
2
2
1 == DEFG...........................................8 分
∴ ,......9 分
是三棱锥 的高,
∴ .
三棱锥 的体积为 ..............................12 分
19.解：（1）由题意得蜜柚质量在 和 的比例为 ，
∴应分别在质量为 ， 的蜜柚中各抽取 2 个和 3 个....2 分
记抽取质量在 的蜜柚为 ， ，质量在 的蜜柚为 ， ， ，
则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其中质量均小于 2000 克的仅有 这 1 种情况，故所求概率为 ..........5 分
（2）方案 好.........................................................6 分
理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在 的频率为 ，
同理，蜜柚质量在 ， ， ， 的频率依次为
0.1，0.15，0.4，0.2，0.05....................................................7
分
若按 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为 500，500，750，2000，1000，250，
于是总收益为
（元）...9 分
若按 方案收购：∵蜜柚质量低于 2250 克的个数为 ，
ABCDPA 平面⊥ ABCDAE 平面⊂ AEPA ⊥∴ 1 2 12
2
2APES∆ = × × =
,1 PAEDE 平面）由（ ⊥ FG∴ F APE−
1 1 2 2
3
1
63 2 2P AFE F APE APEV V S FG− − ∆= = ⋅ = × × =
∴ AFEP −
6
1
[ )1750 2000， [ )2000 2250， 2:3
[ )1750 2000， [ )2000 2250，
[ )1750 2000， 1A 2A [ )2000 2250， 1B 2B 3B
1 2A A 1 1A B 1 2A B 1 3A B 2 1A B 2 2A B 2 3A B 1 2B B 1 3B B 2 3B B
1 2A A 1
10
A
[ )15001750， 250 0.0004 0.1× =
[ )1750 2000， [ )2000 2250， [ )2500 2750， [ )2750 3000，
A
1500 1750 1750 2000 2000 2250 2250 2500( 500 500 750 20002 2 2 2
+ + + +× + × + × + ×
2500 2750 2750 30001000 2502 2
+ ++ × + × ） 40 1000× ÷
( )250 250 [ 6 72
= × × + ( ) ( )2 7 8 2 8 9 3× + + × + + × 9 10 8 10 11 4+ + × + + ×（ ） （ ）
( ) [ ]11 12 1] 40 1000 25 50 26 30 51 152 84 23 457500+ + × × ÷ = × + + + + + =
B ( )0.1 0.1 0.3 5000 1750+ + × =蜜柚质量低于 2250 克的个数为 ,
∴收益为 元......11 分
∴方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 ....................12 分
解：（1）函数 定义域为 ， ...1 分
∵ ，∴ ，解得 或 ； ，解得 ，
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ....5 分
（2）∵ 在 恒成立
∴ ，........6 分
令 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增...............10 分
∴ ，∴ ......................12 分
22．解：（1）由题意得
解得 ，
所以椭圆的方程为 ．................................4 分
（2）设直线 ，
的
5000 1750 3250− =
[ ]1750 60 3250 80 250 20 7 3 13 4 365000× + × = × × × + × =
A B A
( )f x { }x x R∈ ( ) ( )( )2 1' x
x xf x e
− − −=
0xe > ( )' 0f x < 1x < 2x > ( )' 0f x > 1 2x< <
( )f x ( ) ( ),1 , 2,−∞ +∞ ( )1,2
( ) 2 2f x x x m≥ − + + [ ]0,2x∈
( ) ( )2 2 22 1 2xm f x x x x x e x x−≤ + − = − + ⋅ + −
( ) ( )2 21 2xg x x x e x x−= − + ⋅ + − ( ) ( )( ) ( )' 2 1 2 1xg x x x e x−= − − − ⋅ + −
[ )0,1x∈ ( ) ( )( )1 2 2
' 0
x
x
x x e
g x e
− − +
= <
( )1,2x∈ ( ) ( )( )1 2 2
' 0
x
x
x x e
g x e
− − +
= >
( )g x ( )0,1 ( )1,2
( ) ( )min
11 1g x g e
= = − 1 1m e
≤ −
2 2
2
2
7
1 4 1
31 2
a b
be a
+ =
= − =
，
，
2 28 2a b= =，
2 2
18 2
x yC + =：
1
2l y x m= +：由 消去 得 ， ，
解得 ．
设 ，
则 ，..........................................................6 分
由题意，易知 与 的斜率存在，所以 ．
设直线 与 的斜率分别为 ，
则 ， ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，........................................8 分
∵ ， ，
故 ，
又 ， ，
所以
，
∴ ，........................11 分
．.........................12 分
22.解:（1）由 ，得 ，
由 ，得 ，........................2 分
因为 ，消去 得 ，所以直线 的直角坐标方程为 ，曲线
2 cos( ) 1 04
πρ θ + − = cos sin 1 0ρ θ ρ θ− − =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1 0x y− − =
24
4
x m
y m
=
=
m 2 4y x= l 1 0x y− − =
2 2
1
2
18 2
y x m
x y
= +
+ =
，
，
y 2 22 2 4 0x mx m+ + − = 2 24 8 16 0m m∆ = − + >
2 2m− < <
( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ，
2
1 2 1 22 2 4x m x m+ = − ⋅ = −x ， x
PA PB 2
πα β ≠，
PA PB 1 2k k，
1tan kα = 2tan kβ =
α β π+ = ( )tan tan tanBα π β= − = −
1 2 0k k+ =
1
1
1
1
2
yk x
−= −
2
1
2
1
2
yk x
−= −
( )( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 11 2
1
1 2
2 1 2
1 2 1 21 1
2 2 2 2
y x y xy y
x x x xk k
− − + − −− −+ =−= − − −+
1 1
1
2y x m= + 2 2
1
2y x m= +
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1
1 11 2 1 2 1 2 1 22 2y x y x x m x x m x − − + − − = + − − + + − −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2
1 2 1 22 4 1 2 4 2 2 4 1 0x x m x x m m m m m= ⋅ + − + − − = − + − − − − =
1 2 0k k+ =
∴α β π+ =的普通方程为 ．...............................5 分
（2）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上，
设直线 的参数方程为 （ 为参数），代入 ，
得 ，
设点 对应的参数分别为 ，则 ， ，..........7 分
所以 ．..........10 分
23.解：（1）
， 取等号．.....................................................................5 分
（2）
，
所以 ， 取等号．............................................................10 分
C 2 4y x=
M (1,0) M l
l
21 2
2
2
tx
ty
= +
=
t 2 4y x=
2 4 2 8 0t t− − =
,A B 1 2,t t 1 2 4 2t t+ = 1 2 8t t = −
( )2
1 2 1 21 2
1 2 1 2
41 1 32 32 1| | | | 8
t t t tt t
MA MB t t t t
+ −− ++ = = = =
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2
2 2
a b c b a cab bc acab bc ac
+ + + + ++ ++ + = ≤
2 2 2 1a b c= + + = 3
3a b c= = =
4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b ca b c c a bc a b c a b
+ + + + + = + + + + +
( )4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2a b cc b b a b cc a b
≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =
4 4 4
2 2 2 1a b c
c a b
+ + ≥ 3
3a b c= = =
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