数学试卷
（全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。
2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项。
3. 考试结束，由监考人员将试题卡一并收回。
一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 C＝60°，b＝ ，c＝ ，则角 A
为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．135°
2．在△ABC 中，若 a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC 的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知{an}为等比数列，若 a3＝2，a5＝8，则 a7＝（ ）
A．64 B．32 C．±64 D．±32
4．如图，测量员在水平线上点 B 处测量得一塔 AD 塔顶仰角为 30°，当他前进 10m 到达点 C
处测塔顶仰角为 45°，则塔高为（ ）
A．15m B． C． D．
5．若向量 ， 满足| |＝2，| |＝3，| |＝ ，则 •（ + ）＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．在等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，若 a5，a7 是方程 x2+10x﹣16＝0 的两个根，那么 S11
的值为（ ）
A．44 B．﹣44 C．55 D．﹣55
7．在直角梯形 ABCD 中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E 是 BC 的中点，则 •（）＝（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．已知数列{an}是等差数列，a1＜0，a8+a9＞0，a8•a9＜0．则使 Sn＞0 的 n 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．15 D．16
9．数列{an}是正项等比数列，满足 anan+1＝4n，则数列{ }的前 n 项和 Tn
＝（ ）
A． B． C． D．
10．在 R 上定义运算 a※b＝（a+1）b，若存在 x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成
立，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，2） D．（1，2）
11．已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1＝1，Sn 为数列{an}的
前 n 项和，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．9
12．锐角三角形 ABC 中，若∠C＝2∠B，则 的范围是（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（1，2） D．（1，3）
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．关于 x 的一元二次不等式 x2﹣x﹣2＜0 的解集是 ．
14．在△ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝8，AC＝6，AD＝5，则 BC＝ ．
15．二次函数 y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表，
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
则不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是 ．
16．如图，点 D 为△ABC 的边 BC 上一点， ，En（n∈N）为 AC 上一列点，且满足：＝（3an﹣3） +（﹣n2﹣n+1） ，其中实数列{an}满足 a1＝2，则 + +
+…+ ＝ ．
三．解答题（共 6 小题，共 70 分）
17（10 分）．已知向量 ， 不共线，向量 ＝ ﹣ ， ＝ +2 ， ＝3 ﹣ ．
（1）若（ +2 ）∥（ +k ），求 k 的值；
（2）若 ， 为相互垂直的单位向量，且（t + ）⊥ ，求 t 的值．
18（12 分）．已知不等式 ax2﹣3x+6＞4 的解集为{x|x＜1，或 x＞b}，
（1）求 a，b；
（2）解不等式 ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
19 （ 12 分 ）．已 知 a ， b ， c 分 别 为 △ ABC 三 个 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 2bcosA ＝
acosC+ccosA．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a＝3，△ABC 的周长为 8，求△ABC 的面积．
20（12 分）．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且 a1＝b1＝1，a5+b2＝a3+b3
＝7．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前 n 项和．21（12 分）．在平面四边形 ABCD 中，已知 ，AB⊥AD，AB＝1．
（1）若 ，求△ABC 的面积；
（2）若 ，AD＝4，求 CD 的长．
22（12 分）．已知函数 F（x）＝ （x ）．
（1）已知数列{an}满足 a1＝2，an+1＝F（an），求证：数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设 bn＝ ，求证： ＜2．参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1C．2．C．3B．4C．5C． 6D．7D．8D．9A．10 A． 11．C．12 C
二．填空题（共 4 小题）
13．关于 x 的一元二次不等式 x2﹣x﹣2＜0 的解集是 （﹣1，2） ．
14．在△ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝8，AC＝6，AD＝5，则 BC＝ 10 ．
15．二次函数 y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表，
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
则不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是 （﹣2，3） ．
16．如图，点 D 为△ABC 的边 BC 上一点， ，En（n∈N）为 AC 上一列点，且满足：
＝（3an﹣3） +（﹣n2﹣n+1） ，其中实数列{an}满足 a1＝2，则 + +
+…+ ＝ ．
解 ： ， 即 ﹣ ＝ 2 （ ﹣ ）， ∴ ， 又
＝ （ 3an ﹣ 3 ） + （ ﹣ n2 ﹣ n+1 ） ， 即
，可得 ，∴ 适合，则 +
+ +…+ ＝1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ＝1﹣ ＝ ．
三．解答题（共 6 小题）
17（10 分）．解：（1）∵ ＝ ﹣ ， ＝ +2 ， ＝3 ﹣ ，
∴ ＝3 ， ＝（1+3k） +（2﹣k） ，
∵（ +2 ）∥（ +k ），由向量共线定理可得，存在实数 λ 使得 λ（ +2 ）＝ +k ，
则 解可得，k＝ ；（2）∵ ＝ ﹣ ， ＝ +2 ，∴t + ＝（t+1） +（2﹣t） ，∵（t + ）⊥ ，∴
（t + ）• ＝0，即 +（t﹣2） ＝0，∵ ， 为相互垂
直的单位向量，∴ ＝0， ，∴2t﹣1＝0，∴t＝ ．
18（12 分）．解：（1）因为不等式 ax2﹣3x+6＞4 的解集为{x|x＜1，或 x＞b}，
所以 1 和 b 是方程 ax2﹣3x+2＝0 的两个实数根，且 b＞1；
由根与系数的关系，得 ，解得 a＝1，b＝2；
（2）所求不等式 ax2﹣（ac+b）x+bc＜0 化为 x2﹣（2+c）x+2c＜0，
即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当 c＞2 时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
②当 c＜2 时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
③当 c＝2 时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0 的解集为∅．
19（12 分）．解：（1）由正弦定理得：2sin Bcos A＝sin Acos C+sin Ccos A
2sinBcosA＝sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sin B．因为 sinB≠0，所以 cosA＝ ，
又 A 为△ABC 的内角•所以 A＝60°．
（2）因为 a＝3 及△ABC 的周长为 8， 所以 b+c＝5，由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bcosA＝
（b+c）2﹣2bc﹣2bccos60°＝（b+c）2﹣3bc．所以 3bc＝（b 十 c）2﹣a2＝25﹣9＝16，
所以 bc＝ ，所以△ABC 的面积 S＝ bcsinA＝ ．
20．（12 分）解：（1）数列{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q（q＞0），
则由题意可得，1+4d+q＝1+2d+q2＝7，解得，q＝2，d＝1，则 an＝n，bn＝2n﹣1；
（2）设数列{anbn}的前 n 项和为 Sn，Sn＝1•1+2•2+3•4+…+n•2n﹣1，①2Sn＝1•2+2•4+3•8+…+n•2n，②②﹣①可得，Sn＝﹣1﹣2﹣4﹣8﹣…﹣2n﹣1+n•2n＝n•2n﹣
＝（n﹣1）•2n﹣1．
21（12 分）．
解：（1）在△ABC 中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，
，解得 ，
∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ＝
＝ 在 △ ABC 中 ， ， ∴
， ∴ CD2 ＝ AC2+AD2 ﹣ 2AC • AD • cos ∠ CAD ＝
，∴ ．
22 ．（ 12 分 ） 证 明 ： （ 1 ） ∵ ， 等 式 两 边 同 时 减 去 1 ， 得
＝ ，∴ ＝2+ ，∴ ﹣ ＝2，又 ＝ ＝1，∴数列{ }是以 2 为公差，1 为首项的等差数列．
解：（2）由（1）知数列{ }是以 2 为公差，1 为首项的等差数列，
∴ ＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴an＝1+ ＝ ．
（3）∵bn＝ ，∴欲证 + +…+ ＜2，即证 + ＜2，
∵ ，（n≥2），∴ + ＜1+1﹣ + ﹣ +…+
＝2﹣ ＜2．
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