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2019 年 10 月
绵阳南山中学 2019 年秋季高 2017 级绵阳一诊热身考试
文科数学试题
命题人：刘群建
第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分）
一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。）
1.设集合 M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则 M∪N＝
A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞，1]
2.已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→
＝(－4，－3)，则向量BC→
＝
A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
3.已知 ， ，则
A．7 B.1
7 C．－1
7 D．－7
4.若 a，b，c 为实数，则下列命题中正确的是
A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＜b，则 a＋c＜b＋c
C．若 a＜b，则 ac＜bc D．若 a＜b，则1
a＞1
b
5.设 a，b，c 是非零向量．已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥b，b∥c，
则 a∥c.则下列命题中真命题是
A．p∨q B．p∧q
C．( p)∧( q) D．p∨( q)
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益
功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：
“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前
一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 31
天算，记该女子一个月中的第 天所织布的尺数为 ，则 的值为
A. B. C. D.
），（
2
3ππα ∈
5
4cos −=α =− )4tan( απ
¬ ¬ ¬
n na 1 3 29 31
2 4 28 30
a a a a
a a a a
+ +⋅⋅⋅+ +
+ +⋅⋅⋅+ +
16
5
16
15
16
29
16
31第 2 页 共 8 页
7.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
8.已知正项等比数列 的公比为 3,若 ，则 的最小值等于
A.1 B. C. D.
9.已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(퐴 > 0,휔 > 0,|휑| < 휋
2,x ∈ 퐑)在一个周期内的图象如图所示,则 y=f(x)
的图象可由函数 y=cos x 的图象(纵坐标不变)如何变换得到
A.先把各点的横坐标缩短到原来的 ,再向左平移 个单位
B.先把各点的横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 个单位
C.先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位
D.先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位
10.已知函数 f(x)＝1
2x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.定义在 R 上的函数 f(x)满足： 恒成立，若 ，则 与 的
大小关系为
A．ex1f(x2) > B．ex1f(x2) <
C．ex1f(x2)＝ D．ex1f(x2)与 的大小关系不确定
12.已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的取值范围是
A.(2，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，－2) D.(－∞，－1)
| |( ) e cosxf x x= + (2 1) ( )f x f x− ≥ x
1( , ] [1, )3
−∞ +∞
1 ,13
1( , ]2
−∞ 1[ , )2
+∞
{ }na 2
29aaa nm =⋅
nm 2
12 +
2
1
4
3
2
3
2
1
6
π
2
1
12
π
6
π
12
π
)()( xfxf >′ 21 xx < )( 2
1 xfex ⋅ )( 1
2 xfex ⋅
( )2
1ex f x ( )2
1ex f x
( )2
1ex f x ( )2
1ex f x第 3 页 共 8 页
第Ⅱ卷 （非选择题 满分 90 分）
二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡的横线上）
13.若 x,y 满足约束条件{푥 - 2푦 - 2 ≤ 0,
푥 - 푦 + 1 ≥ 0,
y ≤ 0,
则 z=3x+2y 的最大值为 .
14.设 是周期为 4 的奇函数,当 时, ,则
15.已知直线 与曲线 相切,则实数 的值为
16.给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .
如 图 所 示 ，点 C 在 以 O 为 圆 心 的 圆 弧 上 变 动 . 若
其中 ,则 的最大值是________.
三．解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分为 12 分）
设
(1)求 的单调递增区间;
(2)把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左
平移 个单位,得到函数 的图象,求 的值.
18．（本小题满分为 12 分）
设 是等差数列,且 ，
（1）求 的通项公式;
(2)求 的值
19. （本小题满分为 12 分）
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 且 .已知퐵퐴·퐵퐶=2, ，
(1)求 和 的值; (2)求 的值.
OA OB 120o
AB
,OC xOA yOB= + ,x y R∈ x y+
)(xf 10 ≤≤ x )1()( xxxf +⋅= =− )2
9(f
2−= kxy xxy ln⋅= k
2)cos(sinsin)sin(32)( xxxxxf −−⋅−= π
)(xf
)(xfy =
3
π
)(xgy = )6(
π
g
{ }na 2ln1 =a 2ln532 =+ aa
{ }na
naaa eee +++ 21
cba ,, ca >
3
1cos =B 3=b
a c )cos( CB −第 4 页 共 8 页
20.（本小题满分为 12 分）
已知函数
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 在 R 上单调递增,求实数 的取值范围.
21．（本小题满分为 12 分）已知函数
(1)讨论 的单调性;
(2)当 有最大值,且最大值大于 时,求 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多
做，则按所作的第一个题目计分。
22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分为 10 分）
已知直线 l 的参数方程为{x＝1
2＋ 2
2 t，
y＝1
2－ 2
2 t
(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为{x＝2cos α，
y＝sin α (α 为参
数).在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐
标为
(1)求椭圆 C 的直角坐标方程和点 A 在直角坐标系下的坐标.
(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求△APQ 的面积.
23.【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分为 10 分）
已知函数 f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a≤0.
(1)当 a＝0 时，求不等式 f(x)0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充
分不必要条件．
11.A 设 g(x)＝f(x)
ex ，则 g′(x)＝f′(x)ex－f(x)ex
(ex)2
＝f′(x)－f(x)
ex ，由题意 g′(x)>0，所以 g(x)单调递
增，当 x1c,所以 a=3,c=2.
(2)在△ABC 中,sin B= 1 ― cos2B= 1 ― (1
3)2
=2 2
3 .
由正弦定理,得 sin C=푐
푏sin B=2
3×2 2
3 =4 2
9 .
因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1 ― sin2C= 1 ― (4 2
9 )2
=7
9.
于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1
3×7
9+2 2
3 ×4 2
9 =23
27.
20.解析 (1)当 a=1 时,f(x)=ex-x2+2x,f '(x)=ex-2x+2,∴f '(1)=e,f(1)=e+1,
∴所求切线方程为 y-(e+1)=e(x-1),即 ex-y+1=0.
(2)f '(x)=ex-2x+2a,∵f(x)在 R 上单调递增,∴f '(x)≥0 在 R 上恒成立,
∴a≥x-e푥
2 在 R 上恒成立.令 g(x)=x-e푥
2 ,则 g'(x)=1-e푥
2 ,令 g'(x)=0,得 x=ln 2,
∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若 a>0,则当 x∈(0,1
푎)时, f '(x)>0;当 x∈(1
푎, + ∞)时,f '(x)0 时, f(x)在 x=1
푎处取得最大值,最大值为
f(1
푎)=ln1
푎+a(1 ― 1
푎)=-ln a+a-1. 因此 f(1
푎)>2a-2 等价于 ln a+a-12a-2 等价于 ln a+a
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