云南省玉溪一中2019-2020高二上学期第二次月考数学（理）试题（Word版有答案）.doc

玉溪一中高 2021 届高二上学期第二次月考 理科数学 试卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D． 2. 抛物线 的准线方程是( ) A． B． C． D． 3.《庄子.天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果经过 天，该木锤 剩余的长度为 （尺），则 与 的关系为（ ） A． B． C． D． 4. 已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 5. 已知命题 ，则 为（ ） A． B． C． D． 6. “ ”是“方程 ”表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7.如图 1 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A．32 B．28 C．24 D．20 0m n> > 2 2 1mx ny+ = { 4 2}M x x= − < < 2{ 6 0}N x x x= − − < M N = { 4 3}x x− < < { 4 2}x x− < < − { 2 2}x x− < < { 2 3}x x< < 28y x= − 2x = − 2x = 1 32y = − 1 32y = n na na n 11 2n na = − 1 2n na = 1 na n = 11na n = − a b a bλ +  a λ : 0, 1 sin 1xp x e x∀ ≥ ≥ ≤或 p¬ 0, 1 sin 1xx e x∃ < < >且 0, 1 sin 1xx e x∃ < ≥ ≤或 0, 1 sin 1xx e x∃ ≥ < >或 0, 1 sin 1xx e x∃ ≥ < >且 y π π π π 图 18. 是空气质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二 级，在 以上空气质量为超标。如图 2 是某地 11 月 1 日到 10 日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A. 从 日到 日， 日均值逐渐降低 B.从这 天的日均 监测数据中随机抽出一天的 数据，空气质量为一 级的概率是 C. 这 天中 日均值的平均数是 49.3 D. 这 天的 日均值的中位数是 45 9. 新定义运算 若 ，当 时， 的 值域为（ ） A． B． C. D． 10. 已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的个数为（ ） ① 的实轴长为 ② 的离心率为 ③曲线 经过 的一个焦点 ④直线 与 有两个公共点 A．1 个 B．2 个 C.3 个 D．4 个 11.已知四棱锥 的顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PA⊥平面 ABCD，若四棱锥的体积为 ，则该球的体积为（　） A. B. C. D. 12. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 PM2.5 PM2.5 PM2.5 335 /g mµ 3 335 / ~ 75 /g m g mµ µ 375 /g mµ 5.2PM 3/g mµ 5 9 5.2PM 10 5.2PM 2 5 10 5.2PM 10 5.2PM , , , , a c ad bc ad bc b d bc ad ad bc − ≥  =   − > 1 2,l l F 1l 图 2的直线分别交 于 A,B 两点．若 成等差数列，且 与 反向，则该双曲 线的离心率为(　　) A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.狄利克雷函数(Dirichlet)是数学分析中病态函数的典型例子，在高等数学中是一个研究导 数存在性，连续性的重要函数，是完全建立在主观意义上的函数，值得我们细细研究。已知 狄利克雷函数 ,则 . 14. 设 满足 ，则 的最大值为 . 15.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 与抛物线相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________. 16. 中， ， 边上的高为 2，则 的内切圆半径为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分）设函数 ， . （1）已知 ，函数 是偶函数，求 的值； （2）设 ，求 的单调递减区间 . 18． (本小题满分 12 分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学 生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的 统计表和频率分布直方图如下： （1）求出表中 ， 及图中 的值； （2）若该校高一学生有 360 人，试估计该校高一 分组 频数 频率 [10，15） 10 0.25 [15，20） 25 [20，25） [25，30） 2 0.05 合计 1 1 2,l l , ,OA AB OB AF FB 5 3 6 2 3 1+ 1,( ) 0, R x QD x x Q ∈=  ∈  ( )( )D D x = yx,    ≤ ≥+ ≤ xy yx x 2 3 yx 2− l l ABC∆ 60 , 4 3B AC= = AC ABC∆ ( ) sinf x x= x R∈ [0,2 )θ π∈ ( )f x θ+ θ 2 2( ) [ ( )] [ ( )] ,12 4g x f x f x x R π π= + + + ∈ ( )g x M M M p a n m p M学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数； （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，请列举出所 有基本事件，并求至多 1 人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率． 19.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项. （1）求 与 ； （2）若数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，求证： 20. (本小题满分 12 分)如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC， PA=AC=2， , ∠BAC=60°,D 是 PA 的中点，E 是 CD 的中点，点 F 在 PB 上， ． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PBC; （2）证明：EF∥平面 ABC； （3）求二面角 B﹣CD﹣A 的正弦值； 21.(本小题满分 12 分)已知 . （1）若 ，求 的值； （2）当 ，且 有最小值 2 时，求 的值； （3）当 时，有 恒成立，求实数 的取值范围. ,( 0, 1, )a a t R> ≠ ∈ [ ]4, 1,2t x= ∈ a [ ]0 1, 1,2a x< < ∈ ( ) ( )f x g x≥ t { }na n nS 2 14S a= 2a 1 1a + 3 1 2 a na nS { }nb 1 n n n n ab S S + = ⋅ { }nb n nT 1 1 8 6nT≤ < 3BC = 3PF FB=  )22(log2)(,log)( −+== txxgxxf aa )2()1( gf = t )()()( xfxgxF −=22、（本题满分 12 分 ） 在平面直角坐标系中，动点 分别与两个定点 ， 的连线的斜率之积为 （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设过点 的直线 与轨迹 交于 两点，判断直线 与以线段 为直径 的圆的位置关系，并说明理由． 玉溪一中高 2021 届高二上学期第二次月考 理科数学 参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B A D C B D D C A A 二、填空题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 1 14. 5 15. 16. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分）解：（I）因为 是偶函数，所以，对任意实数 都有 ，即 ， 故 ，所以 ．又 ，因此 或 ．…4分 （Ⅱ） ………8分 ( ) sin( )f x xθ θ+ = + sin( ) sin( )x xθ θ+ = − + sin cos cos sin sin cos cos sinx x x xθ θ θ θ+ = − + 2sin cos 0x θ = cos 0θ = [0,2π)θ ∈ π 2 θ = 3π 2 2 2 2 2π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x           = + + + = + + +                     π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 36 2 1 cos2 sin 22 2 2 2 2 x x x x    − + − +        = + = − −    M ( 2,0)A − (2,0)B 1 2 − M C ( 1,0)− l C ,P Q 5 2x = − PQ y x= ( )2 2 1− x 31 sin(2 )2 6x π= + −解不等式 ， 可得： 所以， 的单调递减区间为 ， ………10 分 19．(12 分)解：（1）由分组[10，15）内的频数是 10，频率是 0.25 知， ，所以 因为频数之和为 40，所以 ． 因为 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以 ．（5 分） （2）因为该校高三学生有 360 人，分组[15，20）内的频率是 0.625， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 360×0.625=225 人．（8 分） （3）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 3+2=5 人 设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}． 则任选 2 人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2）， （a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10 种情况，（10 分） 而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3 种情况， 至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为 ．（12 分） 19.(12 分) 解：（1）由 可得 ，所以等比数列 的公比 ， 所以 .由 是 与 的等差中项，可得 ， 即 ，解得 ，所以 ， . （3）由（1）知： ，所以， 1 2 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1( )3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 n n n n n n T b b b + + = + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅ −− − − − − − = − + − +⋅⋅⋅ −− − − − − − 32 2 22 6 2k x k π π ππ π+ ≤ − ≤ + k Z∈ 5 3 6k x k π ππ π+ ≤ ≤ + ( )g x 5[ , ]3 6k k π ππ π+ + k Z∈ =40M a 2 14S a= 2 13a a= { }na 3q = 1 1 3n na a −= × 2a 1 1a + 3 1 2 a 2 1 3 12 ( 1) 2a a a= + + 2 1 1 1 12 3 1 ( 3 )2a a a× = + + × 1 2a = 12 3n na −= × 1(1 ) 2 (1 3 ) 3 11 1 3 n n n n a qS q − × −= = = −− − ( )( ) 1 11 1 2 3 1 1 1 3 3 1 3 13 1 3 1 n n n n nn n n n ab S S − ++ + ×  = = = − ⋅ − −− −   单调递增，所以 ，从而 20. (12 分) （1）证明：在 中，由正弦或余弦定理得 AB=1 或 ∠ABC=90°，从而 因为 PA⊥平面 ABC， ，所以 （2）证明：法一：过点 F 作 FM∥PA 交 AB 于点 M， 取 AC 的中点 N，连接 MN，EN． ∵点 E 为 CD 的中点，∴EN∥AD，EN= ． 又 D 是 PA 的中点，E 是 CD 的中点，点 F 在 PB 上， =3 ． ∴FM= ，FM∥AD，∴FM∥EN 且 FM=EN， 所以四边形 MFEN 为平行四边形， ∴EF∥MN，∵EF⊄平面 ABC，MN⊂平面 ABC， ∴EF∥平面 ABC． 法二：取 AD 中点 G，连接 GE，GF，则 GE∥AC，GF∥AB， 因为 GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面 GEF∥平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC． （3）解：过点 B 作 ,垂足为 H，则可证 ，在直角 中过 点 B 作 ,垂足为 O,则∠BOH 为所求二面角的平面角 则 (采用其他方法酌情给分) 21.解：（1） 即 （2 分） 1 1 1 1 1 1( )3 3 1 3 1 1 1 1( )3 2 3 1 n n + + = −− − = − − { }nT 1 1 03nT T  ≤ < × −   1 2 1 1 8 6nT≤ < ABC∆ AB BC⊥ BC ABC⊂ 平面 PA BC⊥ , ,PA AB B PA AB PAB BC PAB= ⊂ ∴ ⊥  平面 平面 BC PBC PBC PAB⊂ ∴ ⊥ 平面 平面 平面 BH AC⊥ BH DAC⊥ 平面 DBC∆ BO DC⊥ 3 102sin 430 5 BHBOH BO ∠ = = = )2(log20)2()1( tgf a +=∴= 12 =+∴t 1-=t（2） ， 又 在 单调递增， 当 ，解得 当 ， 解得 （舍去） 所以 （7 分） (3） ，即 ， ， ， ， ，依题意有 而函数 因为 ， ，所以 .（12 分） 22、解：（1）设动点 的坐标为 ，因为 ， ， 所以 ． 整理得 ． 所以 的轨迹 的方程 ．…………4 分 （2）解法 1：过点 的直线为 轴时，显然不合题意．……5 分 所以可设过点 的直线方程为 ， 设直线 与轨迹 的交点坐标为 ， ， 由 得 ．……6 分 因为 ， 由韦达定理得 ＝ ， ＝ ．…………………7 分 注意到 ＝ ． 4t = 24( 1) 1( ) ( ) ( ) 2log (2 2) log log log 4( 2)a a a a xF x g x f x x x xx x += − = + − = = + + 1y x x = + [ ]1,2x∈ ∴ 时1>a [ ] 216log)(2,1)( min ==∴∈ axFxxF 也单调递增在 4=a 时10 + d > 2 PQ 5 2x = − PQ ( )1,0− 1x = − 2 2 14 2 x y+ = 61, 2P  − −    61, 2Q  −    5 2x = − PQ ( )1,0− ( )1y k x= + ( )1y k x= + C P ( )1 1,x y ( )2 2,Q x y ( ) 2 2 1 , 1,4 2 y k x x y  = +  + = ( ) ( )2 2 2 22 1 4 2 4 0k x k x k+ + + − = ( ) ( )( )22 2 2 24 4 2 1 2 4 24 16 0k k k k∆ = − + − = + > 1 2x x+ = 2 2 4 2 1 k k − + 1 2x x = 2 2 2 4 2 1 k k − + ( )1 2 1 2 2 22 2 1 ky y k x x k k + = + + = + PQ 2 2 2 2 ,2 1 2 1 k kN k k  −  + +  2 1 21PQ k x x= + − ( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 441 2 1 2 1 kkk k k  −  = + − + +   ．…………9 分 点 到直线 的距离为 ．………10 分 因为 ，……………11 分 即 ， 所以直线 与以线段 为直径的圆相离．…12 分 ( )( )2 2 2 2 1 6 4 2 1 k k k + + = + N 5 2x = − ( ) 2 2 2 2 5 2 6 5 2 2 1 2 2 1 k kd k k += − =+ + 2d − 2 4 PQ = ( ) 4 2 22 12 20 9 0 4 2 1 k k k + + > + d > 2 PQ 5 2x = − PQ