玉溪一中高 2021 届高二上学期第二次月考
文科数学 试卷
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 抛物线 的准线方程是( )
A． B． C． D．
3.《庄子.天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果经过 天，该木锤
剩余的长度为 （尺），则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
5. 已知命题 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
6. “ ”是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7.如图 1 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8. 是空气质量的一个重 要指
标，我国 标准采用世卫 组织
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
{ 4 2}M x x= − < < 2{ 6 0}N x x x= − − < M N =
{ 4 3}x x− < < { 4 2}x x− < < − { 2 2}x x− < < { 2 3}x x< <
28y x= −
2x = − 2x = 1
32y = − 1
32y =
n
na na n
1
2n na = 11 2n na = − 1
na n
= 11na n
= −
a b a bλ + a λ
: 0, 1xp x e∀ ≥ ≥ p¬
0, 1xx e∃ < < 0, 1xx e∃ < ≥ 0, 1xx e∃ ≥ ≥ 0, 1xx e∃ ≥ <
y
8 3 48
3
π+ ( )8 3 16 π+ 32 3 192
3
π+ 32 3 48
3
π+
5.2PM
5.2PM
图 1
图 2设定的最宽限值，即 日均值在 以下空气质量为一级，在
之间空气质量为二级，在 以上空气质量为超标.如图 2 是某地
11 月 1 日到 10 日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 从 日到 日， 日均值逐渐降低
B. 这 天的 日均值的中位数是 45
C. 这 天中 日均值的平均数是 49.3
D. 从这 天的日均 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
9. 若函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
10. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为 ，
则角 （ ）
A． B． C． D．
11.已知四棱锥 的顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且
PA⊥平面 ABCD，若四棱锥的体积为 ，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
12.双曲线 的左右焦点分别为 ， 是坐标原点，过 作双曲
线的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若 ,则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.狄利克雷函数(Dirichlet)是数学分析中病态函数的典型例子，在高等数学中是一个研究导
数存在性，连续性的重要函数，是完全建立在主观意义上的函数，值得我们细细研究。已知
狄利克雷函数 ,则 .
5.2PM 335 /g mµ
3 335 / ~ 75 /g m g mµ µ 375 /g mµ
5.2PM 3/g mµ
5 9 5.2PM
10 5.2PM
10 5.2PM
10 5.2PM 2
5
( )f x x= 1
2
( ) logy f x x= −
ABC△ A B C a b c ABC∆
2 2 2
4
a b c+ −
C =
6
π
4
π
3
π
2
π
P ABCD−
16
3
8 6π 64 6π 24π 6π
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> > 1 2,F F O 2F
1 6MF OM=
2 3 5
1,( ) 0, R
x QD x x Q
∈= ∈
( )( )D D x =14. 设 满足 ，则 的最大值为 。
15.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 与抛物线相交于 A，B 两点。若 AB
的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________.
16. 已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的有 （填序号）
① 的方程为 ② 的离心率为
③曲线 经过 的一个焦点 ④直线 与 有两个公共点
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分）设函数 ， .
（1）已知 ，函数 是偶函数，求 的值；
（2）设 ，求 的单调递减区间 .
18．(本小题满分 12 分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学
生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的
统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中 ， 及图中 的值；
（2）若该校高一学生有 360 人，试估计该校高一
学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，请列举出所
有基本事件，并求至多 1 人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
分组 频数 频率
[10，15） 10 0.25
[15，20） 25
[20，25）
[25，30） 2 0.05
合计 1
yx,
≤
≥+
≤
xy
yx
x
2
3
yx 2−
l
l
C ( )3，2 3
3
y x= ±
C
2
2 13
x y− = C 2 3
3
2 1xy e −= − C 2 1 0x y− − = C
( ) sinf x x= x R∈
[0,2 )θ π∈ ( )f x θ+ θ
2 2( ) [ ( )] [ ( )] ,12 4g x f x f x x R
π π= + + + ∈ ( )g x
M
M
M p a
n
m p
M19.(本小题满分 12 分 ）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC， PA=AC=2， ,
∠BAC=60°,D 是 PA 的中点，．
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PBC;
（2）求点 P 到平面 BCD 的距离．
20.(本小题满分 12 分)
已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项.
（1）求 与 ；
（2）若数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，求证：
21.(本小题满分 12 分)已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 时，求 的最小值；
（3）当 时，有 恒成立，求实数 的取值范围.
22、（本小题满分 12 分 ）
,( 0, 1, )a a t R> ≠ ∈
[ ]4, 1,2t x= ∈
[ ]0 1, 1,2a x< < ∈ ( ) ( )f x g x≥ t
3BC =
{ }na n nS 2 14S a= 2a 1 1a + 3
1
2 a
na nS
{ }nb
1
n
n
n n
ab S S +
= ⋅ { }nb n nT 1 1
8 6nT≤ <
)22(log2)(,log)( −+== txxgxxf aa
)2()1( gf = t
4a = )()()( xfxgxF −=在平面直角坐标系中，动点 分别与两个定点 ， 的连线的斜率之积为
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 的直线 与轨迹 交于 两点，判断直线 与以线段 为直径
的圆的位置关系，并说明理由．
玉溪一中高 2020 届高二上学期第二次月考
文科数学 参考答案
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
C D A A D C A B D B A C
二、填空题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 1 14.5 15. 16. ①②③
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分）解：（I）因为 是偶函数，所以，对任意实数 x 都有
，即 ，
故 ，所以 ．又 ，因此 或 ．…4分
（Ⅱ）
( ) sin( )f x xθ θ+ = +
sin( ) sin( )x xθ θ+ = − + sin cos cos sin sin cos cos sinx x x xθ θ θ θ+ = − +
2sin cos 0x θ = cos 0θ = [0,2π)θ ∈ π
2
θ = 3π
2
2 2
2 2π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x
= + + + = + + +
π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 36 2 1 cos2 sin 22 2 2 2 2
x x
x x
− + − + = + = − −
M ( 2,0)A − (2,0)B 1
2
−
M C
( 1,0)− l C ,P Q 5
2x = − PQ
y x=
解不等式 ， 可得：
所以， 的单调递减区间为 ， ………10 分
19．(12 分)解：（1）由分组[10，15）内的频数是 10，频率是 0.25 知， ，所以
因为频数之和为 40，所以 ．
因为 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以 ．（4 分）
（2）因为该校高三学生有 360 人，分组[15，20）内的频率是 0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 360×0.625=225 人．（7 分）
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 3+2=5 人
设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}．
则任选 2 人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），
（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10 种情况，（9 分）
而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3 种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为 ．（12 分）
而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3 种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为 ．（12 分）
19.(12 分）解：（1）证明：在 中，由正弦或余弦定理得 AB=1 或 ∠ABC=90°，
从而
因为 PA⊥平面 ABC， ，所以
（2） 解： 由（1）知∴BC⊥平面 PAB．
又∠BAC=60°，AC=2，∴ ，
∴ ．
记点 P 到平面 BCD 的距离为 d，则 VP﹣BCD=VC﹣PBD，∴ ，
∴ ，
31 sin(2 )2 6x
π= + −
32 2 22 6 2k x k
π π ππ π+ ≤ − ≤ + k Z∈ 5
3 6k x k
π ππ π+ ≤ ≤ +
( )g x 5[ , ]3 6k k
π ππ π+ + k Z∈
=40M
a
ABC∆
AB BC⊥
BC ABC⊂ 平面 PA BC⊥
, ,PA AB B PA AB PAB BC PAB= ⊂ ∴ ⊥ 平面 平面
BC PBC PBC PAB⊂ ∴ ⊥ 平面 平面 平面所以，点 P 到平面 BCD 的距离为 ． …（12 分）(采用其他方法酌情给分)
20.(12 分) 解：（1）由 可得 ，所以等比数列 的公比 ，
所以 .由 是 与 的等差中项，可得 ，
即 ，解得 ，所以 ，
.
（3）由（1）知： ，所以，
单调递增，所以 ，从而
21.(12 分)解：（1）
即 ……2 分
（2） ，
当且仅当 ，即 时取最小值 2 ……7 分
(3） ，即
， ， ， ，
，依题意有
1 2
1 2 2 3 1
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1
1 1 1 1 1 1 1( )3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
n n
n n
n n
T b b b
+
+
= + +⋅⋅⋅+
= − + − +⋅⋅⋅ −− − − − − −
= − + − +⋅⋅⋅ −− − − − − −
1 1
1
1 1 1( )3 3 1 3 1
1 1 1( )3 2 3 1
n
n
+
+
= −− −
= − −
)()( xgxf ≥ )22(log2log −+≥ txx aa
2)22(loglog −+≥∴ txx aa
[ ]2,1,10 ∈
+1y 2y 2
2
2
m
m + 1y 2y 2
3
2m
− +
+1x 2x ( )1 2 2
42 2m y y m
−+ − = +
PQ 2 2
2 ,2 2
mN m m
−
+ +
2
1 21PQ m y y= + − ( ) 2
2
2 2
2 121 2 2
mm m m
= + + + +
( )( )2 2
2
2 1 4 6
2
m m
m
+ +
= +
N 5
2x = − ( )
2
2 2
5 2 5 6
2 2 2 2
md m m
+= − =+ +
2d −
2
4
PQ = ( )
4 2
22
9 20 12 0
4 2
m m
m
+ + >
+
d >
2
PQ 5
2x = − PQ解法 2：①当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，与 交于
和 两点，此时直线 与以线段 为直径的圆相离……6 分
②当过点 的直线斜率存在时，设其方程为 ，
设直线 与轨迹 的交点坐标为 ， ，
由 得 ．
因为 ，
由韦达定理得 ， ．…………7 分
注意到 ．
所以 的中点坐标为 ．……8 分
因为
．…………9 分
点 到直线 的距离为 ．………10 分
因为 ，……………11 分
即 ， 所以直线 与以线段 为直径的圆相离．…12 分
( )1,0− 1x = −
2 2
14 2
x y+ =
61, 2P
− −
61, 2Q
−
5
2x = − PQ
( )1,0− ( )1y k x= +
( )1y k x= + C P ( )1 1,x y ( )2 2,Q x y
( )
2 2
1 ,
1,4 2
y k x
x y
= +
+ =
( ) ( )2 2 2 22 1 4 2 4 0k x k x k+ + + − =
( ) ( )( )22 2 2 24 4 2 1 2 4 24 16 0k k k k∆ = − + − = + >
1 2x x+ =
2
2
4
2 1
k
k
− + 1 2x x =
2
2
2 4
2 1
k
k
−
+
( )1 2 1 2 2
22 2 1
ky y k x x k k
+ = + + = +
PQ
2
2 2
2 ,2 1 2 1
k kN k k
−
+ +
2
1 21PQ k x x= + − ( ) ( )2 22
2
2 2
4 2 441 2 1 2 1
kkk k k
− = + − + +
( )( )2 2
2
2 1 6 4
2 1
k k
k
+ +
= +
N 5
2x = − ( )
2 2
2 2
5 2 6 5
2 2 1 2 2 1
k kd k k
+= − =+ +
2d −
2
4
PQ = ( )
4 2
22
12 20 9 0
4 2 1
k k
k
+ + >
+
d >
2
PQ 5
2x = − PQ
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