人教A版数学必修4平面向量数量积的物理背景及其含义课时跟踪检测含解析.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 课时跟踪检测（二十二） 平面向量数量积的物理背景及其含义 层级一　学业水平达标 ‎1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b等于(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解析：选B　设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ＝，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.‎ ‎3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(　　)‎ A．－6 B．6‎ C．3 D．－3‎ 解析：选B　∵c·d＝0，‎ ‎∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，‎ ‎∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，‎ ‎∴2k＝12，∴k＝6.‎ ‎4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝(　　)‎ A．37 B．13‎ C. D. 解析：选C　|a＋b|＝＝ ‎＝＝.‎ ‎5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)‎ A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 解析：选B　∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎6．给出以下命题：‎ ‎①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；‎ ‎②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；‎ ‎③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.‎ 其中，正确命题的序号是________．‎ 解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．‎ 答案：③‎ ‎7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.‎ 解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos 60°－2＝－.‎ 答案：－ ‎8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，‎ ‎∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.‎ ‎∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－.‎ 又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.‎ 答案：120°‎ ‎9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．‎ 解：因为|e1|＝|e2|＝1，‎ 所以e1·e2＝1×1×cos 60°＝，‎ ‎|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，‎ ‎|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝，‎ 且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 所以a与b的夹角为120°.‎ ‎10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(2)求(a－2b)·b；‎ ‎(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？‎ 解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，‎ ‎∴|a|＝2，|b|＝1.‎ 又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.‎ ‎∴cos θ＝－，∴θ＝.‎ ‎(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.‎ ‎(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，‎ ‎∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2‎ ‎＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.‎ 层级二　应试能力达标 ‎1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．6 D．12‎ 解析：选B　|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.‎ ‎2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)‎ A．－16 B．－8‎ C．8 D．16‎ 解析：选D　法一：因为cos A＝，故·＝||·||cos A＝||2＝16，故选D.‎ 法二：在 上的投影为||cos A＝||，故·＝||||cos A＝||2＝16，故选D.‎ ‎3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．3‎ 解析：选C　由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝＝.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝(　　)‎ A．－3 B．0‎ C．－1 D．1‎ 解析：选C　·＝·(－)‎ ‎＝·－||2＋||2‎ ‎＝×2×2×cos 60°－22＋×22＝－1.‎ ‎5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．‎ 解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.‎ 又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.‎ 则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，‎ ‎∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. ‎ 法二：如图，作＝＝a，‎ ‎＝b，则＝c.‎ ‎∵a⊥b，∴AB⊥BC，‎ 又∵a－b＝－＝，‎ ‎(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，‎ 所以△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.‎ 答案：4‎ ‎6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．‎ 解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos 45°＝×＝1.‎ 答案：　1‎ ‎7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.‎ ‎(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.‎ 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴a2－b2＝，‎ 即|a|2－|b|2＝.‎ 又|a|＝1，‎ ‎∴|b|＝.‎ ‎∵a·b＝，‎ ‎∴|a|·|b|cos θ＝，‎ ‎∴cos θ＝，‎ ‎∴向量a，b的夹角为45°.‎ ‎(2)∵|a－b|2＝(a－b)2‎ ‎＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，‎ ‎∴|a－b|＝.‎ ‎8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，‎ 得