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成都外国语学校 19-20 学年度上期高 2017 级 12 月月考
数学试题(理)
出题人：朱世衡 审题人：刘丹 考试时间：120 分钟 满分 150 分
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1. 已知集合 푀 = {푥∣ 푥 < 1
2,푥 ∈ 퐑}，集合 푁 = {푥∣ 푥 ≥ ―4,푥 ∈ 퐑}，则 푀 ∩ 푁 = ( )
A. {푥∣ 푥 ≤ 1
2} B. {푥∣ ― 4 ≤ 푥 < 1
2}
C. 퐑 D. ∅
2. 在复平面内，复数 푧 所对应的点 퐴 的坐标为 (3,4)，则 ∣푧∣
푧 = ( )
A. 4
5 ― 3
5i B. 4
5 + 3
5i C. 3
5 ― 4
5i D. 3
5 + 4
5i
3. 等比数列 {푎푛} 的前 푛 项和为 푆푛，若 푎1 + 푎2 + 푎3 = 3，푎4 + 푎5 + 푎6 = 6，则 푆12 = ( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
4. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能 1 天发芽，也可能 2 天发芽，⋯⋯，如表是不同发芽天
数的种子数的记录：
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 ≥8
种子数 8 26 22 24 12 4 2 0
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是 ( )
A. 2 B. 3
C. 3.5 D. 4
5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著
的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进
的算法．如右图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个
实例，若输入的 푥 = 2，푛 = 2，则输出的 푆 = ( )
A. 8 B. 10
C. 12 D. 22
6. 已知条件 푝:∣푥 + 1∣ > 2，条件 푞:∣푥∣ > 푎，且 ¬푝 是 ¬푞 的必要不充分
条件，则实数 푎 的取值范围是 ( )
A. 0 ≤ 푎 ≤ 1 B. 1 ≤ 푎 ≤ 3
C. 푎 ≤ 1 D. 푎 ≥ 3
7. 将函数 푦 = 2sin(2푥 + π
4) 的图象向右平移 π
12 个单位后，所得图象对应的函数解析式为 ( )
A. 푦 = 2sin(2푥 ― 5π
12) B. 푦 = 2sin(2푥 + 5π
12)
C. 푦 = 2sin(2푥 ― π
12) D. 푦 = 2sin(2푥 + π
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8. 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该
几何体的体积为 ( )
A.
3π
6 +2 3 B. π
3 +4
C.
3π
12 +2 3 D. 2π
3 +4
9. 已知实数 푎，푏 满足不等式 푎2 + (푏 ― 1)2 ≤ 1，则点 퐴(1, ― 1) 与
点 퐵( ―1, ― 1) 在直线 푎푥 + 푏푦 + 1 = 0 的两侧的概率为 ( )
A. 3
4 B. 2
3
C. 1
2 D. 1
3
10. 正项数列 {푎푛} 的前 푛 项和为 푆푛，且 2푆푛 = 푎2푛 + 푎푛(푛 ∈ 퐍∗)，设 푐푛 = ( ―1)푛2푎푛 + 1
2푆푛
，
则数列 {푐푛} 的前 2020 项的和为 ( )
A. ― 2019
2020 B. ― 2020
2019 C. ― 2020
2021 D. ― 2021
2020
11. 设函数 푓(푥) 满足푥2푓ʹ(푥) +2푥푓(푥) = e푥
푥 ，푓(2) = e2
8 ，则 푥 > 0 时 푓(푥) ( )
A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值
12. 已知函数 푓(푥) = {∣ln푥∣, 0 < 푥 ≤ e
푓(2e ― 푥), e < 푥 < 2e，设方程 푓(푥) = 2―푥 +푏(푏 ∈ 퐑) 的四个实根从小到大依
次为 푥1，푥2，푥3，푥4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是 ( )
A. 푥1 + 푥2 = 2 B. e2 < 푥3푥4 < (2e ― 1)2
C. 0 < (2e ― 푥3)(2e ― 푥4) < 1 D. 1 < 푥1푥2 < e2
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13. 已知 tan(π + 훼) = 2，则 sin2훼 = ．
14. 向量 푎，푏 满足 ∣푎∣ = 2，∣푏∣ = 1，且 ∣푎 ― 2푏∣ ∈ (2,2 3]，则 푎，푏 的夹角 휃 的取值范围
是 ．
15. 在 (1 + 2푥 ― 푥2)4 展开式中， 푥7 的系数是 ．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点(0,1)的直线 l 与双曲线 3x2- y2=1 交于两点 A，B.
若△OAB 是直角三角形，则直线 l 的斜率为 ．
三、解答题（共 6 小题；共 70 分）
17. 在 △ 퐴퐵퐶 中，角 퐴，퐵，퐶 所对的边分别为 푎，푏，푐，푏cos퐶 = 푎cos2퐵 + 푏cos퐴cos퐵．
（1）求证： △ 퐴퐵퐶 是等腰三角形；
（2）若 cos퐴 = 7
8，且 △ 퐴퐵퐶 的周长为 5，求 △ 퐴퐵퐶 的面积．
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18. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有 푁 个人参加，现将所有参加
者按年龄情况分为 [20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55) 等七组，其
频率分布直方图如图所示，已知 [25,30) 这组的参加者是 6 人．
（1）根据此频率分布直方图求 푁；
（2）组织者从 [45,55) 这组的参加者（其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机选取 3
名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 푋，求 푋 的分布列、均值及方差．
19. 在如图所示的几何体中， △ 퐴퐵퐶 是边长为 2 的正三角形，퐴퐸 > 1，퐴퐸 ⊥ 平面퐴퐵퐶，平面퐵퐶퐷 ⊥
平面퐴퐵퐶，퐵퐷 = 퐶퐷，且 퐵퐷 ⊥ 퐶퐷．
（1）若 퐴퐸 = 2，求证：퐴퐶 ∥ 平面퐵퐷퐸；
（2）若二面角 퐴 ― 퐷퐸 ― 퐵 为 60∘，求直线 퐶퐷 与平面 퐵퐷퐸 所成角．
C B
E
D
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20. 已知椭圆 퐶:푥2
푎2 + 푦2
푏2(푎 > 푏 > 0) 的左顶点为 퐴 ，上顶点为 퐵 ，右焦点为 퐹 ，离心率为 2
2 ，
△ 퐴퐵퐹 的面积为 2 +1 ．
（1）求椭圆 퐶 的方程；
（2）若 푀 ， 푁 为 푦 轴上的两个动点，且 푀퐹 ⊥ 푁퐹 ，直线 퐴푀 和 퐴푁 分别与椭圆 퐶 交于
퐸 ， 퐷两点．求证：直线퐸 퐷过定点，并求出该定点。
21. 已知称函数 是“有趣的”，如果其满足 且 x=1 是它的零点。例如
就是“有趣的”。已知 是“有趣的”。
（1）求出 b、c 并求出函数 的单调区间；
（2）若对于任意正数 x，都有 恒成立，求参数 k 的取值范围。
请考生在 22,23 题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑。
22. 在平面直角坐标系下，直线 푙:{푥 = 1 + 2
2 푡,
푦 = 2
2 푡
（푡 为参数），以原点 푂 为极点，以 푥 轴的非负半轴
为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 퐶 的极坐标方程为 휌 ― 4cos휃 = 0．
（1）写出直线 푙 的普通方程和曲线 퐶 的直角坐标方程；
（2）若直线 푙 与曲线 퐶 交于 퐴，퐵 两点，求 ∣퐴퐵∣ 的值．
23. 已知函数 푓(푥) = ∣푥∣（푥 ∈ 퐑）．
（1）求不等式 푓(푥 ― 1) +푓(푥 + 1) ≤ 4 的解集 푀；
（2）若 푎,푏 ∈ 푀，证明 2푓(푎 + 푏) ≤ 푓(푎푏) +4．
( )f x 1( ) ( )f x f x
=
1( ) ln lng x x x
= ⋅ 2( ) ln( ) ln( )h x x c bx= + −
( )h x
( ) ( ) 0h x kg x+ ≤高三数学理科 第 5 页（共 10 页）
答案
选择题
1. B
2. C 【解析】푧 = 3 + 4i，所以 ∣푧∣ = 32 + 42 = 5，
所以 ∣푧∣
푧 = 5
3 + 4i = 5(3 ― 4i)
(3 + 4i)(3 ― 4i) = 3
5 ― 4
5i．
3. C
4. B
5. D 【解析】模拟程序的运行，可得 푥 = 2，푛 = 2， 푘 = 0，푆 = 0，푎 = 2，
푆 = 2，푘 = 1，不满足条件 푘 > 2，执行循环体，푎 = 4，푆 = 8，푘 = 2，
不满足条件 푘 > 2，执行循环体，푎 = 6，푆 = 22，푘 = 3，
此时，满足条件 푘 > 2，退出循环，输出 푆 的值为 22．
6. C 【解析】푝:∣푥 + 1∣ > 2⇒푥 > 1 或 푥 < ―3，当 푎 ≥ 0 时，푞:∣푥∣ > 푎⇒푥 > 푎 或 푥 < ―푎，
当 푎 < 0 时，푞:∣푥∣ > 푎⇒푥 ∈ 퐑，因为 ¬푝 是 ¬푞 的必要不充分条件，
所以 푞 是 푝 的必要不充分条件，因此 푝⫋푞．
从而 푎 < 0 或 {푎 ≥ 0,
푎 ≤ 1,
―푎 ≥ ―3
⇒0 ≤ 푎 ≤ 1，即 푎 ≤ 1．
7. D
8. A 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个
三棱柱组合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为 1，三棱柱的底面是
一个边长为 2 的正方形，它们的高分别为： 3，2，
则该几何体的体积 푉 = 1
3 × 1
2 × π × 3 + 3
4 × 22 × 2 =
3π
6 +2 3．
9. C 【解析】若点 퐴(1, ― 1) 与点 퐵( ―1, ― 1) 在直线
푎푥 + 푏푦 + 1 = 0 的两侧，则 (푎 ― 푏 + 1)( ―푎 ― 푏 + 1) < 0，
即 (푎 ― 푏 + 1)(푎 + 푏 ― 1) > 0，
又实数 푎，푏 满足不等式 푎2 + (푏 ― 1)2 ≤ 1，
作出图象如图：由图可知，点 퐴(1, ― 1) 与点 퐵( ―1, ― 1)
在直线 푎푥 + 푏푦 + 1 = 0 的两侧的概率为 1
2．
10. C
【解析】因为 2푆푛 = 푎2푛 + 푎푛(푛 ∈ 퐍∗)，푎푛 > 0，所以当 푛 = 1 时，2푎1 = 푎21 + 푎1，解得 푎1 = 1，
当 푛 ≥ 2 时，2푎푛 = 2(푆푛 ― 푆푛―1) = 푎2푛 + 푎푛 ― (푎2푛―1 + 푎푛―1)，化为：(푎푛 + 푎푛―1)(푎푛 ― 푎푛―1 ― 1) = 0，
所以 푎푛 ― 푎푛―1 = 1，所以数列 {푎푛} 是等差数列，公差为 1，首项为 1，
所以 푎푛 = 1 + (푛 ― 1) = 푛，푆푛 = 푛(푛 + 1)
2 ，所以 푐푛 = ( ―1)푛2푎푛 + 1
2푆푛
= ( ―1)푛 ⋅ 2푛 + 1
푛(푛 + 1) = ( ―1)푛(1
푛 + 1
푛 + 1)，
则数列 {푐푛} 的前 2016 项的和
= ― (1 + 1
2) + (1
2 + 1
3) ― (1
3 + 1
4) + ⋯ + ( 1
2020 + 1
2021) = ―1 + 1
2021 = ― 2020
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11. D 【解析】由 푥2푓ʹ(푥) +2푥푓(푥) = e푥
푥 ，得 푓ʹ(푥) = e푥 ― 2푥2푓(푥)
푥3 ，令 푔(푥) = e푥 ―2푥2푓(푥)，푥 > 0，所以
푔ʹ(푥) = e푥 ―2푥2푓ʹ(푥) ―4푥푓(푥) = 푥e푥 ― 2e푥
푥 ．令 푔ʹ(푥) = 0，得 푥 = 2．当 푥 > 2 时，푔ʹ(푥) > 0；当 0 < 푥 < 2
时，푔ʹ(푥) < 0，所以 푔(푥) 在 푥 = 2 时有最小值 푔(2) = e2 ―8푓(2) = 0，从而当 푥 > 0 时，푓ʹ(푥) ≥ 0，则
푓(푥) 在 (0, + ∞) 上是增函数，所以 푓(푥) 无极大值也无极小值．
12. B 【解析】方程 푓(푥) = 2―푥 +푏(푏 ∈ 퐑) 的根可化为函数
푦 = 푓(푥) ― 2―푥 与 푦 = 푏 图象的交点的横坐标，作函数 푦 = 푓
(푥) ― 2―푥 的图象，由图象可得，0 < 푥1 < 1 < 푥2 < e < 푥3 < 2e
―1 < 푥4 < 2e，故 푥3 ⋅ 푥4 > e2；
易知 ∣ln(2e ― 푥3)∣ > ∣ln(2e ― 푥4)∣，
即 ln(2e ― 푥3) > ― ln(2e ― 푥4)，
即 ln(2e ― 푥3) + ln(2e ― 푥4) > 0，
即 4e2 ―2e(푥3 + 푥4) + 푥3 ⋅ 푥4 > 1，
即 2e(푥3 + 푥4) < 푥3 ⋅ 푥4 +4e2 ―1，
∴ 푥3푥4 < (2푒 ― 1)2，
∴ e2 < 푥3푥4 < (2e ― 1)2．
填空
13. 4
5【解析】因为 tan(π + 훼) = tan훼 = 2，所以 sin2훼 = 2sin훼cos훼
sin2훼 + cos2훼 = 2tan훼
tan2훼 + 1 = 2 × 2
22 + 1 = 4
5.
14. (π
3,2π
3 ]【解析】因为 ∣푎 ― 2푏∣ ∈ (2,2 3]，所以 (푎 ― 2푏)2 ∈ (4,12]，
即 푎2 +4푏2 ―4푎 ⋅ 푏 = 4 + 4 ― 8cos휃 ∈ (4,12]，所以 cos휃 ∈ [ ― 1
2,1
2)，故 휃 ∈ (π
3,2π
3 ]．
15. -8【解析】푥7 项系数为 C04C1421( ― 1)3 = ―8．
16. 【解析】
（1）∠AOB=90°：直线 l 的斜率显然存在，设直线为 y=kx+1。联立双曲线：3x2- y2=1，消去 y 得：
(3 - 푘2)푥2 ―2푘푥 ― 2 = 0. 注意到∠AOB=90°⇔ ，带入解出 .
（2）∠OAB=90°（A 在左支）设 A 点坐标(m,n)( m (0,1)s∈ ( ) ( 1) 0kH s ss
′ = − <
1 1
(e ) (e 1) 0k kh k
− −= + > (0,1) ( )H s 0s s=
0( ,1)s s∈ ( ) 0H s <
1
2k < 00 1s< < 0( ,1)s s∈ ( ) 0H s <
0
1(1, )t s
∈ 1( ) ( ) 0G t H t
′ = < (1) 0G =
0
1(1, )t s
∈ ( ) 0G t <
0
1(1, )x
s
∈ 2
2
1( ) ( ) 0( 1)F x G xx x
′ =
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