辽宁师大附中2019-2020高二上学期12月月考试题数学（Word版含答案）.docx

辽宁师大附中 高二数学 第 1 页共 6 页 辽宁师大附中 2019----2020 学年上学期第二次模块考试 高二数学试题 考试时间：90 分钟 满分：120 分 第 Ⅰ 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 选出一个选项 1． 过点 A(2，3)且垂直于直线 2x＋y－5＝0 的直线方程为 (　　) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋5＝0 2．已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是 (　　) A．1 B．－1 C．－2 或－1 D．－2 或 1 3．已知点 P 是圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2 上任一点，则点 P 到直线 x－y－1＝0 的距离 的最大值是 (　　) A. 2 B．2 2 C．3 2 D．2＋2 2 4．已知双曲线 x2 a2－ y2 9 ＝1(a＞0)的渐近线方程为 y＝± 3 4x，则该双曲线的离心率为 A. 3 4 B. 7 4 C. 5 4 D. 5 3 (　　) 5． 点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是 (　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 6．若直线 2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4， 则a2＋b2的最小值为 (　　) A. 1 4 B. 2 C. 3 2 D． 1 2 7．设椭圆 C：y2＋ x2 m2＝1(0＜m＜1)的两焦点分别为 F1，F2，若在椭圆 C 上存在点 P 使 得 PF1⊥PF2，则 m 的取值范围是 (　　) A.[ 2 2 ，1) B.(0， 2 2 ] C.[1 2，1 ) D.(0， 1 2 ] 8．已知过双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点的直线 l 与 C 交于 A，B 两点， 且使|AB|＝4a 的直线 l 恰好有 3 条，则双曲线 C 的渐近线方程为 (　　) A．y＝± 2x B．y＝± 2 2 x C．y＝±2x D．y＝± 1 2x 9．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直 线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 (　　) A．2 B．3 C. 11 5 D. 37 16 10．已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，P辽宁师大附中 高二数学 第 2 页共 6 页 是椭圆 C 上一点，且|PF2|＝|F1F2|，直线 PF1 与圆 x2＋y2＝ c2 4 相切，则椭圆的离 心率为 (　　) A. 1 3 B. 3－1 2 C. 2－1 2 D. 3 4 11．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两个不同的点，当|AB|＝6 时， △OAB(O 为坐标原点)的面积是 (　　) A. 10 B. 3 C. 6 D. 2 12．已知椭圆的方程为 x2 a2＋y2＝1(a＞1)，上顶点为 A，左顶点为 B，设 P 为椭圆上一 点，则△PAB 面积的最大值为 2＋1.若已知 M(－ 3，0)，N( 3，0)，点 Q 为 椭圆上任意一点，则 1 |QN|＋ 4 |QM|的最小值为 (　　) A．2 B. 3＋2 2 C．3 D． 9 4 第 Ⅱ 卷 非选择题（共 60 分） 二、填空题：本题包括 4 小题，共 20 分。 13．椭圆 x2 10－m＋ y2 m－2＝1 的焦距为 4，则 m 等于________． 14.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切 的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 15．已知椭圆 E： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两 点．若 AB 的中点为 M(1，－1)，则 E 的方程为________． 16．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线 l 的垂线 MN，垂足为 N，则 |MN→ | |AB→ | 的最大值为 ________． 三、解答题：本题包括 4 小题，共 40 分。 17.(8 分)已知 M(m，n)为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点． (1)求 2m＋n 的最大值； (2)求(m＋2)2＋(n－3)2 的最小值； 18．(10 分)已知曲线 C 的方程是 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线 C 过 A( 2 4 ， 2 2 )， B( 6 6 ， 3 3 )两点，O 为坐标原点．辽宁师大附中 高二数学 第 3 页共 6 页 (1)求曲线 C 的方程； (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)为曲线 C 上两点，向量 p＝( mx1， ny1)， q＝( mx2， ny2)，且 p·q＝0，若直线 MN 过点(0， 3 2 )，求直线 MN 的斜 率． 19.(10 分) 已知双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的离心率 e＝ 3，双曲线 C 上任意一点 到其右焦点的最小距离为 3－1. (1)求双曲线 C 的方程． (2)过点 P(1，1)是否存在直线 l，使直线 l 与双曲线 C 交于 R，T 两点，且点 P 是线 段 RT 的中点？若直线 l 存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 20．(12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)过点 M(m，2)，其焦点为 F，且|MF|＝2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点，过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物 线 C 和圆 F：(x－1)2＋y2＝1 相切，切点分别为 A，B，求证：A，B，F 三点共 线． 参考答案 一、ADCCB DBAAB CD辽宁师大附中 高二数学 第 4 页共 6 页 二、13)4 或 8；14）(x－1)2＋y2＝2. 15）x2 18＋y2 9＝1 16） 12．　[解析] 在椭圆x2 a2＋y2＝1(a＞1)中，点 A(0，1)，B(－a，0)，则|AB|＝a2＋1，kAB ＝1 a，直线 AB 的方程为 y＝1 ax＋1，设与直线 AB 平行的椭圆的切线方程为 y＝1 ax＋b， 由方程组{y＝1 ax＋b， x2 a2＋y2＝1， 得 2x2＋2abx＋a2b2－a2＝0， 由 Δ＝(2ab)2－4×2(a2b2－a2)＝0，得 b2＝2，则 b＝－ 2， 两平行线间的距离 d＝ | 2＋1| (1 a )2 ＋1 ＝a（ 2＋1） a2＋1 ， 则△PAB 面积的最大值为1 2|AB|·d＝ 2＋1，得 a＝2， ∴|QM|＋|QN|＝2a＝4， ∴ 1 |QN|＋ 4 |QM|＝ 1 4( 1 |QN|＋ 4 |QM|)·(|QM| ＋ |QN|) ＝ 1 ＋ 1 4＋ |QM| 4|QN|＋ |QN| |QM|≥1 ＋ 1 4＋ 2 |QM| 4|QN|· |QN| |QM|＝9 4， 当且仅当|QM|＝2|QN|时取等号. 三、17．解：(1)由圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 则圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r＝2 2. 设 2x＋y＝b，即 2x＋y－b＝0，作出圆(x－2)2＋(y－7)2＝8 与一组平行线 2x＋y－b＝ 0，当直线 2x＋y－b＝0 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离 d＝ |2 × 2＋7－b| 4＋1 ＝2 2，解得 b＝11＋2 10，或 b＝11－ 2 10， 所以 2m＋n 的最大值为 11＋2 10. （4 分） (2)(m＋2)2＋(n－3)2 表示点 M(m，n)与点 Q(－2，3)的距离的平方， 又|QC|＝ （2＋2）2＋（7－3）2＝4 2. 所以|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2，即(m＋2)2＋(n－3)2 的最小值为 8. （8 分） 18．解：(1)将点 A，B 的坐标代入曲线 C 的方程，可得{1 8m＋1 2n＝1， 1 6m＋1 3n＝1， 解得 m＝4，n＝ 1. 所以曲线 C 的方程为 y2＋4x2＝1. （4 分） (2)设直线 MN 的方程 y＝kx＋ 3 2 ，代入椭圆方程 y2＋4x2＝1 得(k2＋4)x2＋ 3kx－1 4＝ 0. 2 2辽宁师大附中 高二数学 第 5 页共 6 页 ∴判别式 Δ＝( 3k)2－4(k2＋4)·－1 4＝4k2＋4>0，x1＋x2＝ － 3k k2＋4，x1x2＝ －1 4 k2＋4， ∴p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0， ∵y1y2＝(kx1＋ 3 2 )(kx2＋ 3 2 )＝k2x1x2＋3 4＋ 3 2 k(x1＋x2)， ∴ －1 k2＋4＋ －1 4k2 k2＋4＋ 3 2 k·（－ 3k） k2＋4 ＋3 4＝0， 即 k2－2＝0，k＝± 2. （10 分） 19．解：(1)由离心率 e＝ 3，得c a＝ 3.① 又双曲线 C 上任意一点到其右焦点的最小距离为 3－1，则 c－a＝ 3－1.② 由①②，解得 c＝ 3，a＝1，则 b2＝c2－a2＝2， ∴双曲线 Г 的方程为 x2－y2 2＝1. (2)假设存在过点 P(1，1)的直线 l，使直线 l 与双曲线 C 交于 R，T 两点，且点 P 是 线段 RT 的中点． 设 R(x1，y1)，T(x2，y2)，则有{x－y 2＝1， x－y 2＝1， 两式作差，得(x1＋x2)(x1－x2)－ （y1＋y2）（y1－y2） 2 ＝0，即y1－y2 x1－x2＝2（x1＋x2） （y1＋y2） . 又点 P 是线段 RT 的中点，则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴直线 l 的斜率 k＝y1－y2 x1－x2＝2（x1＋x2） （y1＋y2） ＝2， 则直线 l 的方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1， 代入双曲线 C 的方程 x2－y2 2＝1，得 2x2－4x＋3＝0， Δ＝16－24＝－8