成都外国语学校 2019-2020（上）高 2018 级 12 月月考
高二数学试卷（理）
第 I 卷（选择题)
一、单选题
1．若 ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线方程 的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的
平均数与中位数分别为( )
A．22.5 20 B．22.5 22.75 C．22.75 22.5 D．22.75 25
（第 3 题） （第 4 题）
4．甲、乙两位同学在高二 次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩
分别是 、 ，则下列正确的是（ ）
A． ，甲比乙成绩稳定 B． ，乙比甲成绩稳定
C． ，甲比乙成绩稳定 D． ，乙比甲成绩稳定
5．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 10∶8∶7，从中抽取 200 名职员作为样本，若
每人被抽取的概率是 0.2，则该单位青年职员的人数为( )
A．280 B．320 C．400 D．1000
:| | 2, :p x q x a p q a
{ | 2}a a { | 2}a a { | 2}a a - { | 2}a a -
2 2 2 2+ 4) + 4) 10x y x y+ + − =（ （
2 2
125 16
x y+ =
2 2
125 16
y x+ =
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
y x+ =
mm6．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
7．从 1 至 9 这 9 个自然数中任取两个：
恰有一个偶数和恰有一个奇数； 至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
至多有一个奇数和两个数都是奇数； 至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是
A． B． C． D．
8．已知命题 “ ，使得 ”，若命题 是假命题，则实数 的取值
范围是( )
A． B． C． D．
9．设 P 是椭圆 上一点，M，N 分别是两圆： 和
上的点，则 的最小值、最大值分别为（ ）
A．18，24 B．16，22 C．24，28 D．20，26
10． 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则
的面积为
A． B． C． D．
11．已知椭圆 的短轴长为 2，上顶点为 ，左顶点为 ， 分别
是椭圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1
4 8
π 1
2 4
π
① ②
③ ④
( )
① ②④ ③ ①③
:p 0x R∃ ∈ 2
0 02 2 0x ax a+ + + ≤ p a
[ ]1,2− ( )1,2− ( )2,1− ( ]0,2
2 2
1169 25
x y+ = ( )2 212 1x y+ + = ( )2 212 1x y− + =
PM PN+
O F 2: 4C y x= P C 4PF = POF
2 3 2 3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B 1 2,F F
1F AB∆ 2 3
2
−
P
1 2
1 1
PF PF
+
[1,2] [ 2, 3] [ 2,4] [1,4]12．已知点 是双曲线 的左焦点，过 且平行于双曲线渐近线的
直线与圆 交于点 和另一个点 ，且点 在抛物线 上，则该双曲线的
离心率是（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分共 20 分
13．命题“若 且 ，则 ”的否命题是______.（选填“真”或“假”）
14．某同学同时掷两颗均匀正方体骰子，得到的点数分别为 ， ，则椭圆 的离心率
的概率是__________．
15．已知圆 ，圆 ，若圆 上存在点 ，过点
作圆 的两条切线，切点为 ， ，使得 ，则 的取值范围是__________．
16．已知椭圆 C: ，若动点 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切
线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 .
三、解答题
17．已知命题 ： 表示双曲线，命题 ： 表示椭
圆．（1）若命题 与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？
（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充
分也不必要条件”中的哪一个）
（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围．
( )( ),0 0F c c− > 2 2
2 2 1x y
a b
− = F
2 2 2x y c+ = F P P 2 4y cx=
5 3 5
2
+ 5 1
2
+ 5 1
2
−
1a > 1b > 2a b+ >
2 2: 1O x y+ = 2 2:( ) ( 3) 1M x a y a− + − + = M P P
O A B 60APB∠ = ° a
149
22
=+ yx
），（ yxP
P
2 2
11 4
x y
m m
+ =− −
q 2 2
12 4
x y
m m
+ =− −
P q P q
P q∧ P q∨ m18．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名 观众
进行调查，其中有 名男观众和 名女观众，将这 名观众收视时间编成如图所示的茎叶
图（单位：分钟），收视时间在 分钟以上（包括 分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间
在 分钟以下（不包括 分钟）的称为“非朗读爱好者”.
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取 名，再从这
名观众中任选 名，求至少选到 名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在 40 分钟以上（包括 40 分钟）的所有观众中选出男、女观众各 1 名，求
选出的这两名观众时间相差 5 分钟以上的概率.
19．下表是高二某位文科生连续 5 次月考的历史、政治的成绩：
月份 9 10 11 12 1
历史( 分) 79 81 83 85 87
政治( 分) 77 79 79 82 83
求该生 5 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变
量 的线性回归方程 .
(附： ， ， ， )
20．已知圆 与直线 .
（1）若直线 与圆 没有公共点，求 的取值范围；
（2）若直线 与圆 相交于 两点， 为原点，是否存在实数 ，满足 ，若存
在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.
30
12 18 30
35 35
35 35
5 5
2 1
x
y
,x y y bx a= +
1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y n x y
b
x nx
-
=
=
-
=
-
-
å
å
a y bx= −
1
33230
n
i i
i
x y
=
=∑ 2
1
34485
n
i
i
x
=
=∑
2 2: 6 0C x y x y m+ + − + = : 2 3 0l x y+ − =
l C m
l C ,P Q O m OP OQ⊥
m21．已知点 是抛物线 的焦点，若点 在抛物线 上，且
求抛物线 的方程；
动直线 与抛物线 相交于 两点，问：在 轴上是否存在定点
其中 ，使得 x 轴平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
22．已知在平面直角坐标系 中，椭圆 C： 离心率为 ，其短轴
长为 2．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）如图，A 为椭圆 C 的左顶点，P，Q 为椭圆 C 上两动点，直线 PO 交 AQ 于 E，直线 QO 交 AP
于 D，直线 OP 与直线 OQ 的斜率分别为 ， ，且 ， ，
（ 为非零实数），求 的值．
高二上数学月考答案
ADCDC BCBCB 文 11-12DD 理 11-12DC
二、填空题
13．假 14． 15． 16．
三、解答题
17．【答案】（1） 是 的必要不充分条件（2） 或 ．
【解析】（1）∵命题 为真命题，∴ ，解得 ,
又∵命题 是真命题， ∴ 解得 或 ∵
∴ 是 的必要不充分条件,
（2）∵ 为假命题，且 为真命题 ∴ 、 为“一真一假”，
F 2C: 2 ( 0)y px p= > ( )0 ,4P x C
5 .2PF p=
( )1 C
( )2 ( )l: 1x my m R= + ∈ C ,A B x
( ),0 (D t 0)t ≠ ADB∠ D
xOy
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
1k 2k 1 2
1
2k k = − AD DPλ= AE EQµ=
λ µ， 2 2λ µ+
[0,3] 1322 =+ yx
P q 1 2m< ≤ 3m =
P ( )( )1 4 0m m− − < 1 4m< <
q
2 0
4 0
2 4
m
m
m m
− >
− >
− ≠ −
2 3m< < 3 4m< <
{ }|1 4 {2 3 3 4}m m m m< < ⊇ < < < 37
4m <
C l 2 5
4d = l C
37 5
4 4m− < 8m > m 37(8, )4
m OP OQ⊥ l
2 2 6 0
2 3 0
x y x y m
x y
+ + − + =
+ − =
y 25 10 4 27 0x x m+ + − =
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 1 2 2x x+ = − 1 2
4 27
5
mx x
−=
1 2 1 2 1 2
1 2
4 27153 3 9 3( ) 5
2 2 4 4
m
x x x x x xy y
−+− − − + += ⋅ = =
1 2 1 2 0x x y y+ =
4 27154 27 5 05 4
m
m
−+− + = 3m =
2 2 2x y+ =
0 0,x y 0 ,0x 0 0NP x , ,MN 0,x y y= − = （ ）
NP 2NM=
0 0
20 2x y y= =， 0 0,x y
2 2x 12 2
y+ =
2 2 2x y+ =
OQ 3 t PF 1 m n OQ PF 3 3m tn= − = − − − = + −
， ， ， ，
OP m n PQ 3 m t n= = − − − ， ， （ ， ） OP PQ 1
= 2m 2n
2 2 2m n+ =所以 ，即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ
的直线 l 过 C 的左焦点 F.
21 理 22 文．【答案】（1） ；（ 2）存在， .
【解析】 抛物线 C： 的焦点为 ，准线方程为 ，
即有 ，即 ，则 ，解得 ，则 ；
在 x 轴上假设存在定点 其中 ，因为 x 轴平分 ，
设 ， ，联立 和 ，得 ，
恒成立． ，
设直线 DA、DB 的斜率分别为 ， ，则由 得，
，
， 联立 ，得 ，
故存在 满足题意，综上，在 x 轴上存在一点 ，使得 x 轴平分 ，
22 理．【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：因为短轴长 2b=2，所以 b=1， 又离心率 ，所以 ，
所以 ，所以 ， 所以椭圆 C 的标准方程为 ．
（2）由（1），点 A ，设 ，则
因为 ，所以 ，由①得， ，由②得，
， 所以 ，
OQ PF 0=
OQ PF⊥ ，
2 4y x= ( )1,0D −
( )1 2 2 ( 0)y px p= > ,02
p
2
px = −
0
5
2 2
p pPF x= + = 0 2x p= 216 4p= 2p = 2 4y x=
( )2 ( ),0 (D t 0)t ≠ ADB∠
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1x my= + 2 4y x= 2 4 4 0y my− − =
( )216 1 0m= + > 1 2 4y y m+ = 1 2 4.y y = − ①
1k 2k ODA ODB∠ = ∠
( ) ( )
( )( )1 2 2 11 2
1 2
1 2 1 2
y x t y x ty yk k x t x t x t x t
− + −+ = + =− − − −
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 1y my t y my t my y t y y
x t x t x t x t
+ − + + − + − += =− − − −
( )( )1 2 1 22 1 0my y t y y∴ + − + = ② ①② ( )4 1 0m t− + =
1t = − ( )1,0D − ADB∠
2
2 12
x y+ = 2 2 1λ µ+ =
2
2
c
a
= 2a c=
( )2 2 2 22 2a c a b= = − 2 2a =
2
2 12
x y+ =
( )2 0− ， ( ) ( )1 1 0 0P x y D x y， ， ， 1 1 1 0 2 0y k x y k x= =， ，
AD DPλ= ( )
( )0 1 0
0 1 0
2x x x
y y y
λ
λ
+ = − = −
①
② 0 1
1+ 2x x
λ
λ λ= −
1 0
1+y y
λ
λ= 1 1 2 0 2 1
1+ 2k x k x k x
λ
λ λ
= = − 两边同时乘以 k1 得， ，
所以 ， ，代入椭圆的方程得， ，
同理可得， ，所以 ．
2
1 1 1 2 1 1
2 1 2
2k x k k x xλ λ
= − = − −
( )1 2
1
2
1 2
x
k λ
=
+ ( )1
1 2
1
2
1 2
ky
k λ
=
+
2
2
1
1
1 2k
λ = +
2
2 1
22 2
2 1
1
21 1
1 2 1 211 2 2
k
k k
k
µ = = =+ + + −
2 2 1λ µ+ =
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