理科数学试题.pdf

第 1 页 共 5 页 绵阳南山中学 2019 年秋高 2017 级高三 12 月月考 数学参考答案（理科） 一．选择题：1---6 CDACBD 7---12 ABABDA 二．填空题：13.0.018 14. 1 15. 5 4 16. 2 51 三．解答题： 17.解：（1）由已知得   2 2 2cos 2cos 2 2 b A C a c b c a ac    由正弦定理、余弦定理得  sin cos 2cos cos2sin sin B A C BC A   ， 整理得    sin 2sinA B C B   ，即sin 2sinC A ，故 sin 2sin C A  （2）由 sin 2sin C A  得 2c a ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   及 1cos , 24B b  得 2 2 2 14 4 4 4a a a    ，解得 1, 2a c  ， 又 1cos ,04B B    ，所以 15sin 4B  ，因此 1 15sin2 4S ac B  . 18.解：（1）由已知得：   1 1 1 3 2 n n na a     ，所以数列 1 na       是以 1 为首项，3 为 公差的等差数列，  1 1 3 1 3 2 n n na      ， 1 3 2na n    （2） 1 1 n n a a      对 2n  的整数恒成立，即 3 13 2 nn     对 2n  的整数恒 成立 整理得      3 1 3 2 3 1 n n n     ，令      3 1 3 2 3 1n n nc n             1 3 4 3 1 3 1 3 2 3 1 3 4 3 3( 1) 3 ( 1)n n n n n n n nc c n n n n           当 2n  时 1 0n nc c   ，即数列 nc 为单调递增数列，所以 2c 最小， 2 28 3c 第 2 页 共 5 页 所以 的取值范围为 28, 3     . 19.解：（1） ， =112． = ═ ， ． ∴y 关于 x 的线性回归方程为 ； （2）6 种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有 3 种． ∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为 0，1，2，3， P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= ，P（ξ=2）= ，P（ξ=3）= ． ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 期望为 E（ξ）= ． 20 解：(1)由题意 2 1 a c 得 ac 2 1 ，所以 aFF 21 . 又 1 2AF AF a  ,于 2 12BF BF  ，所以 1F 为 2BF 的中点， 所以 1 2 1 2AF AF F F a   , 所以 2ABF 的外接圆圆心为 1( ,0)2 aF  ，半径 1r F A a  . 又过 2A B F、 、 三点的圆与直线 : 3 3 0g x y   相切， 1 32 2 a a     ,解得 2a  ， 2 2 21, 3c b a c    . 故所求椭圆方程为 2 2 14 3 x y  . (2)由(1)知 2 (1,0)F ,设l 的方程为： )1(  xky ，第 3 页 共 5 页 椭圆联立方程得 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ，即 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k    （ ） . 设交点为 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，因为 23 4 0k  ， 则 2 1 2 1 2 1 22 8 , ( 2)3 4 kx x y y k x xk       . 若存在点 ( ,0)P m ，使得以 ,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形， 由于菱形对角线垂直，所以( ) 0PM PN MN     . 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( 2 , )PM PN x m y x m y x x m y y           ， 又 MN 的方向向量是(1, )k ，故 1 2 1 2( ) 2 0k y y x x m     ， 2 1 2 1 2( 2) 2 0k x x x x m       ，即 2 2 2 2 2 8 8( 2) 2 03 4 3 4 k kk mk k      ， 由已知条件知 ,0 Rkk  且 2 2 2 1 33 4 4 km k k     ， 10 4m   ，故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 )4 1,0( . 21.解：（1） ' ' ' 2 2 1 ( 1) 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) m m xF x f x g x x x x         ，（ 1x   ）， 当 0m  时， ' ( ) 0F x  ，函数 ( )F x 在( 1, )  上单调递减； 当 0m  时，令 ' ( ) 0F x  ，得 11 1x m      ，函数 ( )F x 在 1( 1, 1 )m    上单调递 减； ' ( ) 0F x  ，得 11x m    ，函数 ( )F x 在 1( 1 , )m    上单调递增. 综上：当 0m  时，函数 ( )F x 的单调递减区间是( 1, )  ； 当 0m  时，函数 ( )F x 的单调递减区间是 1( 1, 1 )m    ；单调递增区间是 1( 1 , )m    . （2）函数 ( ) ln( 1)f x m x  在点( , ln( 1))a m a  处的切线方程为 ln( 1) ( )1 my m a x aa     ， 即 ln( 1)1 1 m may m aa a      ； ( ) 1 xg x x   （ 1x   ）在点( , )1 bb b  处切线为 2 1 ( )1 ( 1) by x bb b     ，即第 4 页 共 5 页 2 2 2 1 ( 1) ( 1) by xb b    ； 因为 ( )y f x 与 ( )y g x 的图象有且仅有一条公切线， 所以 2 2 2 1 1 ( 1) ln( 1) 1 ( 1) m a b ma bm a a b           ① ② 有唯一一对( , )a b 满足这个方程组，且 0m  . 由①得： 21 ( 1)a m b   ，代入②消去 a 整理得： 22 ln( 1) ln 1 01m b m m mb       ，关于 ( 1)b b   的方程有唯一解. 令 2( ) 2 ln( 1) ln 11b m b m m mb        ，则 ' 2 2 2 2 2[ ( 1) 1]( ) 1 ( 1) ( 1) m m bb b b b        ， 方程组有解时， 0m  ，所以 ( )b 在 1( 1, 1 )m    单调递减，在 1( 1 , )m    单调 递增； 所以 min 1( ) ( 1 ) ln 1b m m mm        ， 因为b   ， ( )b   ； 1b   ， ( )b   ，所以只需 ln 1 0m m m   ， 令 ( ) ln 1m m m m    ， ' ( ) lnm m   ，又 ' (1) 0  ，所以 ( )m 在(0,1) 单增，在 (1, ) 单减，所以 max( ) (1) 0m   ， 所以 1m  时， ln 1 0m m m   ，此时关于b 的方程 22 ln( 1) ln 1 01m b m m mb       有唯一解 0b  ， 0a b  ， 公切线方程为 y x .故m 的值为 1. 22. 解:(1)由曲线 ,1)sin(cos2cos: 2222  C 得 ,1sincos 2222   化成普通方程为 )1(,122  yx （2）把直线方程化为标准参数方程第 5 页 共 5 页 1)2 3()2 12122( 2 3 2 12 22         ttt ty tx ）得（）代入（）把（为参数）（ 整理得 0642  tt 设其两根为 ,, 21 tt 则 6,4 2121  tttt 弦长为 1024) 21 2 2121  tttttt （ 23.解： 函数 的图象关于直线 对称， ， ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，此时不等式无解， 当 时， ，解得 ， 综上所述不等式 的解集为 ． ， 又 的最小值为 2， ， ，当且仅当 时取 等号， 故 的最小值为 2，其相应的 ．