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数学参考答案（理科）
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 B C A B A D B A C A D D
1.【解析】根据复数模的性质. 4 3 5| | | | 51 2 5
iz i
。
2.【解析】集合 ( 2,1)B ，所以 { 2,1,2}UA B （ ） ，有 3 个元素。
3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于 0，反过来不成立。
4.【解析】 3927 =3.14161250
， 355 =3.141592113
， 22 =3.1428577
， 9.8684=3.14140096 ，故选 B。
5.【解析】 (1) 1 ( ( 1) 1)f f ，所以 ( 1) 3f 。
6.【解析】 1 1=1n
n ka n k n k
，由 k 是正数及反比例函数的单调性知 5 0k 且 6 0k ，故选 D。
7.【解析】 12 11 10 9 8 95040sum ，判断框在 12,11,10,9,8i 都满足条件， 7i 不满足，故选 B
8.【解析】 ( ) 1 ( ) 32 2f f ， ，故选 A。
9.【解析】球心是 AC 的中点， 2
5R ，
6
125
8
125
3
4
3
4 3 RV ，选 C
10.【解析】设 1 9 10a b x xa b ，于是 1 9 9(10 ) ( )( ) 10 10 2 9 16a bx x a b a b b a
所以 2 10 +16 0 2 8x x x ，所以 a b 的最小值是 2 （当 1 3,2 2a b 时取得）
11.【解析】设点 0
0
1( , )P x x ，切线 l 方程为 2
00
1 2y x xx ，所以 0
0
2(2 ,0), (0, )A x B x ，点
0
0
1( , )P x x 是 AB 中点，S 2AOB ,命题（1）（2）都正确。过原点作倾斜角等于15 和
75 的 2 条射线与曲线的交点为 ,M N ,由对称性知 OMN 是等边三角形,命题（3）
正确。过原点作 2 条夹角等于 45 的射线与曲线的交点为 ,M N ,当直线 OM 的倾斜角从 90 减少到 45 的过
程中， OM
ON 的值从 + 变化到 0 ,在这个过程中必然存在 OM
ON 的值为 2 和 2
2
的时刻,此时 OMN 是等腰直
角三角形,命题（4）正确.
12.【解析】解 1： 2 22| | 2 13 2a b a b a b a b
，由题设 =( ) 1 | || | 1= | | 1a b a b c a b c a b
，
所以 2 22 21 | | 2 13 2a b a b a b a b a b
（ ） ，得 2 12a b
（ ） ，所以 2 3 2 3a b
，
因此，| | = 13 2 13 4 3 =2 3 1a b a b
，易见等号可以取得，故选 D。
解 2：由题设 ( ) ( ) 0a c b c
，在矩形 ABCD 中， 3, 2, 1PA PB PC ,根据矩形性质第 2 页 共 5 页
2 2 2 2PA PB PC PD ,可得 2 3PD ,所以| | | | | | 2 3 1a b AB CD
，当 P 点在 CD 上等号成立。
13.【答案】
7
25 【解析】 ， 为锐角
24 3sin 1 5 5 ，
23 4sin( ) 1 5 5
2 24 3 7sin sin sin cos cos sin 5 5 25
14.【答案】 7
30 【解析】由题设奇函数 ( )f x 关于直线 1x 对称，所以函数是周期函数，且最小正周期 4T ，
所以 10 3 2 1 2 1 1 1 7( ) ( ) ( ) ( )3 10 3 10 3 10 3 10 30f f f f 。
15.【答案】 5 1
2
【解析】设正方体棱长为 1，易知截面 ACEK 是等腰梯形，延
长两腰相交于 F 点，设 1KB x ，可得 1 1 1
1, ,1 1
xKB B E x B F BFx x ，三棱
台 1ABC KB E 的 体 积 2 21 1 1 1(1 1 ) (1 )6 1 1 6 3
xV x x xx x ， 所 以
2 5 11 0 2x x x ，
所以 1
5 1 3 51 2 2A K , 1
1
3 5 2 5 1= 2 25 1
A K
KB
（也可以由黄金分割性质直接得到）
解析 2.由三棱台体积公式计算也行。设法同解析 1，三棱台上底面积是 21
2 x ，下底面积为 1
2
，高等于1 ，
所以 2 21 1 1 1 1 1( ) 13 2 2 2 2 3V x x ，解得 5 1
2x 。后同解法 1.
16.【答案】 3 【解析】 21 1sin sin 22 2S AB AC A AB A ，所以 2 24 1,sin sinAB ADA A ,
根据余弦定理 2 2 2 2 5 4cos2 cos (5 4cos ) sin
ABD AB AD AB AD A A AD A
所以 2 4sin 4cos 16 sin( ) 5BD A A BD A ，可得 4 16 5BD ，解得 3BD 。
17.【解析】（1）由题设 1n 时， 2 2
1 1( 1)n n n n na S S n a n a ，所以 1
1
1n n
na an
………………2 分
累乘或者迭代可得 1
1 2 3 1 2=1 1 3 ( 1)n
n n na an n n n n
， …………………………………………4 分
当 1n 时也符合，所以 2 2 2
( 1) 1n
nS n n n n 。 ………………………………………………………6 分
（2） 2 1 12( )! ( 1) ! ! ( 1)!
n
n
S nb n n n n n ，
所以 1 1 1 1 1 12[(1 ) ( ) ( )] 2(1 ) 22! 2! 3! ! ( 1)! ( 1)!nT n n n ……………………………………8 分
注意到 0,na 所以 1 1nT T ，因此1 2nT 。 ……………………………………………………10 分第 3 页 共 5 页
18.【解析】（1）连接 BD ，由题设 1 1 1 1/ / ,BB DD BB DD ,
所以四边形 1 1BB D D 是平行四边形，所以 1 1/ /BD B D .
由题设，四边形 ABCD 是等腰梯形，取 AD 中点 E ,连接 ,BE CE ,
因为 2, / /BC DE BC DE ,所以四边形 BCDE 是平行四边形，
2BE CD ,所以 AE DE BE ,得到
2ABD ,因此 AB BD .
又由题设， 1 1BB ABC BB BD 平面 ,又 1AB BB B
所以 1 1BD ABB A 平面 ,又 1 1/ /BD B D （已证）
所以 1 1 1 1B D ABB A 平面 ，而 1 1 1 1 1B D B C D 平面 ,因此 1 1 1 1 1B C D ABB A平面 平面 。 ……………………6 分
（2）以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标
1 1 1 1(0,0,0), ( 3,1,0), ( 3,3,0), (0,4,0), (0,0, 4), ( 3,1,2), ( 3,3,1), (0,4, 2),A B C D A B C D ……………………8 分
所以 1 (0,2, 2)B C
, 1 1 (0,2, 1),B C
1 1 ( 3,3,0)B D
,设平面 1 1 1B C D 的法向量为 ( , , )n x y z ，
则 1 1
1 1
2 0
n 3 3 0
n B C y z
B D x y
，令 1 2, 3y z x ， ( 3,1,2)n …………………………………10 分
所以直线 1B C 和平面 1 1 1B C D 所成角的正弦值 1
0 2 4 1sin | cos , | | | 48 8
n B C
.……………………12 分
19.【解析】（1）根据正弦定理
2 2 2sin sin 2 2cossin sin
a A B a c bBb B B ac
所以 2 2 2 2( )a c b a c b ，整理得 2 2a b bc 。 …………………………………………………………4 分
（2）由（1）得 2 26 4 4 5c c ，根据角平分线定理 CA CB
AD BD ,可得 2, 3AD BD ;……………6 分
设 CD x ，由 ADC BDC ,得
2 24 16 9 36cos cos 04 6
x xADC BDC x x
，……………10 分
解得 3 2x ，所以角平分线 CD 的长等于 3 2 。 ………………………………………………………12 分
说明：第（1）小题用相似三角形证明给分，第（2）题也可以用面积比得到，过程正确均给满分。
20.【解析】（1）令
2( 1) 2( 1)( ) ( ) 1 1
x xh x f x lnxx x
，
2
2
( 1)( ) 0( 1)
xh x x x
， ………………2 分
故 ( )h x 在 1x 时是增函数， ( ) (1)h x h 0 ，即 2( 1)
1
xlnx x
； ………………………………4 分
（2）不妨设 1
2 1
2
, 1xx x x 则 ，由题设 1 1 2 2ln ,lnx kx x kx ，所以 1 2 1 2
1 2 1 2
ln ln ln lnx x x xk x x x x
，第 4 页 共 5 页
由（1）的结论
1
1 2 1 2
1 2
12 1 2
2
2( 1) 2( )ln ln ln
1
x
x x x xx x xx x x
x
，…………………………………………………8 分
所以
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2( )ln +ln (ln ln ) 2x x x x x xx x x xx x x x x x
，因此 2
1 2x x e ……………………12 分
21.【解析】（1）由题意，侧面 PAB 是等腰直角三角形， 3 2 2 2PB PM ，
作 / /MN BC 交 PC 于 N ,连接 DN .因为 2 2
33 2
PM MN MN
PB BC ,
所以 2MN ,又 / / , / / , 2MN BC AD BC AD ,所以 / / ,MN AD MN AD且 ,
四边形 AMND 是平行四边形， / /AM DN ，又 DN PCD 平面 ,所以 / /AM PCD平面 。………………4 分
（2）由 PA ABCD 底面 ，可得 ,PA AB PA AD ,又 AB AD ,所以 , ,AB AD AP 两两互相垂直，
以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标如下：
(0,0,0), (3,3,0), (0, 2,0), (0,0,3), (2,0,1)A C D P M …………………………………6 分
所以 (2,0,1), (3,3,0)AM AC
，设平面 AMC 的法向量为 ( , , )m x y z ，
则 2 0
3 3 0
m AM x z
m AC x y
，令 1, 1, 2x y z 得 ，所以 (1, 1, 2)m ； ……8 分
向量 (3,3, 3), (0, 2, 3),PD PC
设平面 PCD 的法向量为 1 1 1( , , )n x y z ，
则 1 1 1
1 1
3 3 3 0
2 3 0
m AM x y z
m AC y z
，令 1 3y 得 1 12, 1z x ，所以 ( 1,3,2)n …………………………10 分
设平面 AMC 与平面 PCD 所成锐二面角为 ，则 1 3 4 4cos 21216 14
所以平面 AMC 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值等于 4 2121
。……………………………………12 分
22.【解析】（1）记 1 1( ) ( ) ( ) 1 ln( 1)2 2
xh x f x g x e x x x ，则 (0) 0h ；
求导得 ' 1 1 1 1 3( ) 1 [ln( 1) ] ln( 1)2 1 2 2( 1) 2
x xh x e x x e xx x ，且 ' (0) 0h ；…………………2 分
再求导 2
1 1 1''( ) ( )2 1 ( 1)
xh x e x x
， …………………………………………………………………4 分
注意 0x 时， 1,xe 且 2
1 1 1( ) 12 1 ( 1)x x
，
所以 ''( ) 0h x ，因此 '( ) '(0) 0h x h ，函数 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增， ( ) (0) 0h x h
所以 1( ) ( )2f x g x 在 (0, ) 恒成立，等号当且仅当 0x 时成立。 ……………………………………6 分
（2）当 0x 时， ( ) ln( 1) 0g x x x ，所以 1
2k 时， 1( ) ( ) ( )2f x g x k g x 恒成立。第 5 页 共 5 页
下面证明当 1
2k 时， ( ) ( )f x k g x 不能在 (0, ) 恒成立。
记 ( ) ( ) ( ) 1 ln( 1)xp x f x k g x e x k x x ， (0) 0p ， '( ) e 1 [ln( 1) ]1
x xp x k x x
， ' (0) 0p
再求导 2
1 1''( ) e [ ]1 ( 1)
xp x k x x
，，当 1
2k 且 0x 时， ''( )p x 单调递增， ''(0) 1 2 0p k ，
令 ln 2 0x k 则 2
1 1''(ln 2 ) 2 [ ] 2 2 0ln 2 1 (ln 2 1)p k k k k kk k
，
所以在 (0,ln 2 )k 上存在 0x ，使得 0''( ) 0p x ，因为 ''( )p x 单调递增，所以在区间 0(0, )x 上 ''( ) 0p x ，
因此 '( )p x 在区间 0(0, )x 上单调递减， ''( ) (0) 0p x p ，所以 ( )p x 在区间 0(0, )x 上单调递减，
( ) (0) 0p x p ，即 ( ) ( )f x k g x 区间 0(0, )x 上不成立，所以 1
2k 时不合题意。
综上所述，当 0x 时， ( ) ( )f x k g x 恒成立，实数 k 的取值范围是 1( , ]2 。…………………………12 分
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