数学理科
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项最符合题意。）
1.复数 在复平面内，z 所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图是导函数 的图象，那么函数 在下面哪个区间是减函数( )
A. B. C. D.
3.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数
在 处的导数值 ，所以， 是函数 的极值点.
以上推理中 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4. 9 件产品中，有 4 件一等品，3 件二等品，2 件三等品，现在要从中抽出 4 件产品来检查，
至少有两件一等品的种数是（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，含 的项的系数（ ）
A.－9 B.121 C.-74 D.-121
6.函数 在 处有极值 10, 则点 为 （ ）
A. B. C. 或 D.不存在
7．随机变量 服从二项分布 ～ ，且 则 等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
1 11
iZ i
− += −+
/ ( )y f x= ( )y f x=
1 3( , )x x 2 4( , )x x 4 6( , )x x 5 6( , )x x
( )f x 0( ) 0f x′ = 0x x= ( )f x 3( )f x x=
0x = (0) 0f ′ = 0x = 3( )f x x=
2
5
2
4 CC ⋅ 4
4
3
4
2
4 CCC ++ 2
5
2
4 CC + 0
5
4
4
1
5
3
4
2
5
2
4 CCCCCC ⋅+⋅+⋅
5 6 7 8(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x− + − + − + + 3x
223)( abxaxxxf +−−= 1=x ),( ba
)3,3( − )11,4(− )3,3( − )11,4(−
ξ ξ ( )pnB , ,200,300 == ξξ DE p
3
2
3
18. ＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9、函数 若函数 上有 3 个零点，则 m 的
取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到 A、B、C、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到 A、B
二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ）
A.120 种 B.24 种 C.18 种 D.36 种
11．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是 （ ）
A． B． C． D．
12．已知 在区间 上是减函数，那么 （ ）
A．有最大值
15
2 B．有最大值－
15
2 C．有最小值
15
2 D．有最小值－
15
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）
13．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 。
14．曲线 上的点到直线 的最短距离是 。
15．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先从甲
罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___
___(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝
2
5； ②P(B|A1)＝
5
11； ③事件 B 与事件 A1 相互独立；
④A1，A2，A3 是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为不知道它与 A1，A2，A3 中究竟哪一个发生有关．
16．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●……若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前
2019 个圆中有实心圆的个数为 ．
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 2
0
(3 ) 10,x k dx k+ =∫ 则
3 2( ) 3 9 4,f x x x x= − − + ( ) ( ) [ 2,5]g x f x m x= − ∈ −在
( )23,9− ( ]23,2− [ ]2,9 [ )2,9
xy e= xy e−= 1x =
1e e−− 1e e−+ 1 2e e−− − 1 2e e−+ −
3 2f x x bx cx d= + + +( ) [ ]1 2− , b c+
ξ 2(40, )N σ ( 30) 0.2P ξ < = (30 50)P ξ< < =
ln(2 1)y x= − 082 =+− yx17．（10 分）已知 ， ，
（1）求： ， ， 的值； （2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明。
18．（12 分）用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数。
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个
数为“凹数”，如 ， 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。
19.（12 分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用
7 局 4 胜制．假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是 ．并记需要比赛的场数为 ．
（Ⅰ）求 大于 4 的概率； （Ⅱ）求 的分布列与数学期望。
301 423
1 1a = 1 1
n
n
n
aa a+ = +
2a 3a 4a na
2
1 ξ
ξ ξ20.（12 分）已知函数
（1）求 的单调区间；
（2）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数 与 ，恒有
。
21．（12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这
块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；
（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概
率。
22.（12 分）已知函数
(1)讨论 的单调性； (2)若 有两个零点，求 a 的取值范围。
1 1( ) ln( ) xf x x x
= + − +
( )f x
( )y f x= 1( )f
a b 1ln ln ba b a
− ≥ −
22 1xf x x e a x= − + −( ) ( ) ( )
( )f x ( )f x1.复数 在复平面内，z 所对应的点在（ B ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图是导函数 的图象，那么函数 在下面哪个区间是减函数( B )
A. B. C. D.
3.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数
在 处的导数值 ，所以， 是函数 的极值点.
以上推理中 （ A ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4. 9 件产品中，有 4 件一等品，3 件二等品，2 件三等品，现在要从中抽出 4 件产品来检查，
至少有两件一等品的种数是（ D ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，含 的项的系数（ A ）
A.－9 B.121 C.-74 D.-121
6.函数 在 处有极值 10, 则点 为 （ B ）
A. B. C. 或 D.不存在
7．随机变量 服从二项分布 ～ ，且 则 等于（ B ）
A. B. C. 1 D. 0
8. ＝（ A ）
1 11
iZ i
− += −+
/ ( )y f x= ( )y f x=
1 3( , )x x 2 4( , )x x 4 6( , )x x 5 6( , )x x
( )f x 0( ) 0f x′ = 0x x= ( )f x 3( )f x x=
0x = (0) 0f ′ = 0x = 3( )f x x=
2
5
2
4 CC ⋅ 4
4
3
4
2
4 CCC ++ 2
5
2
4 CC + 0
5
4
4
1
5
3
4
2
5
2
4 CCCCCC ⋅+⋅+⋅
5 6 7 8(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x− + − + − + + 3x
223)( abxaxxxf +−−= 1=x ),( ba
)3,3( − )11,4(− )3,3( − )11,4(−
ξ ξ ( )pnB , ,200,300 == ξξ DE p
3
2
3
1
2 2
0
(3 ) 10,x k dx k+ =∫ 则A.1 B.2 C.3 D.4
9、函数 若函数 上有 3 个零点，则 m 的
取值范围为 （ D ）
A． B． C． D．
10.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到 A、B、C、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到 A、B
二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ D ）
A.120 种 B.24 种 C.18 种 D.36 种
11．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是 （ D ）
A． B． C． D．
12．已知 在区间 上是减函数，那么 （ B ）
A．有最大值
15
2 B．有最大值－
15
2 C．有最小值
15
2 D．有最小值－
15
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）
13．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 0.6 。
14．曲线 上的点到直线 的最短距离是 。
15．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先从甲
罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②__
④____(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝
2
5； ②P(B|A1)＝
5
11； ③事件 B 与事件 A1 相互独立；
④A1，A2，A3 是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为不知道它与 A1，A2，A3 中究竟哪一个发生有关．
16．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●……若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前
2019 个圆中有实心圆的个数为 62
．
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
3 2( ) 3 9 4,f x x x x= − − + ( ) ( ) [ 2,5]g x f x m x= − ∈ −在
( )23,9− ( ]23,2− [ ]2,9 [ )2,9
xy e= xy e−= 1x =
1e e−− 1e e−+ 1 2e e−− − 1 2e e−+ −
3 2f x x bx cx d= + + +( ) [ ]1 2− , b c+
ξ 2(40, )N σ ( 30) 0.2P ξ < = (30 50)P ξ< < =
ln(2 1)y x= − 082 =+− yx 2 517．（10 分）已知 ， ，
（1）求： ， ， 的值； （2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明
解：（1） ， ， ……………………3 分
（2）猜 ……………………5 分
证明：下面用数学归纳法证明。
① 时，易证 ……………………6 分
② 假设 时，（k≥1，k∈N*），即：
则 ……………………9 分
由①，②可知，对任意 ， 都成立。 ……………………10 分
18．（12 分）用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个
数为“凹数”，如 ， 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
解：（1）偶数分为二类：
若个位数是 0，则共有 个；
若个位数是 2 或 4，则共有 个；
所以，共有 30 个符合题意的三位偶数。 ……………………4 分
（2）“凹数”分三类：
若十位是 0，则有 个；
若十位是 1，则有 个；
若十位是 2，则有 个；
所以，共有 20 个符合题意的“凹数”。 ……………………8 分
301 423
1 1a = 1 1
n
n
n
aa a+ = +
2a 3a 4a na
2
1
2a = 3
1
3a = 4
1
4a =
1
na n
=
1n = 1
1 11a = =
n k= 1
ka k
=
1
1
1 1
11 1 11
k
k
k
a kka a k k k
k
+ = = = ⋅ =+ + ++
n N ∗∈ 1
na n
=
2
4 12A =
2 3 3 18× × =
2
4 12A =
2
3 6A =
2
2 2A =（3）符合题意的五位数分为三类：
若两个奇数数字在一、三位置：共有 个；
若两个奇数数字在二、四位置：共有 个；
若两个奇数数字在三、五位置：共有 个；
所以，共有 28 个符合题意的五位数。 ……………………12 分
19.（12 分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用
7 局 4 胜制．假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是 ．并记需要比赛的场数为 ．
（Ⅰ）求 大于 4 的概率； （Ⅱ）求 的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）依题意可知， 的可能取值最小为 4．
当 ＝4 时，整个比赛只需比赛 4 场即结束，这意味着 A 连胜 4 场，或 B 连胜 4 场，于是，
由互斥事件的概率计算公式，可得
P（ ＝4）＝2 ＝ ．
∴ P（ ＞4）＝1－P（ ＝4）＝1－ ＝ ．
即 ＞4 的概率为 ． ……………………4 分
（Ⅱ）∵ 的可能取值为 4，5，6，7，可得
P（ ＝4）＝2 ＝ P（ ＝5）＝2 ＝
P（ ＝6）＝2 ＝ P（ ＝7）＝2 ＝
……………………8 分
∴ 的分布列为：
4 5 6 7
P
……………………10 分
2 3
2 3 12A A =
2 1 2
2 2 2 8A C A =
2 1 2
2 2 2 8A C A =
2
1 ξ
ξ ξ
ξ
ξ
ξ
4 0
4
4
1 1
2 2C
1
8
ξ ξ 1
8
7
8
ξ 7
8
ξ
ξ
4 0
4
4
1 1
2 2C
1
8
ξ
3 4 3
3
4
1 1 1
2 2 2C
− ⋅
1
4
ξ
3 5 3
3
5
1 1 1
2 2 2C
− ⋅
5
16
ξ
3 6 3
3
6
1 1 1
2 2 2C
− ⋅
5
16
ξ
ξ
1
8
1
4
5
16
5
16的数学期望为：E ＝4 ＋5 ＋6 ＋7 ＝ ． ……………………12 分
20.（12 分）已知函数
（1）求 的单调区间；
（2）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数 与 ，恒有 ．
解：（1）单调增区间 ，单调减区间 ……………………4 分
（2）切线方程为 ……………………8 分
（3）所证不等式等价为 ……………………9 分
而 ， 设 则 ， 由 （ 1 ） 结 论 可 得 ，
由 此 ， 所 以
即 ，记 代入得证。 ………………12 分
21．（12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这
块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；
（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概
率．
解：（1）设 A 表示事件“作物产量为 300kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，由题
设知 P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴X 所有可能的取值为
500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． ………2 分
ξ ξ × 1
8
× 1
4
× 5
16
× 5
16
93
16
1 1
xf x x x
= + − +ln( ) ( )
( )f x
( )y f x= 1( )f
a b 1ln ln ba b a
− ≥ −
0( , )+∞ 1 0( , )−
4 4 2 3 0lnx y− + − =
1 0ln a b
b a
+ − ≥
11 11( ) ln( )f x x x
= + + −+ 1,t x= + 1 1( ) lnF t t t
= + −
0 1 1( ) ( , ) ( , )F t +∞在 单调递减，在 单调递增， 1 0min( ) ( )F t F= =
1 0( ) ( )F t F≥ = 1 1 0( ) lnF t t t
= + − ≥ at b
=，
，
，
∴X 的分布列为
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
…………………6 分
（2）设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i＝1，2，3)，
由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由（1）知，
P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，
3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；……8 分
3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为
， ………………10 分
∴这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512＋0.384＝0.896．
……………………12 分
22.（12 分）22.（12 分）已知函数
(1)讨论 的单调性； (2)若 有两个零点，求 a 的取值范围。
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． ………………1
分
①设 a≥0，则当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以 f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ………………3 分
③ 设 a＜0，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝ln(－2a)．
若 a＝－
e
2，则 f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ………………4 分
若 a＞－
e
2，则 ln(－2a)＜1，
故当 x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当 x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.
所以 f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，
在(ln(－2a)，1)上单调递减． ………………5 分
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0.5 1 0.4 0.4000 3P A P BP X = = − × − ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0.5 0.42000 0.5 1 0.4 0.5P A P B P A P BP X = + = − × + × − ==
( ) ( )( ) 0.5 0.4 08 .200 P A P BP X = = × ==
( ) ( ) ( ) 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 0.8 0.2 0.384P C C C P C C C P C C C+ + = × × =
22 1xf x x e a x= − + −( ) ( ) ( )
( )f x ( )f x若 a＜－
e
2，则 ln(－2a)＞1，
故当 x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当 x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.
所以 f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，
在(1，ln(－2a))上单调递减． ………………6 分
(2)①设 a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－
e，f(2)＝a，取 b 满足 b＜0 且 b＜ln
a
2，则 f(b)＞
a
2(b－2)＋a(b－1)2＝a(b2－
3
2b)＞0，所以
f(x)有两个零点． ………………8
分
②设 a＝0，则 f(x)＝(x－2)ex，所以 f(x)只有一个零点． ………………9 分
③设 a＜0，若 a≥－
e
2，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当 x≤1 时，f(x)＜0，
故 f(x)不存在两个零点；若 a＜－
e
2，则由(1)知， f(x)在(1，ln(－2 a))上单调递减，在
(ln( － 2a) ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ． 又 当 x≤1 时 ， f(x) ＜ 0 ， 故 f(x) 不 存 在 两 个 零
点． ………………11 分
综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． ………………12 分
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