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2020 届扬州中学月考试卷
必做题部分(160 分)
一、填空题（本大题共有 14 道小题，每小题 5 分，满分 70 分）
1.已知集合 A={1，3，5}，B={2，3}，则集合 A∪B 中的元素个数为______．
2.已知复数 满足 其中 是虚数单位，则 的共轭复数是________.
3. 函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则当 时， ________.
4. “”是“直线，垂直”的 条件．
5. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .
6.已知，，则______
7. 已知实数，满足则的取值范围是 ．
8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
9. 已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个
单位长度，所得函数 为偶函数时，则 的最小值是．
10.已知函数，则不等式的解集为______
11．设点 为正三角形 的边 上一动点，当 取最小值时， 的值为
．
12．在平面直角坐标系 中，已知 ，若在正方形 的边上存在一点 ，圆
上存在一点 ，满足 ，则实数 的取值范围为．
13．已知 ， ，则 的最大值是．
14.已知函数 的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐
标从小到大分别为 ，则 ________.
z 3 2 ,z i i⋅ = − i z
( )f x R 0x > ( ) 1f x x= + 0x < ( )f x =
( ) sin( )( , 0)4f x x x R
πω ω= + ∈ > π ( )y f x= ( 0)ϕ ϕ >
( )y g x= ϕ
P ABC△ BC PA PC⋅ sin PAC∠
xOy (6,0), (6,6), (0,6)A B C OABC P
2 2 2: ( 2) ( 0)G x y R R+ − = > Q 4OP OQ= R
0x > 0y > 2 2 2 2
2
8 2
xy xy
x y x y
++ +
( ) cos2f x x= 4 4 0( 0)kx y k kπ− − = >
1 2 3, ,x x x 2 1
1 3tan( )
x x
x x
− =−第 2 页（共 11 页）
二、解答题（本大题共有 6 道题，满分 90 分）
15. （1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围．
（2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．已知函数 ，部分自变量、函数值如下表．
0
2 4
求：（1）函数 的单调增区间．
（2）函数 在 内的所有零点．
17.一个创业青年租用一块边长为 4 百米的等边田地如图养蜂、产蜜与
售蜜田地内拟修建笔直小路 MN，AP，其中 M，N 分别为 AC，BC 的
中点，点 P 在 BC 上规划在小路 MN 与 AP 的交点与 M、N 不重合处设
立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，
N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路 MO 段与 OP 段建便道，
供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路 AO 段的建
造费用为每百米 4 万元，小路 ON 段的建造费用为每百米 3 万元．
若拟修的小路 AO 段长为百米，求小路 ON 段的建造费用；
设，求的值，使得小路 AO 段与 ON 段的建造总费用最小．
( ) sin( ) ( 0, 0)f x A x B Aω ϕ ω= + + > >
x
3
π 7
12
π
xω ϕ+
2
π π 3
2
π
2π
( )f x
( )f x
( )f x (0, ]π第 3 页（共 11 页）
18. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆 E 经过点 ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）设点 M 是椭圆 E 上位于第一象限内的动点，A，B 分别为
椭圆 E 的左顶点和下顶点，直线 MB 与 x 轴交于点 C，直线 MA
与 y 轴交于点 D，求四边形 ABCD 的面积．
19．已知函数 （ ）．
（1）求函数 的极值；
（2）当 时，判断方程 的实根个数，并加以证明；
（3）求证：当 时，对于任意实数 ，不等式 恒成立．
20. 已知函数 f(x)＝
(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；
(2)用 表示 m，n 中的最小值，设函数 ，讨论 h(x)
零点的个数
13, 2P −
21( ) , ( ) 1x
xf x g x axe
+= = − a R∈
( )f x
10 2a< < ( ) ( )f x g x=
1a ≥ [ 1, )x∈ − +∞ ( ) ( )f x g x≥
3 1 , ( ) ln4x ax g x x+ + = −
( )y f x=
min { },m n }{( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x= >第 4 页（共 11 页）
理科附加题
（满分 40 分 时间 30 分钟）
21.B 选修 4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵 的变换下得到点 ．
（1）求实数 a 的值；
（2）求矩阵 的特征值及其对应的特征向量．
21.C 选修 4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为
，曲线 的参数方程是 （ 为参数）．
（1）求直线 和曲线 的普通方程；
（2）直线 与 轴交于点 ，与曲线 交于 ， 两点，求 ．
[必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．
22.某市有 A，B，C，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A 的概率为，游览 B、C 和
D 的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．
（1）求该游客至多游览一个景点的概率；
（2）用随机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X）．
M 2
2 1
a = Ra ∈ (1, 2)P − M ( 4,0)P′ −
M
O x l
2 sin 3 06
ρ θ π + − = C 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
l C
l x P C A B PA PB+第 5 页（共 11 页）
23.现有n(n＋1)
2 （n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
* ………………… 第 1 行
** ………………… 第 2 行
*** ………………… 第 3 行
……………
…………………
* *…………** ………………… 第 n 行
设 Mk 是第 k 行中的最大数，其中 1≤k≤n，k∈N*．记 M1＜M2＜…＜Mn 的概率为 pn．
（1）求 p2 的值；
（2）证明：pn＞
C
(n＋1)!．第 6 页（共 11 页）
答案
1. 4；2. ；3. ；4. 充分不必要；
5.；6. ； 7.；8. 8； 9. ；10.； 11. ；
12. ；可得点 的轨迹方程为圆 ，则圆 与正方形的四边有公共点．
13. ；
令 ，则 ，原式 ．也可直接换元后求导．
14.
15. （1）若是真命题，则．因为，所以．若为真命题，则方程有实根，所以，即或．当且为真命题时，
或．故当“且”为假命题时，的取值范围为．
（2）由，得，所以．由于，得，所以．由是的充分不必要条件，知，则解得．故的取值范围为．
16．解：（1）由题意得： ，解得：
又 ，解得： ∴
由 ，解得：
∴函数 单调增区间为 ；
（2）∵ ∴
∵ ∴ ∴ ，解得：
∴函数 在 内的零点为 ．
17.解：在中
化简得：则，，答：小路 ON 段的建造费用为 3 万元．
由正弦定理得：则，设小路 AO 段与 ON 段的建造总费用为，
则，，
，
若满足，且，列表如下：
2+3i− 1x− − −
2
10
−
8
π 39
26
1 5,2 2
P :H 2 2 2( 8) (4 )x y R+ − = H
2
3
3 3
2 22 2 2 2 4 2 2 4
2 2
4( )2 3( 4 ) 38 2 10 16 16 10
x y
xy xy x y xy y x
x yx y x y x x y y
y x
+++ = = ×+ + + + + + 2
4
3 4( ) 2
x y
y x
x y
y x
+
= ×
+ +
4 ( 0)x y xt y x y
= + > 4t ≥ 2
3 3 23 2 22 34 4
t
t t t
= × = ≤ =+ + +
1
2
−
3
3 2
7 212
π πω ϕ
π ω ϕ π
+ =
+ =
2
5
6
ω
πϕ
= =
sin0 2
sin 42
A B
A B
π
+ = + =
2
2
A
B
=
=
5( ) 2sin(2 ) 26f x x
π= + +
52 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ 2 ,3 6k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ − + ∈
( )f x 2[ , ]( )3 6k k k Z
π ππ π− + − + ∈
5( ) 2sin(2 ) 2 06f x x
π= + + = 5sin(2 ) 16x
π+ = −
(0, ]x π∈ 5 5 52 26 6 6x
π π ππ< + ≤ + 5 32 6 2x
π π+ =
3x
π=
( )f x (0, ]π
3
π第 7 页（共 11 页）
0
则当时，有极小值，此时也是的最小值，
，
答：当，小路 AO 段与 ON 段的建造总费用最小．
18.解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点 ，
所以，所以 a=2，从而，
故椭圆的方程为．
（2）设点 M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），
因为 A（-2，0），且 A，D，M 三点共线，所以，解得，
所以，
同理得，
因此，
=，因为点 M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式
得：．
∴四边形 ABCD 的面积为 2．
19. 解：（1）∵ ∴
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减
所以当 时，函数 存在极大值 ，无极小值；
（2）令 ，
∵ ，∴ ，即 ，令 ，解得 或
当 时 ， ， 单 调 递 增 ； 当 时 ， ， 单 调 递 减 ； 当 时
， ， 单调递增
又 ， ， （ ），
函数 在 R 上连续，所以 有一个零点 0，且在 上有一个零点，即函数 有两个零
点
∴当 时，方程 的实根个数为 2 个；
（3）方法（一）由（2）知，即证：当 时，对于任意实数 ，不等式 恒成立．
13, 2P −
1( ) x
xf x e
+= '( ) x
xf x e
−=
( ,0)x∈ −∞ '( ) 0f x > ( )f x (0, )x∈ +∞ '( ) 0f x < ( )f x
0x = ( )f x (0) 1f =
21( ) ( ) ( ) 1x
xh x f x g x axe
+= − = + −
1
2'( ) 2 2
x
x x
ex ah x ax axe e
−
= − + = ⋅
10 2a< < 1 12a
> 1ln 02a
> '( ) 0h x = 0x = 1ln 2x a
=
( ,0)x∈ −∞ '( ) 0h x > ( )h x 1(0,ln )2x a
∈ '( ) 0h x < ( )h x
1(ln , )2x a
∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x
(0) 0h = 1(ln ) (0) 02h ha
< = 2
1 1
1 11 11 1( ) ( ) 1 0
a a
a ah a
a ae e
+ +
= + − = > 1 1ln 2a a
<
( )h x ( )h x 1 1(ln , )2a a
( )h x
10 2a< < ( ) ( )f x g x=
1a ≥ [ 1, )x∈ − +∞ ( ) 0h x ≥第 8 页（共 11 页）
∵ ∴
①当 ，即 时，则 时， ， 单调递减； 时， ， 单
调递增∴ ∴当 时， 恒成立；
②当 ，即 时，则 时， ， 单调递增； ，
单调递减； 时， ， 单调递增∴
∵ ∴当 时， 恒成立；
综上：当 时，对于任意实数 ， 恒成立，即不等式 恒成立．
方法（二）由（2）知，即证：当 时，对于任意实数 ，不等式 恒成立．
①在 时，∵ ∴ 又 ， 得： ，
∴ 为在 上是增函数，故 ；
②在 时，由于 ，所以
要证明 成立，即证 ，也即证
由于 ，只需证
不妨令 ，
由 ，得 且不恒为 0，所以 在区间 上单调递减， ，从而
得证．
综上，当 时，对于任意实数 ， 恒成立，即不等式 恒成立．
20.解：
（I）设曲线 与 轴相切于点 ，则 且 即
解得
因此，当
（II）当
是 的 零 点
1a ≥ 1ln ln 22a
≤ −
1ln 12a
≤ −
2
ea ≥ ( 1,0)x∈ − '( ) 0h x < ( )h x (0, ,)x∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x
min( ) (0) 0h x h= = 1x ≥ − ( ) 0h x ≥
11 ln 02a
− < < 1 2
ea≤ < 1( 1,ln )2x a
∈ − '( ) 0h x > ( )h x 1(ln ,0)2x a
∈ '( ) 0h x <
( )h x (0, )x∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x min( ) min{ (0), ( 1)}h x h h= −
(0) 0, ( 1) 1 0h h a= − = − ≥ 1x ≥ − ( ) 0h x ≥
1a ≥ [ 1, )x∈ − +∞ ( ) 0h x ≥ ( ) ( )f x g x≥
1a ≥ [ 1, )x∈ − +∞ ( ) 0h x ≥
0x ≥ 1a ≥ 1 10 2 2a
< ≤ 0x ≥ 1xe ≥ '( ) 0h x ≥
( )h x [0, )+∞ ( ) (0) 0h x h≥ =
1 0x− ≤ ≤ 1a ≥ 2 21 1ax x− ≥ −
( ) 0h x ≥ 21 1 0x
x xe
+ + − ≥ 1( 1)[ 1] 0xx xe
+ + − ≥
1 0x + ≥ 1 1 0x xe
+ − ≥
1( ) 1xm x xe
= + − 1 1'( ) 1
x
x x
em x e e
−= − =
1 0x− ≤ ≤ '( ) 0m x ≤ ( )m x [ 1,0]− ( ) (0) 0m x m≥ =
1 1 0x xe
+ − ≥
1a ≥ [ 1, )x∈ − +∞ ( ) 0h x ≥ ( ) ( )f x g x≥
( )y f x= x 0( ,0)x 0( ) 0f x = '
0( ) 0f x =
3
0 0
2
0
1 04
3 0
x ax
x a
+ + =
+ =
0
1 3,2 4x a= = −
3 x y ( )4a f x= − =时， 轴为曲线 的切线
{ }x (1, ) ( ) 1 0, ( ), ( ) ( ) 0, h( ) (1, )g x nx f x g x g x x∈ +∞ = − < ≤ < +∞时， 从而h( x) =mi n 故 在 无零点
{ }5 5x 1 (1) 0, (1) min (1), (1) (1) 0, x4 4a f a h f g g= ≥ − = + ≥ = = = =当 时，若 则 故
{ }5( ) a , (1), (1) (1) 0, 1 (4h x f g f x h x< − = < =的零点；若 则f ( 1) 当 时， 所以只需考虑 ( x) 在（0, 1）的零点个数
2i a a f′≤ ≥（ ）若 - 3或 0, 则 （x）=3x +a在（1, 0）无零点，故f ( x) 在（0, 1）单调
1 5f (0) , (1) , f a f4 4f a= + ≤ ≥所以当a - 3时， ( x) 在（0, 1）有一个零点；当 0时 ( x) 在（1, 0）没有零点第 9 页（共 11 页）
综上，当
21.B 解：（1）由 = ，∴ .
（2）由（1）知 ，则矩阵 的特征多项式为
令 ，得矩阵 的特征值为 与 4.
当 时，
∴矩阵 的属于特征值 的一个特征向量为 ;
当 时，
∴矩阵 的属于特征值 的一个特征向量为 ．
21.C 解：（1） ，
a a( ) 3 0, f ( ) 0 ) ,13 3ii a x− < < − −若 则 在（ ， 单调递减，在（ ）单调递增，故在（0, 1）中
3
2 1( ) f ( )3 3 3 4
a a a ax f x= − − = − +当 时， 取得最小值，最小值为
3( ) 0. 0, ( )3 4
3f a f ( ) (0,1)3 4
3 1 5 3( ) 0, 3 , (0) , (1)3 4 4 4 4
af a f x
a x
af a f f a a
− > − < <
−
− < − < < − = = + < < −
①若 即 在（0, 1）无零点；
②若 ( ) =0, 即 =- 则 在 有唯一零点
③若 即 由于
5( ) f ( ) (0,1) .4f x x≤时， 在（0, 1）有两个零点；当- 3
1 2 3 3t t+ = 1 2 5 0t t = > 1t 2t
1 2PA PB t t+ = + 1 2 3 3t t= + =第 11 页（共 11 页）
（2）先排第 n 行，则最大数在第 n 行的概率为
n
＝ 2
n＋1；
去掉第 n 行已经排好的 n 个数，
则余下的n(n＋1)
2 －n＝n(n－1)
2 个数中最大数在第 n－1 行的概率为
n
＝2
n；
故 pn＝ 2
n＋1×2
n×…×2
3＝ 2n－1
(n＋1) × n × … × 3＝ 2n
(n＋1)!．
由于 2n＝(1＋1)n＝C＋C＋C＋…＋C≥C＋C＋C＞C＋C＝C2
n ＋1，
故 2n
(n＋1)!＞
C
(n＋1)!，即 pn＞
C
(n＋1)!．
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