理科数学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自
己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 和集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，复数 ， ，若 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参
加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为 600 人（所有学生都参加了调查），现
从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取 45 人，则抽取的高二学生人数为（ ）
A. B. C. D.
4．等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 ，则
（ ）
2{ | 1 }A x y x= = − 2{ | }B y y x= = A B
{ }(0,1),(1,0) [0, )+∞ [ 1,1]− [0,1]
x R∈ 1 1 iz x= + 2 2 iz = − 1 2z z⋅ x
2− 1
2
− 2 1
2
− 1
9 18 27 36
{ }na n nS 2 5 33a a a= 4a 79a 2 5S =A． B． C． D．
5．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若“ ”为假命题，则“ ”为假命题
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
6．已知直线 经过椭圆 （ ）的右焦点 ，且与椭圆在第
一象限的交点为 ，与 轴的交点为 ， 是椭圆的左焦点，且 ，则椭圆的方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向左移 个单位 B．向左移 个单位
C．向右移 个单位 D． 向右移 个单位
8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为 1，则该多
面体的侧面最大面积为（ ）
112
3 112 121
27 121
p q∧ p q∨
1x = − 2 5 6 0x x− − =
1x > 1 1x
<
0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ ≤ 02019 2019 0x + ≤
2 4 0x y+ − = 2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2F
A y B 1F 1| | | |AB AF=
2 2
140 36
x y+ =
2 2
120 16
x y+ =
2 2
110 6
x y+ =
2
2 15
x y+ =
cos2y x= sin(2 )4y x
π= +
4
π
8
π
4
π
8
πA． B． C． D．
9. 设 ，则 的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．已知函数 在 上恰有一个极值点和一个零点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 为 的外心，若 ，则 为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
12．过双曲线 （ ）右焦点 的直线交两渐近线于 、 两点，若
， 为坐标原点，且 内切圆半径为 ，则该双曲线的离心率为（
）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 是奇函数，且 ，则 ；
14．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则
的展开式中常数项为 ；
2 3 2 2 6 2
2020
1
20202019 2019,2019log,2020log === cba cba ,,
cba >> bca >> bac >> abc >>
( ) sin( )( 0)f x xω ω= > (0,1) ω
3( , ]2
ππ 3[ , )2
ππ ( , ]2
π π [ , )2
π π
O ABC∆ 2
AO BC BC⋅ = ABC∆
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a b> > F A B
0OA AB⋅ = O OAB∆ 3 1
2 a
−
2 3
3 3 4 3
3 3 1+
, 0( )
( ), 0
xa b xf x
g x x
+ ≥=
[2,18) [18,82) [82,98]请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程 （ 为参数），曲线 .
（Ⅰ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴且具有相同单位长度建立极坐标系，求直线 和
曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线 与曲线 交于 、 两点，求 值.
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若 对一切实数 均成立，求实数 的取值范围．
l
11 2
33 2
x t
y t
= +
= +
t
2 2( 1): 14 3
x yC
− + =
x l
C
l C M N 1 1
| | | |OM ON
+
( ) 2 1 3f x x x= − − +
( ) 0f x >
( ) 3 3f x x a+ + ≥ x a数学试卷参考答案
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务
必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由已知 ， ，则 ，故选 D .
2．【答案】A
【解析】由 ，由 为纯虚数，
则 ，解得 .故选 A.
3．【答案】C
【解析】根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为 ，由分层抽样的性
质可得，抽取的高二学生人数为 人，故选 C．
4．【答案】D
【解析】∵数列 是等比数列， ，∴ ．∵ 与 的等差中项
为 ，∴ ，解得 ， ．∴ ．故
选 D．
5．【答案】C
【解析】
A.若“ ”为假命题，则 中至少有一个假命题，则“ ”可真可假，所以该选项
{ 1 1}A x x= − ≤ ≤ { 0}B y y= ≥ [0,1]A B =
1 2 (1 i)(2 i)=2 (2 1)iz z x x x⋅ = + − + + − 1 2z z⋅
2 0
2 1 0
x
x
+ =
− ≠ 2x = −
2:3
345 275
× =
{ }na 2 5 33a a a= 3
4 1 3a a q= = 4a 79a
2 3
4 7 49 (1 9 ) 4a a a q+ = + = 1
3q = 1 81a =
5
5
181 [1 ( ) ]3 12111 3
S
× −
= =
−
p q∧ ,p q p q∨是错误的；
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件，因为由 得到“
或 ”，所以该选项是错误的；
C. 命题“若 则 ”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性
和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；
D. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”，所以该
选项是错误的.
6．【答案】D
【解析】直线 与 轴和 轴的交点分别为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，从而 ，所
以椭圆方程为 ，故选 D．
7．【答案】B
【解析】∵ ，所以要得到函数 的图
象，只需要将函数 的图象向左平移 个单位．故选 B．
8．【答案】B
【解析】由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 ，
故 ， ， ， ， ，
∴ ，
C
B
A P
1x = − 2 5 6 0x x− − = 2" 5 6 0"x x− − = 1x = −
6x =
1,x > 1 1x
<
0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ > 02019 2019 0x + ≤
2 4 0x y+ − = x y 2 (2,0)F (0,4)B 2c =
1 2 2 22 | | | | | | | | | | 2 5a AF AF AB AF BF= + = + = = 5a = 2 5 4 1b = − =
2
2 15
x y+ =
sin(2 ) cos(2 ) cos2( )4 4 8y x x x
π π π= + = − = − cos2y x=
sin(2 )4y x
π= +
8
π
P ABC−
1AC = 2PA = 5BC PC= = 2 2AB = 2 3PB =
1 2 1 12ABC PACS S∆ ∆= = × × =， ，
∴该多面体的侧面最大面积为 ．故选 B．
9.【答案】C
【解析】 ；
10．【答案】A
【 解 析 】 作 出 函 数 的 图 像 ， 依 题 意 可 得 ， 解 得
．
11.【答案】C
【 解 析 】 设 为 边 的 中 点 ， 并 设 角 所 对 应 的 边 分 别 为 ， 则
，
故 ，所以 ，从而角 为钝角.
所以 为钝角三角形．
12．【答案】A
【解析】因为 ，所以双曲线的渐近线如图所示，
1 2 2 2 2 22PABS∆ = × × = 1 2 3 2 62PBCS∆ = × × =
2 2
2
2019 2019 2019 2019
1 1 1 1log 2019 log 2020 log 2020 log 2019 12 2 2 2a= < = = < =
2020 2020 2020
1 1 10 log 2019 log 2019 log 2020 ;2 2 2b< = = < =
1
20202019 1.c = >
( ) sin( )( 0)f x xω ω= > 31 2
π π
ω ω< ≤
3
2
ππ ω< ≤
M BC , ,A B C , ,a b c
2 21( ) ( )( )2 2
b cAO BC AM MO BC AM BC AB AC AC AB
−⋅ = + ⋅ = ⋅ = + − =
2 2
2 2 2 222
b c a b c a
− = ⇒ − =
2 2 2 2
cos 02 2
a c b aB ac ac
+ − −= = < B
ABC∆
0a b> >设内切圆圆心为 ，则 在 平分线 上，
过点 分别作 于 ， 于 ，
由 得四边形 为正方形，由焦点到渐近线
的距离为 得 ，又 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，得 .
故选 A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 【答案】
【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ．
又 ，即 ，所以 ，解得 ．
所以 ，故 ．
14. 【答案】
【解析】解析由题意知， .由题意知 ，即 .
， 其常数项为 .
15．【答案】
【解析】在 中由余弦定理可得 ，
M M AOB∠ Ox
M MN OA⊥ N MT AB⊥ T
FA OA⊥ MTAN
b FA b= OF c= OA a=
3 1
2NA MN a= = − 3 3
2NO a= −
tan 3
3
MNb AOFa NO
= ∠ = = 2 21 ( 3) 3
be a
= + =
15−
( )f x 0(0) 0f a b= + = 1b = −
4(log 2) 1f = 1( ) 12f =
1 1
2 21 1 2a a− = ⇒ = 4a =
4 1, 0( )
( ), 0
x xf x
g x x
− ≥= = = − =
× − + − + −
PE PBC 2 21
21
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2
1 12y x= 2
2 22y x=
1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )y y y y x x− + = −
(1,1)P AB 1 2 2y y+ =
z
y
x所以， ．
又直线 过 ，所以直线 的方程为 ；…………………………………5 分
（Ⅱ）依题设 ，直线 的方程为 ，即 ，
亦即 ，代入抛物线方程并化简得 ．
所以， …………………………………7 分
于是， ， ．
同理， ， ．…………………………………9 分
易知 ，所以直线 的斜率 ．
故直线 的方程为 ，
即 ．此时直线过定点 ．
故直线 恒过定点 ．…………………………………12 分
20. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）由于猪的体重 近似服从正态分布 ，设各阶段猪的数量分别为
∴ ，
∴ （头）；……………2 分
同理， ，
∴ （头）；……………4 分
，
∴ （头）.
所 以 ， 甲 、 乙 两 养 猪 场 各 有 幼 年 期 猪 头 ， 成 长 期 猪 头 ， 成 年 期 猪
头。……………6 分
2 1
1
2 1 2 1
2= 1y yk x x y y
−= =− +
AB (1,1)P AB y x=
( , )M MM x y AB 11 ( 1)y k x− = − 1 11y k x k= + −
1 2y k x k= + 2 2 2
1 1 2 2(2 2) 0k x k k x k+ − + =
1 2 1 2
1 2 2 2
1 1
2 2 2 2k k k kx x k k
− −+ = − =
1 2
2
1
1
M
k kx k
−= 1 2
1 2 1 22
11
1 1
M M
k ky k x k k k kk
−= ⋅ + = ⋅ + =
1 2
2
2
1
N
k kx k
−=
2
1
Ny k
=
1 2 0k k ≠ MN 2 1
2 11
M N
M N
y y k kk x x k k
−= =− −
MN 2 1 1 2
2
1 2 1 1
11 ( )1
k k k ky xk k k k
−− = −−
2 1
2 1
11
k ky xk k
= +− (0,1)
MN (0,1)
X 2(50,16 )N
1 2 3n , ,n n
0.9974 0.9544(2 18) (50 3 16 50 2 16) 0.02152P x P x
−≤ < = − × ≤ < − × = =
1 10000 0.0215 215n = × =
(18 82) (50 2 16 50 2 16) 0.9544P x P x≤ < = − × ≤ < + × =
2 10000 0.9544 9544n = × =
0.9974 0.9544(82 98) (50 2 16 50 3 16) 0.02152P x P x
−≤ ≤ = + × ≤ ≤ + × = =
3 10000 0.0215 215n = × =
215 9544 215（Ⅱ）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 ， ，随
机变量 可能取值为 ， ， .
， ， ，
所以 的分布列为：
所以 （元），
由于各养猪场均有 头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为 元，则总利
润期望为 （元）. …………………………………12 分
21. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）函数 定义域为 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 单调递增，在 单调递减. ……………4 分
（Ⅱ） 不妨设 ，则 ，
要证： 即证： ……（*），
而 ，令 ，
（*）等价于 ，……………8 分
设 ，
令 ∵ 在 恒成立，
4
5
3
4
Y 900 300 300−
4 3 3(Y=900) 5 4 5P = × = 4 1 1 3 7(Y=300) 5 4 5 4 20P = × + × = 1 1 1(Y= 300) 5 4 20P − = × =
Y
3 7 1(Y) 900 300 300 6305 20 20E = × + × − × =
215 630
630 215 135450× =
( )f x ,R ( ) 1xf x e′ = −
( ) 0f x′ > ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( ),0x∈ −∞
( )f x ( )0,+∞ ( ),0−∞
( ) ( )1 2 ,f x f x= 2 1x x> 2 1
1 2
1 2
2 1
, 1
x x
x x e ee x e x x x
−− = − ⇒ =−
1 2 2,x xe e+ > ( )2 1
2 1
2 1 2x x
x x
x x e ee e
− ⋅ + >−
( ) ( ) 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
1
1
x x
x x
x x x x
x x ee e x xe e e
−
−
− +⋅ + = −− − ( )2 1, 0,t x x t= − ∈ +∞
( ) ( )1 2 1 2 2 0, 0,1
t
t t
t
et t e e te
+⋅ > ⇔ + − + > ∈ +∞−
( ) ( ) ( )1 2 2, 0,t tg t t e e t= + − + ∈ +∞
( ) ( ) ( )1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e′ = + + − = − +
( ) ( )1 1,th t t e= − + ( )' 0th t te= > ( )0,t ∈ +∞
Y 900 300 300−
P 3
5
7
20
1
20则 在 单调递增，故 ，故 在 单调递增，
故 ，故原命题得证．……………12 分
22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）由 得 .直线 的极坐标方程为
.……2 分
由 ，得 .
由 及 .可化为 .
所以曲线 的极坐标方程为 .……………5 分
（Ⅱ）将 代入，得 .
由极坐标几何意义，设 , ，不妨设 ，
则 ， ，
即 . ……………10 分
23．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）解法一：当 时， ，解得 ；
当 时, ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
( )g t′ ( )0,t ∈ +∞ ( ) ( )0 0g t g′ ′> = ( )g t ( )0,t ∈ +∞
( ) ( )0 0g t g> =
13(1 ) 32y t x= + = 3y x= l
( )
3 R
πθ ρ= ∈
2 2( 1) 14 3
x y− + = 2 23 6 4 9 0x x y− + − =
2 2 2x y ρ+ = cos , sinρ θ ρ θ= =x y 2 2 23 6 cos sin 9 0ρ ρ θ ρ θ− + − =
C 2 2(3 sin ) (6cos ) 9 0θ ρ θ ρ+ − − =
3
πθ = 25 4 12 0ρ ρ− − =
1( , )3M
πρ 2( , )3N
πρ
1 20, 0ρ ρ> <
1 2
4
5
ρ ρ+ = 1 2
12
5
ρ ρ = −
2
2 1
1 2 1 2
4 12( ) 4 ( )1 1 1 1 45 5
12 3
5
OM ON
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
− − × −−+ = − = = =
−
1
2x ≥ ( ) 2 1 ( 3) 4 0f x x x x= − − + = − > 4x >
13 2x− ≤ < ( ) 2 1 ( 3) 3 2 0f x x x x= − + − + = − − > 23 3x− ≤ < −
3x < − ( ) 2 1 ( 3) 4 0f x x x x= − + + + = − + > 3x < −综上,原不等式的解集为 或 ； ……………5 分
解法二： ，两边平方整理得， ，解得
或 ，所以，原不等式的解集为 或 ；……………5 分
（Ⅱ） ，当 时等号成立，
所以 ．
故实数 的取值范围为 ．……………10 分
2{ | 3x x < − 4}x >
( ) 0f x > 2 1 3x x⇔ − > + 23 10 8 0x x− − > 2
3x < −
4x > 2{ | 3x x < − 4}x >
( ) 3 3 2 1 2 3 | 2 1 (2 6) | 7f x x x x x x+ + = − + + ≥ − − + = 13 2x− ≤ ≤
7a ≤
a ( ,7]−∞
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